книги / Нелинейные задачи динамики композитных конструкций
..pdfпричем две стороны контура вмятин расположены вблизи подкрепляю щих шпангоутов. Зависимость кри тических нагрузок от числа шпан гоутов более существенна для оболо чек со слабой степенью анизотро
пии.
Рис. 5.61
Проведен анализ динамической потери устойчивости подкрепленной стрингерами (прямоуголь
ными пластинами с размером поперечного сечения 0,002 х 0,01м) цилиндрической оболочки, армированной вдоль образующей, при нагружении внешним давлением и осевым сжатием со скоростями У3= 2 ГПа/с и Vl= 36 ГПа/с соответственно.
На рис. 5.62,5.63 приведены зависимости максимальных про гибов от времени при осевом сжатии и внешнем давлении соот ветственно. Здесь кривые 1 соответствуют гладкой оболочке при Ех!Ег = 2, а графики 2, 3; 4 - оболочке, подкрепленной шестью, двенадцатью и двадцатью четырьмя стрингерами соответственно.
|
|
7 |
|
|
1 |
и |
|
|
М |
1 |
|
|
п |
|
Г ' |
|
|
|
/ |
|
1 |
|
|
|
3 ^ 4 - |
|
|
О |
0,94 |
1,88 2,82 |
3,76 МО3, с |
|
|
Рис. 5.62 |
|
Характерные формы выпучивания оболочки, подкрепленной двадцатью четырьмя стрингерами, при осевом сжатии (фигура 1) и внешнем давлении (фигура 2) изображены на рис. 5.64 соответ ственно.
321
для гладкой, что, по-видимому, объясняется тем обстоятельством, что в этом случае стрингеры выступают в качестве промежуточ ных опор, в зоне краевых эффектов которых реализуется местная форма потери устойчивости. Заметим, что этот эффект имеет место и в экспериментальных исследованиях [39]. В процессе потери ус тойчивости при осевом сжатии оболочка вначале покрывается не регулярной сетью ромбовидных вмятин, а затем происходит общая потеря устойчивости с захватом подкрепляющихэлементов. В слу чае внешнего давления вначале наблюдается местная арочная форма потери устойчивости с образованием вмятин между стрин герами, которая в дальнейшем сопровождается общей потерей устойчивости в центральном сечении цилиндрической оболочки.
323
Глава шестая ДИНАМИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ И ПОТЕРЯ
УСТОЙЧИВОСТИ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ОБОЛОЧЕЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ С ПРИСОЕДИНЕННЫМИ МАССАМИ ПРИ ИМПУЛЬСНОМ НАГРУЖЕНИИ И
СОУДАРЕНИИ С ЖЕСТКИМИ ПРЕГРАДАМИ
Рассматривается постановка задачи нелинейного динамического деформиро вания, потери устойчивости и закритического поведения композитных прос транственных оболочечных конструкций с присоединенными массами при импульсном нагружении и соударении с плоскими преградами. Полагается, что конструкция образована жесткой стыковкой пластин и оболочек вращения по линиям, совпадающим с координатными направлениями стыкуемых элементов. Отдельные элементы конструкции могут быть выполнены как из композици онных, так и традиционных изотропных материалов. Кинематическая модель деформирования элементов конструкций базируется на гипотезах типа Тимо шенко. Данный подход ориентирован на расчет нестационарных процессов деформации композитных конструкций при малых деформациях, но больших перемещениях и углах поворота и реализуется в рамках упрощенного варианта геометрически нелинейной теории оболочек. Физические соотношения в компо зитных элементах конструкцийустанавливаются на основе теории эффектив ных модулей для всего пакета в целом, а в металлических - в рамках теории пластического течения. Вывод уравнений движения композитной оболочечной конструкции осуществляется на базе принципа возможных перемещений с дополнительными условиями, обеспечивающими совместную работу элементов конструкции.
Приводятсярезультаты анализа нелинейного поведения и потери устойчи вости ряда конструкций, иллюстрирующие основные положения рассматри ваемой методики.
324
6.1. Постановка задачи. Тестовые примеры
Полагаем, что оболочечная конструкция образованажесткой стыко вкой пластин и оболочек, выполненных из композиционных и(или) традиционных изотропных материалов, по линиям, совпадающим с координатными направлениями стыкуемых элементов. Стыковка элементов конструкций (подконструкций или их фрагментов) осу ществляется по линиям пересечения внутренних поверхностей. При этом композитный фрагмент конструкции получен укладкой смеж ных симметричных слоев с углами армирования ± i|/n (я = 1,М ). Элементы конструкции могут иметь переменную толщину.
Каждая подконструкция рассматривается в ортогональной кри волинейной системе координат а (/ == 1,3), совпадающей с лини ями главных кривизн и внешней нормалью к внутренней поверхно сти оболочки. В предположении малых деформаций, но больших перемещений и углов поворота компоненты тензора деформации с учетом гипотез типа Тимошенко можно записать ввиде [209, 261]:
Еп + - LL + a,ae11 , |
е ,з = — [ф |+ е13]> |
(1<z>2)>2 |
|||||||
е„ = — |
+ — |
+ 4 г ^ - £ 1з£2з + |
|
(6Л) |
|||||
|
|
|
|
|
2 z,z2 |
|
|
|
|
|
— (ае12 +&,82| ) н-----(®2i + ^ 2e i2 ) |
|
|
||||||
где |
|
|
|
|
1 |
ди2 |
|
их дАх |
|
1 ди] |
|
дЛ, |
+ куЩ, |
|
|||||
|
12~~Ау dat |
АхА2 да 2 |
|||||||
Ау да у |
Л,Л2 да 2 |
||||||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
1 д(р, |
Ф2 |
дАу |
|
1 |
Ф1 |
дАу |
|||
®12 ~Ау day |
А,А2 |
да2 ’ |
|||||||
Ау да у АуА2 да 2 ’ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||
325
si3 = 4 “ ! r i - * '“i’ zi = l + fc,a 3> O 0 2 );
J4J vOtj
M.(a,, a 2,/) - перемещения точек внутренней поверхности в направ лениях а. (/ = 1,3); Фу 0' = 1,2) - углы поворота нормали к вну тренней поверхности; Лу, kj(/ = 1 ,2 ) - коэффициенты первой квад ратичной формы и главные кривизны внутренней поверхности; t
- время.
Физические соотношения для композитных элементов конс трукций реализуются на основе метода эффективных модулей [82,
189]: |
|
|
|
c „ - ^ k |
+ |
(1 о |
2), |
а12 ”Q6ei2J |
СТ13~ ^ 4 4 е 13 9 |
a23~^55е23> |
(6.2) |
где Су - эффективные жесткости симметричных смежных слоев или всего пакета в целом.
Полные деформации е.. изотропных фрагментов конструкции представим в виде суммы упругих е'у и пластических е” компо нент. Упругие деформации связаны с напряжениями законом Гука:
о у = \ebv +2\ie'v, |
(6.3) |
где е = ^ =i еи; X, \1- параметры Ламе; 5;у - символ Кронекера. Пластические компоненты деформации определяются соотноше ниями теории течения с линейным кинематическим упрочнением [41,153]:
I < = 0, |
= |
/.7=1
326
5# = о 0 - о 5 * - Р »> 0 = (c'ii+0a ) / 3. P»=2ge",
py. - тензор остаточных микронапряжений, g - модуль линейного упрочнения материала, у - скалярный параметр, а, - предел теку чести, SV - девиатор активных напряжений, точка означает произ водную по времени.
Вывод уравнений движения оболочечной конструкции базиру ется на принципе возможных перемещений [91,209], который для каждого элемента запишется в виде:
JV,, |
3(8и,) |
ЛГ„ 0(8« ,) |
1 |
N„ |
дА, . |
||
Я ------------------Л, |
да |
1----- |
=-------------- |
да 2 |
=-------—ом, |
||
Л2 |
|
AtA2 За, |
|||||
N n |
дА |
|
|
|
|
|
|
|
SUj ~~(Q\ + -^11^13 + ^ 12^23 ) |
||||||
N 22 д{Ъи2) ( |
Nn d(Su2) { Nn |
^ |
|||||
A, |
За, |
A. |
|
d a , |
A,A2 3a2 |
||
- ^ - |
^ - 8 H 2 |
- ( 2 |
, |
+ JV 22e 23 |
+ W 2,e ,3 ) * 2St<2 + |
||
|
За, |
|
|
|
|
|
|
|
( f t + A f „ s „ + ^ , 2 6 2 i ) 8 ( 5 K 3 ) , |
||||||
|
+ |
4 |
|
|
3a, |
|
|
,+ ^ 21еи) З(5ы3) ^ л/||^|Яи1+ N„k,&u, +
|
|
За, |
|
|
„ 3(8<p,) , |
М„ 5(8ф|) |
, (М ж дА2_ _ М л . j4-ls<p, + |
||
!, За, |
Л2 За2 |
Ц л 2 За, |
А,Аг даг ) |
|
л . |
^ 3 ( 8 ^ + Л ^ 3 (8 ф 2) + |
|||
+&8<Р, + |
5aj |
^ |
Эа, |
|
327
+ ( ' i £ n _ i d L |
_ i ^ ^ L | s 4, 2 + Q 26<p2 АхА2 d a xd a 2 + |
\A XA2 да2 |
АхА2 dot, ) |
+ J/[(S,T«, +S12tp,)Su1+(Buii2 + В,,ф2)5ы, + Вии2Ьи2 +
•V
+ (В2гФ| + ^ 2 |“|)^Ф| + (В 22Ф2 + B 2lw2)5cp2]-4|^2 d a td a 2 —
|
- f[| £ ^ 5 |
“ / + S |
M / 5<P- W A S - |
|
||
|
s V '-I |
|
2=1 |
|
) |
|
- £ |
f(JV,°8u? + J V ,> 2° + |
6 > 3° + < 5 c p ? |
+ |
|||
/=1 |
ro |
|
|
|
|
|
+ M l°25(p02)A 2d a 2 - ] T |
\(№22bu°2 +№2xbu° +Q°2bu°3 + |
|||||
+ M2xb(p°x+ M22b(p°2)Axdax- ] |
T \(Nxxbu*x + NX2bu'2 + |
|||||
|
|
|
|
i=\ (-• |
|
|
+ Й Sw3 +Л/*,5(р| + M,*25(p2)^2c/a2 - |
|
|||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
- X |
J(W 2> |
14 |
W *25«; + |
|
|
|
/=3r; |
|
|
|
|
|
+ |
0 2 б"з + M'2xbq>\ +M'22b<Q\)Axdax = 0, |
(6.4) |
||||
|
|
|
A |
|
|
|
|
^ ’M « ) = |
j ( a /,. ° , з . c ^ , , )z ,A x 3, |
|
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
3 2 8
(BUiB]2- B 2X,B22) - J(p,a3p,ajp)z1z2da2i (1<=>2),
F, = AxA2px+BxB2\qx+ q l - ^ L
Bxda
|
M, |
(i° 2k' |
|
■ “ '‘ ( " " Ш |
|
p - |
плотность; q ,p - внешнее и внутреннее давления; fyP7(/= 1, |
|
2) - |
касательные нагрузки по направлениям координатных осей |
|
a ;S —область интегрирования на внутренней поверхности; Я (/= = 1 ,2 ) - коэффициенты первой квадратичной формы внешней по верхности; Г,°, Г* (/ = 1,4) - граничные и стыковочные линии области S; Nj}, Q®, , N*, Q*, Му - усилия и моменты, прило женные к соответствующим граничным и стыковочным линиям.
Применяя к (6.4) известную процедуру преобразования интег ралов, получим:
-уравнения двю/сения фрагментакомпозитнойоболочки
Ьх(N) + QX\AxA2kx |
—АхА2 {Вх|их+Вх2фх), |
|
L2(N) + Q22AxA2k2 |
+F2 =AXA2(BXXU2 +ВХ2ф2), |
|
d(A2g |
x) | |
d(AxQ22) |
дах |
да2 |
|
- AxA2(kxNxx+ k2N22) + F3 - АхА2Вххй2,
329
А (М) - Q A A2 + М\ = АЛ (5 22<Pl + В2,Щ),
L 2 ( M ) — Q 2A tA 2 +Л /2 = |
А 2( В 22^2 + А 1^2), |
|||||
1 ,(Г ) = |
0 W . , ) |
г ал2 |
, а (4 г » ,) |
| г |
зл, |
|
12За2 ’ |
||||||
|
5а, |
22 9а, |
д а 2 |
|
||
Qu —Q\ +-^uei3 +^12е2з» 0 ^ 2);
-естественныеграничныеусловиянаконтурных Г.° (i = 1,4)
и(или) стыковочных Г * (/ = 1,4) линиях
Nu = < „ |
= < „ й , = а " . |
= < , М |2 = М “ , |
||
^11 = ^11> -^12 = -^12» |
0 Ц = £?1> А /,, = А /,,, |
(6.6) |
||
|
м 12= м ; 2, |
( 1 о 2 ) . |
|
|
Дополняя соотношения (6.1)—6.6) необходимым числом на |
||||
чальных условий: |
|
|
|
|
м ,(а,,а2,0) = и"(а,,а2), |
<ру( а „ а 2,0) = (р ;(а,,а2), |
|||
|
й ,(а,,а2>0) = м,°(а1>а 2), |
(6.7) |
||
ф ,.(а„а2,0) = ф °(а„а2) |
(/ = 1,3, у = 1,2) |
|
||
и задавая начальную погибь, получим полную систему уравнений для анализа нелинейных процессов деформации и динамической потери устойчивости композитных пластинчато-оболочечных конс трукций при импульсных нагрузках.
Начально-краевая задача (6.5)-(6.7) сформулирована в системе
координат а. (/ = 1,3), связанной с недеформированной конфигу-
330