книги / Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения

На рис. 17.7 и 17.8 приведены кривые распределения толщин и уг­ лов спирального армирования, соответствующих соотношениям (18.41) и (18.42). На рис. 17.7 сплошным линиям соответствует значение =0,1, штриховым — 0,2, штрихпунктирным — 0,3, пунктирным — 0,4, штриховым с двойным пунктиром — 0,5. На рис. 17.8 сплошным линиям соответствует значение ф = 10°, штриховым — 20°, штрихпунктирным — 30°, пунктирным — 35°, штриховым с двойным пунк­

тиром — 45°.

Из приведенных графиков видно, что существуют достаточно ши­ рокие возможности реализации рациональных проектов полужестких оболочек и что значения фиксируемых параметров в значительной степени влияют на вид этих проектов.

Г л а в а 18

ПРОЕКТИРОВАНИЕ ОБОЛОЧЕК

МИНИМАЛЬНОГО ВЕСА

18.1. Получение условий совместности при использовании критерия постоянства удельной потенциальной энергии

Примем в качестве критерия рациональности требование постоян­

Подставляя (18.2) в (18.1) и приравнивая коэффициенты при одинако­ вых степенях 7 , получаем

w = R 2 e2 - u c t g 'd

С2 — постоянная интегрирования. Подставляя (18.9) в (18.6), получаем известное уравнение неразрывности деформаций

Условия совместности исходной системы уравнений находим после

где Ть Г2 имеют вид (18.7).

Рассмотрим случай, когда наряду с постоянной удельной потен­ циальной энергией оболочка должна обладать еще каким-либо до­ полнительным свойством, например равнонапряженностью окружного семейства арматуры:

Из уравнения неразрывности деформаций (18.11) с учетом (18.14)

Условия совместности в этом случае получаем после подстановки

где Г], Т2 имеют вид (18.7).

В случае дополнительного требования равнонапряженности спи­

и подставляем его в уравнение неразрывности деформаций (18.11). Получаем линейное дифференциальное уравнение первого порядка от­ носительно е<1 :

г cos2 ф

#0

Сз — постоянная интегрирования. Подставляя (18.20) в (18.18), полу­ чаем

Уравнение (18.3) и первые два из физических соотношений являют­ ся условиями совместности системы уравнений (18.1), (14.7) - (14.17):

Здесь ei, Е2 определяются согласно (18.20), (18.22), а Т\, Т2 согласно (18.7).

Рассмотрим еще один интересный случай. В качестве дополнитель­ ного требования примем условие равнодеформируемости срединной поверхности оболочки

Уравнение неразрывности деформаций (18.11) принимает в этом случае вид

4 = (А - 1)^21

Для оболочек нулевой гауссовой кривизны условия совместности (18.12) сохраняют свою структуру, а функции, описывающие НДС таких оболочек, имеют более простой вид.

В случае цилиндрических оболочек упрощаются также и условия совместности, и притом значительно. Из уравнений неразрывности

Подставляя (18.28), (18.29) в соотношения упругости, получаем условия совместности в виде

2Я е2оДа1]1 = Т 2 — Т\,

(18.30)

2Н5± yJau D - А е20 af/ = Г ,. где Т\, Т2 имеют вид (18.7).

18.2. Вывод разрешающих систем уравнений для оболочек с постоянной удельной потенциальной энергией

П О С Т А Н О В К А 3.1 (Я , ш2)

Требуется обеспечить выполнение условий совместности (18.12) за счет специального распределения толщины и интенсивности окружного армирования. Геометрия оболочки, нагрузки, угол и интенсивность спирального армирования при этом считаются заданными. Из первого уравнения (18.12) выразим

Подставив соотношение (18.31) во второе уравнение (18.12), получим

mi = (2i?iai2 + Я2а22)а22Т 2 —а\2 ВзТ2 \

m 2 = 2аца12ВзГ2 —2Т2 [(аца22 + «12)^1 4- «12^22^ 2] ;

Из (18.35) получим

После некоторых преобразований (18.37) получаем нелинейное диффе­ ренциальное уравнение первого порядка относительно ш2:

Соотношения (18.31), (18.39) составляют разрешающую систему уравнений для определения разрешающих функций (Я , Ш2 ) постановки 3.1.

П О С Т А Н О В К А 3.2 (Я , 0)

Требуется обеспечить выполнение условий совместности (18.12) выбором распределения толщины и угла спирального армирования. Геометрия оболочки, нагрузки, интенсивности окружного и спирально­ го армирования при этом считаются заданными.

Из соотношения (18.37) получаем нелинейное дифференциальное

Соотношения (18.31), (18.40) составляют разрешающую систему урав­ нений для определения разрешающих функций (0 , ш2) постановки 3.2. Следует, однако, отметить, что существование решений разрешающих систем еще не гарантирует реального осуществления формально най­ денных рациональных проектов, так как имеется ряд ограничений для функций проектирования (толщина оболочки Я > 0, углы армирования 0 < cos 0 < 1, интенсивности армирования 0 < шп < 1), напряженного состояния (выполнение условий прочности для связующего и армиру­

ющих нитей), а также технологические и эксплуатационные ограниче­ ния.

18.3. Аналитические решения задач рационального проектирования оболочек с постоянной удельной потенциальной энергией

Перейдем теперь к рассмотрению условий совместности (18.16), (18.23), (18.27), (18.30). При известных нагрузках и геометрии оболочки обеспечить выполнение этих условий можно за счет выбора различных троек функций проектирования.

Из соотношений (18.16) получаем следующие аналитические

При фиксированном значении интенсивности спирального армирования ui соотношения (18.41) определяют рациональные проекты оболочек с постоянной удельной потенциальной энергией и равнонапряженным окружным семейством арматуры.

щ Е 2 = { D E~ 1[cos2 V' - Ti(T\ 4- T2)~l] - a cos 2^ } cos~2 ф.

При фиксированном значении угла спирального армирования ф соотно­ шения (18.42) определяют рациональные проекты оболочек с постоян­ ной удельной потенциальной энергией и равнонапряженным окружным семейством арматуры.

Из условий совместности (18.23) получаем следующее аналитиче­ ское решение.

П О С Т А Н О В К А 3.4 (Я, <д, ш2)

аналитическое решение задачи проектирования в виде

18.4. Анализ достоверности и эффективности рациональных решений

Анализ эффективности полученных рациональных решений пред­ ставляет особый интерес с практической точки зрения, так как пока­ зывает реальный смысл теоретических исследований. Сравнения про­ водились по нескольким критериям качества куполов (минимальному весу, прочности, жесткости) и соответствующих им конструкционным параметрам (толщине стенки и длине меридиана купола; максималь­ ным напряжениям в матрице и армирующих волокнах, отнесенным к пределам прочности; прогибу купола; механическим характеристикам связующего и арматуры).

Были проведены расчеты куполов с рациональными и нераци­ ональными толщинами и структурами армирования, изготовленных из различных материалов: стеклопластика, металлокомпозита (сталь - алюминий), железобетона, стали. Рассмотрим подробнее различные комбинации рациональных решений.

На рис. 18.1 показаны приведенные напряжения в связующем ма­ териале (bsQ) и арматуре (bs\,bs2) для рационального и нерациональ­ ных куполов. Для рационального проекта напряжения удовлетворяют критерию (1), причем они, за счет равномерного распределения вдоль меридиана, в 2 раза меньше уровня напряжений в нерациональном куполе.

Покажем, как влияет выбор значений структурных и механиче­ ских параметров композиционного материала на уровень напряжений

проект) указаны те же величины, но относительно стеклопластикового купола с параметрами -ф= 30°, 7 = —0,1, в котором уровень напряже­ ний наименьший из рассчитанных.

При сравнении рациональных куполов, рассчитанных в различных постановках (табл. 18.2), нетрудно заметить, что в стеклопластико-

Рис. 18.1

вом куполе для постановки (Н , ф) наблюдается большее напряжение в спиральнм семействе арматуры, чем для постановки (Н , Ш]), а в окружном семействе арматуры, наоборот, уровень напряжений умень­ шается, при этом напряжения в связующем существенно выше. Для железобетонного купола перераспределение напряжений в арматуре между семействами менее заметно, но в постановке (H,uii) напряже­ ние в связующем также существенно меньше.

Проведенные расчеты позволяют сделать следующие выводы:•

•применение рациональных структур армирования и толщины поз­ воляет уменьшить уровень напряжений в 5-7 раз;

•металлокомпозитные купола эффективнее изотропных в отноше­ нии веса и прочности;

•стеклопластиковые купола выгоднее металлокомпозитных в отно­ шении веса и прочности;

•обеспечение равнонапряженности арматуры за счет переменной интенсивности армирования выгоднее не только технологически, но и с точки зрения более равномерного распределения напряже­ ний в компонентах КМ.