книги / Нелинейные задачи динамики композитных конструкций

£ A U3(<P2) + £ 4 (2 %<P2)]=

и\Ц +и\ м3' - ^ j -2и\Ъ[

Л {цЧ 2и1й1 - 2u'38'l -A lul(u,3+2&i)]- « ! "з - « J 8 fj,

Как показал численный анализ, уравнения (5.19), (5.20) можно упростить, исключив из них все члены, содержащие начальную погибь 6 ,, кроме подчеркнутых.

Первое уравнение системы (5.19) имеет относительно функции

и° второй порядок по временной и пространственной координатам. По линейной части оно относится к гиперболическомутипу и опи­ сывает распространение волн растяжения-сжатия вдоль оболочки.

Второе и третье уравнения (5.19) имеют относительно функций «3° , и\ второй порядок по времени и четвертый по пространствен­

281

ной координате и являются уравнениями параболического типа. Первое и второе уравнения системы (5.20) имеют четвертый

порядок относительно функций (р,, (р2 и относятся к эллиптичес­ кому типу. Важно отметить, что левые части этих уравнений ли­ нейны и не связаны друг с другом.

Систему уравнений (5.19), (5.20) необходимо дополнить нача­ льными и граничными условиями при а, = 0 Д . Основные типы граничных условий приведены в монографии [160]. Например, для

цилиндрической оболочки:

В [160] показано, что условия Г, и Г3 (Г2 и Г4) дают одинаковые значения статических критических нагрузок, а различие в крити­ ческих нагрузках при задании условий Г 1 (жесткая заделка) и Г4

(подвижно защемленный край) составляет менее 4%. Эти резуль­ таты получены с учетом моментности и искривления образующей вдокритическом осесимметричном состоянии.

Для сравнения с известными экспериментальными данными лучше подходят условия Г,, но ввиду сложности их реализации через функцию напряжений вдальнейшем используем условия Г4. Будем полагать, что ударяемый торец защемлен подвижно и при Г>0 перемещается вдоль оси оболочки со скоростью VQ, а другой торец ctj-L защемлен неподвижно.

Тогда при а , = 0 и t>0

и° =V„z'(at), U°=V0A'2(а ,) , й] = О,

9 9

“1=<Р| =Ф 2 = “? =“1 =Ч>! = ф '2 = 0 ;

282

npHCX^Z-HteO

"|° = u° = ul =<P| = ф2 = Ы? = u 'j =<!>;= 4>j = 0; (5.22)

при 0 < a 1 <L и / = 0

= м,° = и] = Ф, = ср2 = О,

Система уравнений (5.18)—5.20) вместе с начальными и гра­ ничными условиями (5.21)—5.23) позволяет описать осесиммет­ ричные и неосесимметричные процессы динамической потери устойчивости и закритическое поведение оболочек вращения с начальными несовершенствами формы при осевом ударе с учетом распространения волн сжатия-растяжения вдоль оболочки, крае­ вых эффектов, моментности и нелинейности осесимметричного и неосесимметричного состояния, а также их взаимного влияния при фиксированном числе волн в окружном направлении. Послед­ нее ограничение может быть устранено, если аппроксимировать функции (5.16) усеченным рядом Фурье. Для цилиндрических обо­ лочек соответствующие уравнения получены в работе [48].

Решение поставленной задачи осуществляется конечно-разност­ ным методом. Дифференциальные операторы аппроксимируются по пространственной координате центральными разностями со вто­ рым порядком точности. При аппроксимации уравнений в предконтурных узлах сетки вводятся законтурные точки. При N внут­ ренних узлах получаем систему 3N нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнении второго порядка относительно дис­

283

(Из), = /з ((и,° . («3°)«• («] )е у .>1(Ч)(+* >(Ч’г><+* >’ (5 -26)

(у = - 2 , - 1, 0 , 1, 2 ; * = - 1, 0 , 1).

Кроме того, получим систему линейных алгебраических уравне­ ний относительно дискретных значений функции усилий (фД, (ф2),

(/‘ = W

°Ч(ф«)/+/ “ /4 ((«з )#+* » ( w3 )/+*)»

Здесьff (/ = 1, 5 ) - нелинейные функции своих аргументов; aijtb..

- независимые от времени коэффициенты.

Систему обыкновенных дифференциальных уравнений (5.24) -(5.26) будем интегрировать по явной схеме “крест” второго порядка точности относительно шага по времени At. Значения входящих в правые части (5.25)—5.26) функций усилий найдем, решая систе­ му алгебраических уравнений (5.27) методом пятидиагональной прогонки [192].

Исследовалось выпучивание латунных цилиндрических обо­ лочек, движущихся со скоростью VQ,при ударе о жесткую преграду. Геометрические и механические характеристики оболочек [162]: 7?=0,025 м; 7?/Л=500;UR=1\ Е= 1,8-105 МПа; v= 0,3; р=7,5-103

кг/м3. Ударяемый край оболочки был жестко защемлен, а другой свободен.

Поскольку выпучивание наблюдалось [162] вблизи ударяемого торца, разностной сеткой (N= 80) покрывалась лишь часть обо­ лочки длиной Z, = 1,27?, примыкающая к ударяемому торцу. При <Xj =Lt ставилось специальное граничное условие:

284

2 L -L x

с

(5.28)

N,°, при t > — ——

с

которое моделирует распространение волны сжатия вдоль оболо­ чки и приход волны разрежения от свободного края. Условие (5.28) аппроксимировалось односторонними разностями. Для других функций при ct, =Х, ставились условия:

н

cpi = (pj = (р2 = <р'2 = и\ = и® -и \ = и\ =0. (5.29)

Как показали вычисления, увеличение размеров расчетной об­ ласти и изменение граничных условий (5.29) не оказывает замет­ ного влияния на результаты расчета. Заметим, что в общем случае интегрировать вдоль всей оболочки необходимо лишь осесим­ метричную группу уравнений (5.24)-(5.25), так как неосесим­ метричное выпучивание обычнолокализуется возле ударяемого или закрепленного края.

Как известно, наиболее опасными являются начальные несовер­ шенства формы, согласованные с преобладающими формами по­ тери устойчивости. Из линеаризованных уравнений устойчивости следует [145], что наибольшую скорость роста имеют осесиммет­ ричные формы с длиной волны X= 2 nh^Jc/6V0 и неосесимме­

тричные формы с длиной волны вдоль образующей 2Х. Поэтому начальную погибь будем задавать ввиде 5,(а,)=^(1 -cos2nax/(2X)), где ^ - амплитуда погиби. В общем случае оболочек конечной геометрии длина волны осесимметричного выпучивания опреде­ ляется в результате численного решения нелинейной осесимметри­ чной задачи в зависимости от скорости нагружения и условий за­ крепления.

Для анализа процесса выпучивания введем параметры:

285

Интегрирование системы уравнений (5.24)-(5.27) проводилось при

f0=10~lhu п> 4.

На рис. 5.26,5.27 изображены результаты расчета процесса выпучивания оболочки во времени т-ct!L при скорости удара VQ=

Из рисунков видно, что в зоне краевого эффекта формируются осесимметричные складки, которые со значительно меньшей ско-

286

ростью, чем волна сжатия, распространяются за счет возникнове­ ния новых складок вдоль оболочки. Длина их мало изменяется, а амплитуда растет со временем. При превышении глубины вмятин толщины оболочки начинают развиваться неосесимметричные фор­ мы выпучивания и происходит прощелкивание оболочки к закритическим формам, имеющим ромбовидный (шахматный) характер.

цесс образования новых вмятин. Приход волны разгрузки приводит

287

=ch/R*j3 ( 1 - v 2) , соответствующей верхнему значению крити­

ческой статической нагрузки. Кри­ вая 1 построена в результате рас­ четов по данной методике; кривая

2 получена [162] на основе линей­ ных уравнений устойчивости без учета волновых эффектов. Эти кри­

вые имеют противоположные тен­

8 12 16 20 24 п

денции. Преобладающее выпучи-

Рис. 5.31

288

вание происходит взоне краевого эффекта, где большуюроль играет докритическое осесимметричное деформирование, не учитываемое линейной теорией. Зависимость, определяемая кривой2, имеет мес­ то на значительном удалении от края оболочки, где амплитуды вы­ пучивания малы. Обе закономерности подтверждаютсяэксперимен­ тальными данными. Так, из кинограммы выпучивания оболочки [162] при скорости удара F0=7,85 м/с следует, что вблизи уда­ ряемого торца число окружных волн я=12, а по данной методике я*11.

На рис. 5.32-5.34 представлены результаты расчета ударного выпучивания конических оболочек с углами конусности 0=0,15 и 30° и радиусом среднего сечения Д=0,1 м при граничных и нача­ льных условиях (5.21 )-(5 .23). Геометрические и механические па­ раметры стальных оболочек: RJh=300; L/R=1,2; Е=2,16*105 МПа; v=0,3; р=7,88-103 кг/м3. Расчет выполнялся на сетке N=19. На­ чальная погибь^=0,1 h.

На рис. 5.32 для цилиндрической оболочки (0=0°) представле­ ны в фиксированные моменты времени т = 6 ,8,10 осесимметрич­ ные (сплошные линии) и неосесимметричные для я = 8 (штрихо­ вые линии) формы выпучивания при ударе со скоростью VQ- 10 м/с. На рис. 5.33 представлены аналогичные зависимости для коничес­ кой оболочки (0 = 30°), неосесимметричные формы для которой имеют номер я =6.

289

На рис. 5.34,а в момент времени т = 10 построены графики максимальной амплитуды выпучивания и*от номера неосесим­ метричной формы п при скорости удара VQ 10 м/с. Кривые 1,2,3 относятся к оболочкам с углами конусности 0 = 0, 15 и 30°. На рис. 5.34,6 изображены те же кривые, соответствующие удару со скоростью К0= 6 м/с, в момент времени т = 12.

При ударном нагружении процесс деформирования начинается с роста мембранных напряжений за счет отражения волн сжатия от торцов оболочки. Возле ударяемого торца сначала формируется осесимметричная складка, направленная наружу. При достижении критического времени т, происходит прощелкивание оболочки внутрь у этого торца, после чего осесимметричное выпучивание интенсивно распространяется вдоль оболочки. Рост прогибов при­ водит к трансформации осесимметричной формы в неосесим­ метричную, которая происходит вблизи торцов цилиндрической оболочки. Конические оболочки выпучиваются (при ударе по торцу меньшего диаметра) вблизи ударяемого торца.

Ввиду высокой плотности спектров частот цилиндрических и конических оболочек бурное выпучивание происходит одновре­ менно по нескольким формам. Преобладающая форма выпучива-

290