книги / Нелинейные задачи динамики композитных конструкций

результаты, очень близкие к полученным полинеаризованной трех­ мерной теории. Поэтому проведенное нами сопоставление двух те­ орий позволяет сделать вывод, что в указанном диапазоне пара­ метров теория Кирхгофа-Лява применима для моделирования деформирования и выпучивания стеклопластиковых цилиндричес­ ких и конических оболочек при ударных воздействиях.

Необходимо хотя бы приближенно оценить границы примени­ мости модели упруго-линейного тела при исследовании неосесим­ метричного выпучивания композитных оболочек. Для стеклоплас­ тиковых и углепластиковых цилиндрических оболочек предельные деформации в окружном направлении, составляющие около 1,5% [258], достигаются при прогибах в 0,75А, если Rlh-50. Для обо­ лочки с Rlh- 100 предельные деформации достигаются при прогибах в 1,5h. Неосесимметричные вмятины становятся замет­ ными при прогибах около двух толщин. Следовательно, для относи­ тельно толстых оболочек разрушение начинается уже на осесимме­ тричной стадии выпучивания. Для реализации неосесимметрич­ ного выпучивания на стадии, предшествующей разрушению, обо­ лочка должна быть достаточно тонкой (R/h> 150).

5.6. Формулировка начально-краевой задачи динамического деформирования и потери устойчивости гладких и подкрепленных цилиндрических оболочек из традиционных композиционных материалов на основе конструктивно-ортотропной теории и модели с дискретным размещением подкрепляющих элементов

Подкрепленную цилиндрическую оболочку длиной L и радиуса R

отнесем к системе координат а (/ = 1,3)’ а, направлена вдоль об­ разующей; а 2 - по окружности; а 3 - по внешней нормали к внут­ ренней поверхности. При этом коэффициенты первой квадратич­

301

где .S^.=Gy—Gby—Pij, а=(ст,, + а 22)/3; А,, р,- параметры Ламе; 5. - символ Кронекера; р;> = 2ge"., р.. - тензор остаточных микрона­ пряжений, g - модуль линейного упрочнения материала; у - ска­ лярный параметр; а , - предел текучести материала; S.. - девиатор активных напряжений.

Соотношения упругости для подкрепленной композитной обо­ лочки устанавливаются на основе метода эффективных модулей. При этом слоистая композитная оболочка заменяется эквивален­ тной однородной оболочкой из ортотропного материала. ЗаконГука в этом случае запишется в виде [35]:

гдеЛи = £ ,/(1 - vnv2l),An=vl2Au,An=Gl2, Ga - эффективные жесткости симметричных смежных слоев или всего пакета вцелом. Вводя удельные усилия и моменты

h

о

физические соотношения (5.49) можно представить в виде [96]:

Nt, —5 Пв,, + Bns22+ Сцвц + C l2® 22*

Na = в"г12 + ВЦг21+Cjj®, 2 + c j 32ffi2l.

M u = С„ёп + Са ва + Ai®„ + £>|2®и. О «• 2).

303

304

zKкоординаты слоев, отсчитываемые от внутренней поверхности оболочки.

В случае расчета оболочки по конструктивно-ортотропной тео­ рии число слоев в оболочке увеличивается на один (если ребра расположены на одной поверхности) и на два (если они располо­ жены на обеих поверхностях). При этом в дополнительных слоях полагаются равными нулю жесткости, соответствующие эффеюу Пуассона и сдвигу в плоскости обшивки, а остальные упругие ха­ рактеристики умножаются на редукционные коэффициенты, равные отношениям толщины ребер к расстоянию между ними.

Вывод уравнений движения дискретно подкрепленной цилинд­ рической оболочки базируется на принципе возможных перемеще­ ний [91,209], который в данном случае может быть записан в виде:

daxda2 +

+ Д[(В„и, + В,2ф,)5и, +(В„«, +В,2ф2)5м2 + В„й3 +

305

+ (Я22Ф1 + Я 21м,)6ср1+ ( 5 22ф2 + B 21M2)5cp2]fl?a1rfa2

= p(/z2/2 + Лг2/г3/3); P . (/ = 1,3) - компоненты внешней нагрузки по

направлениям координатных осей a,; iV0^, 6°,, (/, у = 1 , 2 ) -

усилия и моменты, действующие на границе расчетной области

F = L’2nR\ Г’° (/ = 1,4) - граничные линии а >(/ = 1 ,2 ) = const областиF;N*, Q*,А/* (/,/ = 1 ,2 ) - усилия и моменты, действующие на обшивку со стороны подкрепляющих элементов; Г* (i = 1,4) - линии подкреплений в продольном и окружном направлениях; точка над буквой означает производную по времени.

Из вариационного уравнения (5.52) получим:

- систему уравнений движения фрагмента подкрепленной цилиндрическойоболочки

L,(N) + PX= Buu} + Р 12ф ,,

1*2(N ) + Q ii^i +A ~ В\\Щ +-®1гФ2»

306

-естественныеграничныеусловиянаконтурных Г° (/ = 1,4)

и(или) Г* (/ = 1,4) стыковочныхлиниях

Следует заметить, что уравнения движения подкрепляющих элементов (кольцевых и прямоугольных пластин) могут быть полу­ чены (в своей локальной системе координат) по аналогичной схеме. При этом в общем базисе а,- (i = 1,3) налиниях стыковки подкреп­ ляющих элементов с обшивкой должны выполнятьсяусловия жест­ кой склейки.

Дополняя соотношения (5.47)-(5.54) необходимым числом на­ чальных условий и задавая начальную погибь, получим полную систему уравнений для анализа нелинейных процессов деформации и динамической потери устойчивости подкрепленных цилинд­ рических оболочек при неосесимметричных импульсных воздей­ ствиях.

Критическая нагрузка потери устойчивости определяется по характерному излому на кривой “амплитуда воздействия - макси­ мальный прогиб” [107].

307

Численный метод решения сформулированной начально­ краевой задачи основывается на явной вариационно-разностной схеме [23]. Следует заметить, что поскольку шаг интегрирования в явной схеме.лимитируется толщиной наиболее тонкого элемента конструкции (в данном случае толщиной обшивки), то расчет с этим шагом всей конструкции приводит к существенному уве­ личению времени счета. Для устранения этого недостатка исполь­ зован прием регуляризации разностной схемы [21,57], позволяю­ щий вести расчет с шагом, который определяется дискретизацией срединных поверхностей элементов конструкций. При этом точ­ ность определения напряженно-деформированного состояния практически не изменяется, а шаг интегрирования по времени мо­ жет возрастать на порядок.

С целью проверки достоверности предложенной методики проводилось сравнение теоретических расчетов с эксперимен­ тальными данными по динамической устойчивости подкреплен­ ных цилиндрических оболочек при нагружении импульсом внеш­ него давления, приведенными в [40]. Сравнительный анализ про­ водился для гладких и подкрепленных кольцевыми ребрами упруго­ пластических оболочек. Гладкие оболочки теряли устойчивость с образованием шести выпучин в окружном направлении. Процесс потери устойчивости подкрепленных оболочек состоял из двух этапов. Вначале наблюдалась локальная потеря устойчивости между подкрепляющими ребрами, а затем происходила общая потеря устойчивости с образованием волн, захватывающих коль­ цевые ребра. Величина критического импульса для гладких и под­ крепленных оболочек оказалась равной I* = 1,4-103 Па с и

I.7 = 2 ,2 -1 03 Па с соответственно. Соответствующие эксперимен­ тальные данные [40]: 1ф= 1,72-103 Па-с и I, = 2,52 -103 Па с. Наблюдается удовлетворительное согласование результатов расчета и экспериментальных данных. Количественное отличие расчета и эксперимента связано, по-видимому, с погрешностями в изме­ рительной схеме (как это отмечается в [40]) и не полным соответ­ ствием расчетной схемы условиям эксперимента.

308

5.7. Исследования процесса выпучивания изотропных и композитных гладких цилиндрических оболочек при внешнем давлении и (или) осевом сжатии

Рассматривалось динамическое поведение и потеря устойчивости цилиндрической оболочки (R= 0,072 м, R/h= 100, L/R=2) при все­ стороннем сжатии. Материал оболочки - алюминий: Е=77,5 ГПа; р = 2700 кг/м3; v = 0,3; а . = 0,16 ГПа; g = 1 ГПа.

Результаты анализа упругой и упругопластической потери устойчивости оболочки со свободными торцами при нагружении комбинацией импульсов внешнего давления и осевого сжатия приведены на рис. 5.47, 5.48.

Рис. 5.47

На рис. 5.47 представлены диаграммы “максимальный прогибвремя”, причем кривые с нечетными номерами соответствуют уп­ ругопластической работе материала оболочки, ас четными номера­ ми - идеально упругой. Здесь кривые 1, 2 рассчитаны при чисто осевом нагружении со скоростью роста давления Г, = 1,1ЛО3 ГПа/с, кривые 3, 4 - при нагружении внешним давлением со скоростью

309