книги / Нелинейные задачи динамики композитных конструкций

рацией элемента конструкции (подконструкции). Для обеспечения совместной работы подконструкций необходимо, чтобы налиниях стыковки Г* (/ = 1,4) выполнялись статические и кинематичес­ кие условия, которые можно сформулировать в общей системе ко­ ординат а* (/ = 1,3) в виде:

Аг=1

где М - число стыкуемых подконструкций.

Уравнения движения жестко присоединенных масс в подвиж­ ной системе координат, связанной с осями инерции тела, имеют вид:

где Mi - масса тела; V. - вектор ускорения центра масс тела; /. - диагональный тензор инерции тела; со, - вектор угловой скорости тела; Ft и К, - главный вектор и момент сил, действующих на массу со стороны примыкающих элементов конструкций.

Изложенная во второй главе методика численного интегриро­ вания системы уравнений движения отдельных оболочечных эле­ ментов достаточно просто обобщается на оболочечные конст­ рукции. Как уже отмечалось, стыковка элементов конструкций осуществляется по линиям пересечения внутренних поверхностей. Кроме того, полагается, что разностная сетка строится таким обра­ зом, что в общем базисе а* (/ = 1,3) координаты узлов на линии стыка совпадают. Полудискретная система уравнений, полученная на основе (6.4), для стыковочныхузлов в базисе каждого оболочеч­ ного элемента может быть представлена в виде

331

где В - диагональная матрица масс; q 1 = (и,, и2, иъ, ф ,, ф 2)' -

вектор ускорений; FT= (FU), FUi, FUj, F^ , F^ )T - вектор внут­

ренних усилий и моментов; R1= ,RUi, RUj,R^,RtPl) - вектор

усилий и моментов, действующих наданный элемент конструкции со стороны других элементов; L - число узлов основной сетки на линиях стыковки. Проектируя уравнения (6.10) в общий базис a* (i = 1,3) и суммируя по всем оболочечным элементам, примы­ кающим к данному узлу, с учетом соотношений (6.8) будем иметь

И, наконец, осуществляя обратное преобразование (6.11) в местный базис каждого оболочечного элемента, получим полудискретные уравнения движения узлов на линиях стыковки

где Л, - матрица перехода от местного базиса а . к общему а \ Как и выше, для интегрирования системы уравнений движения

(6.12) по времени используется явная разностная схема. Оценкадостоверности предлагаемой методики проводилась на

задаче упругопластического деформирования сосуда давления при взрывном нагружении.

Сосуд давления представляет собой цилиндрическую оболочку со сферическими торцами, сопряженными с цилиндрической час­ тью конструкции фрагментами тороидальной оболочки. Конструк­ ция имеет следующие размеры: радиус цилиндрической оболочки /?ц = 0,4 м, радиус тороидальной оболочки RT= 0,0733 м, радиус сферической оболочки ^ = 0 ,8 м, толщина сосуда h—0,06 м, длина цилиндрической оболочки L - 0,8 м, длина тороидальной оболочки определялась углом раствора 0т= 62,972°, длина сферической

332

оболочки - углом 0Сф=26,995°. Конструкция выполнена из алюми­ ниевого сплава со следующими характеристиками: модуль Юнга Е -700-102 МПа, v=0,3, плотность р=2780 кг/м3, пределтекучести а, =2 МПа, модуль упрочения 3g—12,5 МПа. Взрывное нагружение имитировалось приложением синусоидального импульсадавления. Продолжительность импульса составляла 2-10"3 с, амплитуда рав­ нялась 50 МПа.

При расчете динамического деформирования сосуда с помо­ щью ППП “Динамика-2” использовался элемент оболочечного ти­ па, позволяющий, не сгущая конечноэлементной сетки, уточнить распределение НДС по толщине конструкции [43].

Результаты решения задачи приведены на рис. 6.1-6.8.

На рис. 6.1,6.2 для моментов времени t= 0,3 мс и t=0,55 мс изображены развертки вдоль образующей окружных напряжений.

На рис. 6.3,6.4 для тех же моментов времени показаны раз­ вертки осевых смещений, а на рис. 6.5,6.6 - радиальных смещений вдоль цилиндрической части сосуда.

Зависимости осевого и окружного напряжений от времени в точке срединной поверхности, находящейся на плоскости симмет­ рии конструкции, представлены на рис. 6.7 и 6.8 соответственно.

ззз

Кривые, отмеченные цифрой 1, соответствую т расчету с испол­ ьзованием ППП “Динамика-2”, цифра 2 - результаты расчетов по данной методике, точками отмечен расчет по D YN A [276].

0

-1,14

-2,28

-3,42

-4,56

иг105,м

334

Рис. 6.6

335

CT„-102,ГП а

Рис. 6.7

Наблюдается хорошее совпадение результатов, полученных при использовании различных численных методик. Некоторые разли­ чия, наблюдающиеся в окрестности полюсной точки конструкции, можно объяснить тем, что при расчете по данной методике рас­ сматривался сосуд с отверстием в окрестности полюса, а расчет по DYNA и “Динамике-2” проводился для сплошного сосуда, без отверстия вблизи полюса.

Достоверность предложенной методики подтверждается также сравнением теоретических расчетов с экспериментальными дан­ ными по осевому удару о жесткую преграду цилиндрической обо­ лочки, несущей массу на неконтакгируемом торце [44,84]. Гео­ метрические размеры оболочки были равны: R = 4,28 -10 -2 м,

336

L= 15,05-10"2 м, /2=0,28-10"2 м. Материал оболочки - алюминие­ вый сплав АМгб с характеристиками: Е= 71,5 ГПа; v = 0,3; р = =2700 кг/м3. Отношение присоединенной массы кмассе оболочки К = ти/ т 0 = 9 . Скорость удара К,0 =29,2 м/с.

Результаты решения упругопластической задачи представлены на рис.6.9-6.13.

На рис. 6.9-6.11 показано изменение во времени перемещения (точки на рис. 6.9 соответствуют экспериментальным данным), скорости и перегрузки присоединенной массы.

337

Развертки прогибов срединной поверхности представлены на рис. 6.12 для трех моментов времени /= 100; 250; 900 мкс (кривые 1-3 соответственно), точки - экспериментальные данные.

Деформированные конфигурации оболочки для моментов вре­ мени /= 2 5 0 мкс и /= 900 мкс приведены на рис. 6.13,я, б.

Анализ результатов расчетов показывает, что вблизи торцов образуются осесимметричные складки, которые в начале растут почти одинаково. Затем за счет более высокого уровня напряжений возле ударяемого торца продолжается рост складки преимущест­ венно только на этом конце оболочки. Максимум прогиба на выпучине достигается при /= 0,4 мс.

Сопоставление с экспериментальными данными проводилось

338

Кривые 1,2,3 получены врезультате расчета по описанной мето­ дике при различных значениях весового коэффициента а = 0,9; 0,99; 0,999, кривая 4 - по программе “Динамика-3” [49], кривая 5 - по данной методике с использованием двойной корректировки обобщенных усилий на треугольных ячейках с а = 0 ,9 9 9 (иначе не будет строгой симметрии в решении задачи из-за несимметрич­ ного расположения треугольных ячеек при одинарной корректи­ ровке).

На рис. 6.15,6.16 изображен процесс деформирования пласти­ ны: рис. 6.15 отображает эффект неустойчивости типа “песочные часы”; рис. 6.16 показывает результат численного расчета с исполь­ зованием корректировки обобщенных усилий.

Представленные результаты говорят о достаточно хорошем согласовании результатов по вышеописанной методике и трехмер­ ной программе “Динамика-3” и позволяют сделать вывод о работо­ способности изложенного выше приема устранения неустойчиво­ сти типа “песочные часы”.

340