книги / Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения
..pdf11.1. Получение разрешающей системы уравнений |
233 |
Задача изгиба. Теория Андреева-Немировского Задача рассмат
ривалась в |
безразмерных |
переменных |
Ni, Mij, |
Sij, д i, |
w, щ, где |
||
i , j = 1 , 2 : |
|
|
_ |
|
___ |
|
|
|
|
Ni = Pr\Ni, |
= Pr*Mij, |
|
|
||
i9, = |
P r j |
w = |
Pr7 ~ |
5« = |
Pr?/i2 |
7Г= |
Pr? |
■0 , |
rW, |
Sij, |
7 Г ; |
||||
|
Ech3 |
|
|
|
|
|
|
Представим решение в виде суммы конечного числа членов триго нометрического ряда:
|
|
|
|
|
N |
|
N , + |
да2 |
ZQ + |
^ [Zn c o s i n a 2) + Z&N+7+n Sin(n0!2)] - |
|
|
|
А |
|
П — 1 |
|
|
|
|
N |
|
|
___ |
|
|
|
|
|
M i l = |
«JV+l + |
^ 2 lZN + l + n |
C0s(nc>!2) + ^9iV+7+n sin ( n a 2)] , |
||
|
|
|
71 = 1 |
|
|
__ |
|
|
N |
|
|
S\\ |
= |
Z2 N+ 2 |
+ |
[^2iV+2+n COs(nQ!2) + ^lQjV+7+n sin(nO!2)] , |
|
__ |
|
|
7 1 = |
1 |
|
|
|
iV |
|
||
S \ 2 |
= |
^злг+з + У " [z3jy+3+n cos(na2) + 2цдг+7+п sin(na2)], |
|||
__ |
|
|
n = l |
|
|
|
|
N |
|
|
|
$ l |
= |
z4N+4+ |
[z4JV+4+n cos(na2) + 212ЛГ+7+П sin(na2)] . (11.5) |
||
|
|
|
n=l |
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
= |
25ЛГ+5 + ^ |
[25ЛГ+5+П cos(na2) + 213ЛГ+7+П sin (n a2)], |
||
|
|
|
7 1 = 1 |
|
|
|
|
|
N |
|
|
1*2 |
= |
ZQN+ 6 |
+ ^ |
[2 6дг+б+п cos(na2) + z\4 N+7+n sin(na2)], |
|
|
|
|
7 1 = 1 |
|
|
|
|
|
N |
|
|
w |
= |
Z7 N +7 + ^ 2 |
[z7N+7+n cos(na2) + 215ЛГ+7+П sin(na2)] • |
||
7 1 = 1
В этом случае разрешающая система уравнения будет иметь вид
(1 = 0.Л, ц = 0..N, i2 = 1..JV)
dZi(N+l)+ij da i
|
|
7 |
|
= |
P l ( N + l)+i, + ' 5 2 * } & Zj ( N+ l ) |
+ |
|
|
|
J = 0 |
|
|
N |
7 |
|
+ |
^ 2 S |
Wi\nzJ{N+\)+n + |
Z8 N+7+JN+n] , |
|
7 1 = 1J=0 |
|
|
234 Гл. 11. Анализ НДС многослойных эксцентрических колец
dz 7 { N + l ) + I N + i 2 |
- |
2 ^ |
, |
/11/?ч |
------- f a ------- |
Xi20^(iV +l)+ |
(11.6) |
||
|
|
J=0 |
N |
|
|
|
7 |
|
|
|
+ |
EEt^ i 2n^J(N+l)+n “I- ^j2n^bN+7+JN+n\ • |
||
J=On=\
Порядок полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений равен 16iV + 8. Ненулевые коэффициенты системы (11.6) определяются соотношениями (если г = 0, то t = 1, иначе t = 2)
|
А 3 ^ |
|
II |
12 П |
(- и \ \ |
= |
|
ъг2п |
11 |
|
|
1 |
2 п |
|
|
-Д-+ |
|
||
t-rr |
A n COS l\ ft2, |
|
|
о |
|
||
|
|
||
1 |
27Г |
|
|
A n sin i2Q!2, |
(11.7) |
||
tir |
|||
|
|
где
|
' |
W ± i n |
■T± 12,n |
« ± |
12,n |
« ± 1 2 ,n |
& ± 1 8 ,n |
« ± 18,n |
^ ± 1 8 , n |
« ± 21,n |
|
|
«^±2 ,n |
■T± 13,n |
« ± 1 3 , n |
« ± 1 3 ,n |
6 ± 1 9 ,n |
C ± 1 9 ,n |
^ ± 19,n |
« ± 22,n |
|
|
|
« * ± 3 ,n |
■T± 14,n |
« ± |
14,n |
« ± 14,n |
& ± 20,n |
c ± 20,n |
d±2Q,n |
« ± 2 3 , n |
А ± — |
« ^ ± 4 ,n |
*T± 15 ,n |
« ± |
15,n |
« ± 1 5 , n |
Ь ± 21,п |
C ± 21,n |
^ ± 21,n |
« ± 2 4 , n |
|
А п |
— |
0 |
■ T ± l ,n |
« ± 1,n |
« ± 1,n |
^ ± 7 ,n |
« ± 7 , n |
^ ± 7 ,n |
« ± 10,n |
|
|
|
0 |
■ Г ± 2,п |
« ± 2 ,n |
« ± 2,n |
^ ± 8,n |
« ± 8,n |
^±8 ,n |
« ± 1l , n |
|
|
|
0 |
■T±3 ,n |
« ± 3 ,n |
« ± 3 , n |
^ ± 9 , n |
C ± 9 ,n |
^ ± 9 , n |
« ± 12,n |
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
Ь±22,п |
0 |
0 |
0 |
В векторе свободных членов Pi(N+i)+ii от нуля отличны только компоненты Po(N+l)+ii = Рг,-
11.2. Влияние выбора структурной модели КМ на расчетные характеристики НДС и уровень нагрузок начального разрушения
Исследуем влияние выбора модели КМ при различных видах на гружения и различных краевых условиях.
Кольцо, жестко защемленное на внутреннем контуре и нагру женное растягивающим усилием по внешнему. Рассмотрим трех слойное эксцентрическое кольцо, которое нагружено по внешней кром ке растягивающим усилием TQ и жестко защемлено на внутреннем контуре. На рис. 11.2 приведены зависимости максимальных интен сивностей напряжений в связующем, арматуре и удлинения от угла укладки арматуры во внешних слоях ± ^ ; во внутреннем слое арматура уложена вдоль окружностей координатного семейства a j. Сплошными линиями изображены расчетные значения характеристик НДС при
11.2. Влияние выбора структурной модели КМ |
235 |
использовании МДВ (линии <3), короткими штрихами — МОВУ (ли нии 2), штрихами — МОВ (линии /).
В этом случае использование одномерной модели для оценки на пряжений в волокнах арматуры приводит к завышенным по сравнению с двумерной моделью результатам. При углах ф больше 60° аналогич ное переоценивание уровня напряжений происходит и для связующего. Удлинение, рассчитанное по МОВ, также больше, чем рассчитанное по МДВ. Различие результатов, полученных по МОВ и МОВУ, несуще ственно и не превышает 5%.
Исследуем распределение интенсивностей напряжений в элементах композиционного материала для углов 30° и 80° при «2 = тг> получен ных при использовании моделей МОВ и МДВ.
На рис. 11.3 приведены распределения интенсивности напряжений в связующем, расположенном между слоями с арматурой (Bsc2), в свя зующем, расположенном между волокнами (Bsc1), и в арматуре (B s a) при ф = 30°. Линии, соответствующие расчетам с использованием мо дели с одномерными волокнами, штриховые, с двухмерными — сплош ные. Кривые / соответствуют значениям интенсивностей во внешних слоях кольца, 0 — во внутреннем слое.
Максимальные напряжения в пластине возникают на внешнем кон туре в арматуре. В данном случае максимальную оценку напряжений
236 Гл. 11. Анализ НДС многослойных эксцентрических колец
Рис. 11.3
по всем компонентам даст модель с одномерными волокнами. Однако если сравнивать напряжения только в связующем, то МОВ недооценит уровень напряжений, так как максимальные напряжения возникнут в связующем, находящимся между волокнами (B s c\), а данная модель не учитывает работы этого составляющего КМ.
При анализе НДС эксцентрического кольца с углом укладки ар матуры 80° (рис. 11.4) видно, что модель с одномерными волокнами существенно переоценивает уровень напряжений в связующем, распо ложенном между слоями с арматурой. Величина интенсивностей напря жений, рассчитанных по МОВ, превышает значения интенсивностей
всвязующем, расположенном между волокнами, оценки для которой
врамках МОВ не удается получить.
Таким образом, при оценке уровня интенсивностей напряжений в эксцентрическом кольце, нагруженном по контуру только растягива ющим усилием, величины напряжений в волокнах арматуры и удлиннений будут завышены по отношению к полученным с использованием МДВ. При расчете напряжений в связующем материале неучет моде лью с одномерными волокнами работы связующего между волокнами может привести к недооценкам. Однако для данного вида нагружения и краевых условий недооценка уровня напряжений в связующем воз никает в областях с небольшим уровнем напряжений.
Расчеты проводились при величине растягивающей нагрузки То = = 3 • 106 Н/м.
11.2. Влияние выбора структурной модели КМ |
237 |
Кольцо, жестко защемленное на внутреннем контуре, нагру женное распределенным поперечным давлением. Если эксцентри ческое кольцо, жестко защемленное на внутреннем контуре, со свобод ным внешним краем нагрузить распределенным внешним давлением интенсивности Р, то изменится как картина зависимости интенсивно стей напряжений в элементах КМ от ф, так и их взаимное расположе ние. На рис. 11.5 приведены зависимости B s c, B s a и прогибов от угла укладки арматуры.
При расчете НДС по модели с одномерными волокнами макси мальная интенсивность напряжений в волокнах и прогибы превышают значения, рассчитанные по модели с двумерными волокнами. В то же время для интенсивности напряжений в связующем материале оценка по МОВ ниже, чем по МД В, различие составляет до 40%.
Исследуем распределение интенсивностей напряжений в элементах композиционного материала для угла равного 30° при а.2 = 7г при использовании моделей МОВ и МДВ. На рис. 11.6 приведено распре деление интенсивностей напряжений по толщине пластины: в левой части для МДВ, в правой — для МОВ.
Видно, что картины распределения интенсивностей напряжений в связующем материале, расположенном между армированными слоями B s c2 и в арматуре B s a, полученные по МОВ и МДВ, похожи. Для связующего материала, расположенного в армированном слое, рас пределение интенсивностей напряжений B s c\ можно получить только
238 Гл. 11. Анализ НДС многослойных эксцентрических колец
в рамках модели с двумерными волокнами. Расчеты проводились при величине распределенного поперечного давления Р = 5 • 104Н /м2.
Кольцо, жестко защемленное на в нутреннем контуре, сложное нагружение. Если пластина находится в условиях сложного нагруже ния (То = 3 ■106 Н/м, Р = 5 • 104 Н/м2), то зависимости интенсивностей напряжений, удлинения и прогиба будут комбинацией аналогичных кривых для случаев простых нагрузок.
На рис. 11.7 показана зависимость интенсивностей напряжений
всвязующем материале и волокнах арматуры для сложного нагруже ния.
Ив данном случае максимальную оценку интенсивности напряже ний в арматуре даст модель с одномерными волокнами. При оценке уровня напряжений в связующем получим, что для связующего, рас положенного между армированными слоями, он оценивается с запасом
врамках одномерной модели. Однако напряжения в связующем между
волокнами в армированном слое (Bsci) будут больше напряжений в связующем, расположенном между армированными слоями (Bsc2); таким образом, оценка максимального уровня напряжений будет полу чена в рамках МДВ.
На рис. 11.8 |
приведены зависимости максимальных прогибов |
и удлинения для |
данного вида нагружения. |
240 Гл. 11. Анализ НДС многослойных эксцентрических колец
Видно, что характер изменения максимальных прогибов аналоги чен таковому в случае нагружения распределенным давлением, а из менение удлинения — случаю нагружения растягивающим усилием. Сохранилось взаимное расположение кривых для различных моделей: значения, рассчитанные по модели с одномерными волокнами, для всей области изменения параметров больше, чем рассчитанные при использовании модели с двумерными волокнами.
Кольцо, жестко защемленное на обоих краях и нагруженное распределенным давлением. На рис. 11.9 показано, что для данного вида нагружения (Р = 5 • 104 Н/мг) и краевых условий оценка уровня напряжений в арматуре и прогиба по МОВ больше, чем по двумерной модели.
При углах армирования близких к 0° различия всех представленных характеристик НДС, рассчитанных по различным моделям, минималь ны. Разница между результатами, полученными по МОВ и МОВУ, не превышает 1 % на множестве рассматриваемых углов армирования.
Таким образом, в проведенных расчетах показано, что при оцен ке уровня напряжений в арматуре и кинематических характеристик можно использовать более простую модель с одномерными волокнами, которая дает завышенные результаты по сравнению с более точной моделью с двумерными волокнами.
11.3. Влияние выбора теории пластин |
241 |
При расчете уровня напряжений в связующем материале для растя гивающей нагрузки можно использовать более простую МОВ: резуль таты, полученные при использовании МОВ или превышают МДВ, или незначительно ниже на фоне более высокого уровня напряжений в ар матуре. Если основная нагрузка - распределенное внешнее давление, то использование МОВ может привести к существенной недооценке уровня напряжений в пластине (до 40%).
Использование уточненной модели с одномерными волокнами, в ко торой работа связующего между армирующими волокнами моделиру ется аналогично работе волокна, не позволяет существенно улучшить результаты одномерной модели.
Расчеты проводились при следующих структурных и механических
параметрах пластины: Е с = 3 • 109 Па, Е а = 300 • 109Па, |
= |
<Ja ^ = |
|
= 0,5, го = 0,2 м, го = 1 |
м, d = 0,2 м, толщина внутреннего слоя |
0,03 м, |
|
каждого из внешних — |
0,005 м. |
|
|
11.3. Влияние выбора теории пластин на расчетные характеристики НДС и уровень нагрузок начального разрушения
На рис. 11.10 приведено сравнение максимальных интенсивностей напряжений в связующем материале (B s c), арматуре (B s a) и кинема тических характеристик и, w для различных значений эксцентриситета при использовании разных теорий трехслойной пластины. Расчеты проводились при использовании модели КМ с двумерными волокнами.
Штриховые линии соответствуют теории Кирхгофа-Лява, сплош ные — теории Андреева-Немировского. Кривые 0 соответствуют пла стине с центральным отверстием; 0,2 — с эксцентриситетом 0,2; 0,4 — с эксцентриситетом 0,4. Во внешних слоях арматура располагается под углами ±ф по отношению к координатным линиям семейств « 2, во внутреннем под углом 90°. Пластина нагружена давлением интенсив ности Р = 5 • 104 Н/м2 и растягивающим усилием на внешнем контуре Т0 = 3 - 106 Н/м.
Наибольшее влияние выбор теории оказывает на уровень напряже ний в связующем ~ 40% при d = 0,4, влияние на уровень напряжений в арматуре меньше ~ 25%. Различие удлинений и для обеих теорий равно 0, так как постановка задачи растяжения совпадает. Наибольшее влияние выбора теории на уровень максимальных прогибов w в пла стине не превышает 8%.
Видно, что чем более нецентрально отверстие, тем больше разли чаются результаты, полученные по различным теориям и тем больше влияние структурных параметров КМ.
На рис. 11.11 приведено распределение интенсивностей напряжений в арматуре и в связующем для ф = 30° и эксцентриситета d — 0,2 для
242 Гл. 11. Анализ НДС многослойных эксцентрических колец
«2 = тг. Сплошные линии соответствуют данным по теории АндрееваНемировского, штриховые — Кирхгофа-Лява.
На графиках 11.11 виден явно выраженный краевой эффект. Мак симальное различие между теориями возникает на защемленном внут реннем краю пластины в узкой области внешней кромки пластины, в остальной области значения, полученные по различным теориям, визуально не отличаются. Величины прогибов, рассчитанные по раз личным теориям, отличаются не более чем на 5%.
Таким образом, при параметрическом анализе и оценке качествен ного изменения характеристик НДС можно использовать более про стую классическую теорию (кроме того она требует гораздо меньших вычислительных ресурсов), а при выборе конкретных геометрических параметров и структур армирования для оценки уровня напряжений в конструкции необходим дополнительный расчет.
Расчеты проводились при следующих структурных и механических параметрах пластины: Е с = 3 • 109 Па, Е а = 300 • 109 Па, — ш ^ = = 0,5, го = 0,2 м, го = 1 м, толщина внутреннего слоя 0,03 м, каждого из внешних — 0,005 м.