Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1268 вузов, 4650 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги / Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения

..pdf
Скачиваний:
9
Добавлен:
12.11.2023
Размер:
17.75 Mб
Скачать
☆

324 Гл. 15. П роект и рован и е ст р о го безм ом ен т н ы х арм и рован н ы х оболочек

(15.4)

уравнения неразрывности деформаций

(15.5)

На границе оболочки i?=const должны быть заданы обобщенные силы

 

Т\ — Т ,,

S — Тфу,

Т»п = О,

М * = О

 

(15.6)

либо соответствующие обобщенные смещения

 

 

 

 

 

и,

v,

w,

 

 

 

 

(15.7)

а на границе

<p=const -

обобщенные силы

 

 

 

 

Т2 = Т9 , S = Т ^ , ТфП =

0,

Т^п =

О, M v = 0

(15.8)

или обобщенные смещения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

и,

v,

w ,

#2-

 

 

 

(15.9)

В выражениях (15.1) - (15.9)

Т\, Т2, S

—

усилия;

£\, £2 , £ 1 2 —

компоненты

тангенциальной

деформации

срединной

поверхности;

щ , Х2, т — компоненты изгибной деформации; и, v, w — компоненты перемещения; q\, q2 , qn — компоненты внешней поверхностной нагрузки; h — толщина оболочки; акт — обобщенные упругие характеристики типичного слоя оболочки; Т#, Т^¥>,Т^П, — компо­ ненты вектора внешних усилий и изгибающий момент, приложенные

на границе

i?=const;

Т9 ,

Т9П, М 9

—

аналогичные величины,

заданные на

контуре

<p=const;

# 1, $2

—

углы поворота нормали

к срединной поверхности.

 

 

 

Уравнения (15.1) - (15.3) являются головной системой уравнений безмоментной теории. В сочетании с условиями отсутствия изгибной деформации (15.4) и уравнениями неразрывности (15.5) эти уравнения полностью описывают напряженно-деформированное состояние обо­

1 5 .1. О болочки вращ ен и я, неосесим м ет ри чн ы й сл уч а й

325

лочки вращения с конечной жесткостью на изгиб, работающей в строго безмоментном режиме.

Решение уравнений неразрывности (15.5) дает общий вид поля тангенциальных деформаций поверхности вращения при безызгибном деформировании последней. Для решения этой системы исключим из третьего уравнения системы функции Е\,Е2 и получим

Это уравнение легко решается, после чего можно проинтегрировать первые два уравнения системы. В итоге решение будет иметь вид

е и

=

ш

+ 6 №

'

 

 

 

 

 

 

 

sintf

4

 

 

 

 

 

 

=

£з(0) + ctgtf

6 (<p)d<p +

%

{&r sin #);

 

 

 

 

 

Ч>о

 

 

Rx sin?? dd

(15.10)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£2 =

£4{Ф) +

R\ ( -

4

-

+ £ 1 COST?') dd

 

 

 

 

 

\ sin v

d<p

 

)

 

где

£2(1?), £3(1?), £4(<p) — функции интегрирования; нижние пре­

делы i?0) <£о выбираются произвольно.

 

 

В зависимости от вида срединной поверхности оболочки можно

выделить следующие свойства полученного решения.

 

1.

Если срединная поверхность содержит точку, отвечающую гла

кой вершине ($=0 или д = д), из (15.1) следует, что функции Е \ ,

£2. £12

будут ограничены в этой точке, если принять (при $ 0 = 0. тг)

 

 

 

 

 

£ iM

= 0,

 

U{<p) =

0.

(15.11)

Таким образом, при безмоментном деформировании такой оболочки величина сдвиговой деформации не зависит от угла <р, а относи­ тельные удлинения £1, £2 в общем случае зависят от р>линейно.

2.Если оболочка замкнута в окружном направлении, то из услови

периодичности функций Е \, е 2 , Е 12 по <р получим зависимость

1

7Г

 

 

с —

6 (<р)<Ьр

(15.12)

г sini?

 

 

 

_

 

 

с

 

где с произвольная константа; £1 (<£>), £4(<£>) — периодические функ­ ции.

3. Если срединная поверхность содержит гладкую вершину и зам кнута в окружном направлении, из (15.10) - (15.12) следует

£12 — 0;

= £ з ( 0 ) = £ i ( 0 ) ;

( 1 5 .1 3 )

326 Гл. 15. П р оек т и рован и е ст р о го безм ом ен т н ы х а р м и рован н ы х оболочек

■в

£ 2 = ^ 1 £ з # 1 C O S tid'd = £ 2 ( 1? ) .

о

т. е. в такой оболочке при безызгибном деформировании поле тан­ генциальных деформаций оказывается симметричным, а деформации главными.

Для описания упругих свойств материала оболочки можно при­ менить модель армированного слоя [8]. В этом случае коэффициен­ ты (15.2) будут

 

Q*ii —

аЕ

N

 

 

N

^n E n l^ljn ,

 

2 "Т *Е , ^ п Е п1^п,

^гЗ — Е

 

 

У — V

7 1 = 1

 

 

7 1 = 1

 

 

 

 

« 1 2

=

+

Е UnEnl \ A n,

(15.14)

 

 

 

l - V

 

n= 1

 

 

 

 

a33

aE

 

N

 

 

 

 

 

 

+ E “ nEnl\nl\n ,

 

 

 

 

2(1 + I/)

n=i

 

 

 

 

lin — cos фп,

l2n =

sin фп ,

i, j = 1,2,

i ф- j,

где

N — число однонаправленных

семейств нитей (арматуры) в ха­

рактерном слое; п -

номер семейства; шп — относительное объемное

содержание

нитей этого семейства;

Е п — модуль Юнга нитей; фп —

угол

между

направлением

нитей

семейства

и

меридианом; Е ,и —

модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала связующего; а — относительное объемное содержание связующего в слое.

Задача 1. Пусть для оболочки вращения заданы: форма срединной поверхности, закон внешнего поверхностного нагружения, жесткости Gk = ujkEk{aE)~x (предварительное армирование, к = 3,..., N), углы Фп ($, <р)(п = 1,..., N), краевые условия вида (15.6 - (15.9). На отдель­ ных участках или линиях срединной поверхности заданы значения h, G 1, G2. Требуется найти законы изменения толщины h и жесткостей G 1, G2 (дополнительное армирование), при которых в оболочке реали­ зуется безмоментное напряженное состояние.

При решении задачи будем считать, что в каждом конкретном случае известно общее решение уравнений равновесия (15.1). Тогда можно представить соотношения упругости (15.2) с помощью зависи­

мостей (15.14)

в виде

 

 

 

 

 

G xe{l2n

+ G2 e2 l\2 -

T x(aEh) 1=

-a'n s { -

а'п е2

-

а\3 е3,

G\e\l\x

+ G2 e2 l\ 2 — T2 (aEh)~l =

- a [ 2£\ -

a2 2 e2

-

a'2 3 e3,

£ 161/11/21 + G2 e2 l\2 l22

—Ti2 (aEh)~l = —a\3 E\ —a2

3 e2

—а^ез,

(15.15)

15.1. О болочки вращ ен и я, н еосесим м ет ри чн ы й сл уч а й

3 2 7

где

а ' ц

 

— ------------ а 22

Z '

~

2 +

У ^ * ^ 2 А : »

 

 

1 —7У

 

1 —I/

L—<

 

 

 

 

к= 3

 

 

/с=3

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

ai3 =

^ ] G khkhk’

 

 

 

 

 

 

 

к= 3

 

 

 

 

I/

N

 

 

 

N

 

 

 

 

а33 — 2(1 + j/) +

а 12 —

1

+

 

 

 

- I / 2

 

 

V

'

*:=3

 

 

fc=3

 

 

 

ег =

£1^Н + £2^2г + e3^1i^2t»

е3 =

^12-

Полагая, что

А = [Т\/21^22 + ^2^11^12 —^12 sin(^2 + ^1)] sin('02 —Ф\) Ф 0 .

получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h = А ( а Е А 3) - \

Gi = А г(егА )-1,

i , j =

1,2,

г ^ j.

(15.16)

Здесь

 

 

з

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д * =

( - >

) * £

fiik^kt

Pik —

 

 

к^г

®3k ^ i,

 

 

 

 

к= 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

А 3 = Sin('02 -

^ l) ^

[а1А:^21^22 + <4^11^12 “

^ЗА: Sm(^2 + ^l)]

 

 

 

/с=1

 

 

 

 

 

 

Bi = (^2^1j —T n l2j)l2j\ Ci = (T[l2j — T\2hj)l\j\

Di = T\ l^j — T2l\j.

Подставив

в

(15.16)

значения

для еь £2, £3

из

(15.10),

выразим

h, G 1, G2

через заданные и произвольные функции, входящие в общие

интегралы

Т\,

Т2, Т ^, £ь £2. £з-

Таким

образом,

решение задачи сво­

дится к определению этих произвольных функций из краевых условий и условий на h, G 1, G2 .

Рассмотрим случай, когда оболочка замкнута в окружном направле­ нии, содержит гладкую вершину и на контуре <р = <ро задано значение

относительной жесткости G2:

 

G2 (d,ip0 )= g (d ) .

О 5-17)

В этих условиях, согласно зависимостям (15.13), поле деформаций определяется с точностью до функции £2{d). Чтобы найти ее, с учетом условия (15.1) представим третье равенство из (15.16) в виде

е{ = - к е 2, к = [(/?2г -

sin2 V>2)(/?2i - ^Acos2 т/>2)-1] ^ 0. (15.18)

Решая совместно уравнение (15.18) и

= <ч#1 c o s 'd ,

( 1 5 .1 9 )

328 Гл. 15. П роект и рован и е ст р о го

безм ом ен т н ы х а рм и рован н ы х оболочек

находим

 

■&

 

 

 

 

е2 = с exp J,

J

(1 + к)т г ctgtfdt?,

(15.20)

 

 

П\

 

о

где с — постоянная интегрирования.

В качестве примера рассмотрим решение этой задачи для сфериче­

ского купола с вершиной (i?i =

R 2 =

R = const). На опорном контуре

д = д\ купол закреплен так, что выполняются условия

 

и = 0, v = 0, Т#п = 0,

М$ =

0 при

=

(15.21)

Поверхностная нагрузка, действующая на оболочку, имеет состав­ ляющие

<7i = g sin i? ,

<?2 = 0,

qn = —geos д —p sin $ cosy?,

p = const,

= go + (9* -

9o)(l -

cosi?)m(l - cosi?*)-m , m =

const, (15.22)

T . e. на купол совместно действуют ветровая и вертикальная осесим­ метричная нагрузки. Пусть предварительное армирование отсутствует:

Gk =

0

при

к ^ 3,

(15.23)

а дополнительная арматура уложена по схеме

 

ф\ = а,

ф2

= (3

при

0 < (р < 7Г,

ф\ = - а , ф2

=

—/?

при

7г <

(15.24)

<р < 27Г,

где а, (3 — заданные постоянные величины.

Из уравнений равновесия (15.1) при условии ограниченности уси­ лий в точке 1? = 0 находим

Ti =

д

, ( я * -

9о )(1 ~ c o s ^ ) m

+ T cos 1? cos ip,

1 + COS1?

0 (ш + 1)(1 —COS1?*)7"

 

 

 

 

т2 = - R q cos $ — Rp sin $ cos <p — T\,

 

 

(15.25)

T3 = T sin ip,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

T = —Rp{2 + cosi?)(l —cosi?)1/2 [3(1 + COST?)3/ 2]

1

 

Используя

соотношения

упругости

(15.2)

и

зависимости

(15.20), (15.25), найдем постоянную в выражении (15.20)

 

с = Е2(0) = -

Л»<<'а~ 1/),

Ло = Л|о=о-

(15.26)

Возьмем для определенности

 

 

 

<£о = 0,

д(,д ) = 0,

= (3/8)7г,

о = 7г/3,/? = 0,

р/Яо = 0,Ь

q*/qo = \0,

1?* = (3/8)тг, m =

2,

и = 0,2.

Из (15.24), (15.25) следует, что Н =

Сп, G2 -

четные по у»,

поэтому достаточно вычислить их значения при 0 <

< я\ На рис. 15.1

3 30 Гл. 15. П р оек т и рован и е ст р о го

безм ом ен т н ы х а р м и рован н ы х оболочек

Отсюда находим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= ^

( 3 = 1,2,3),

 

 

(15.27)

где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Д

= -

sin(,0 1- ф2) sin('02 - Фъ) sin('03 - ф{)\

£3 = £12;

 

Aj =

(aE h)~l [Tikmht + T2 l\ml\t - T x2 sin(^m + фь)\ sin(^m -

ipt ) -

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

-

^ 2

\a"shmht + a'zshmht -

a'ls sin(^m + фt)]ee sin(^m - фг),

 

S =

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m ,i=

1,2,3;

 

 

 

 

 

Выражения для a'(- получаются соответственно

из

формул (7.2)

для a[j, если в последних вести

суммирование по к, начиная с к=4;

в выражении

sin('0Tn —ipt) в A j

значения для индексов ш, t следует

выбирать в том же порядке, в каком стоят индексы 1-3 в Д.

 

Подставив

значения

для е ь

е2, £3 из

(15.10)

в

(15.27),

полу­

чим выражения для G 1, G2, G 3

через функции, заданные по усло­

вию задачи, и произвольные функции,

входящие

в

общие

реше­

ния Т\,

Т2, Т\2, Ei, £2, £3-

Таким

образом, решение задачи 2 сводится

к определению функций интегрирования из краевых условий и условий на G\, G2, G3.

Рассмотрим случай, когда оболочка замкнута в окружном направ­ лении, имеет гладкую вершину и на линии <р = <ро задано значение

жесткости G 3:

G3(0,<ft,) = G(0).

 

(15.28)

 

 

 

 

Тогда, учитывая

зависимости

(15.13),

из выражения для Gз

в (15.27) получим

Е\ = F — ks2 = F Q —коЕ2,

(15.29)

 

 

где

 

 

 

 

 

 

F0

= F(d, <ро); к0 = k(fl,<p0);

к =

(к2 + m2G)A*;

A* = k i + m i G ;

 

h

= sin(^i -

фъ) sin(^ 2 -

Фъ)къ,

 

F = (haEA*) 1[Ti/2^22 + T2/11/12 —T12 sin(,02 + ^ I )] •

Из уравнений (15.29), (15.19) находим

£2 = e x p (-J) - F 0Ri COST? exp Jdfl,

J = 1 + коRicos'dd'd. (15.30)

r

0

о

В качестве примера рассмотрим сферический купол постоянной тол­ щины, нагруженный и закрепленный в соответствии с зависимостями (15.21), (15.1). Примем, что предварительное армирование отсутству­

332 Гл. 15. П роект и рован и е ст р о го безм ом ен т н ы х а рм и рован н ы х оболочек

крепленных армированных оболочках вращения разбивается на четыре основных класса:

1) определение формы меридиана, при которой под действием за­ данных сил при известном распределении толщины оболочки и задан­ ном виде осесимметричной анизотропии и однородности (армирования)

воболочке реализуется безмоментное состояние;

2)определение вида нагрузки, вызывающей безмоментное состоя­ ние в оболочке вращения данной геометрической формы и при данном

распределении толщины и характера армирования (анизотропности

инеоднородности);

3)нахождение закона распределения толщины, при котором реали­ зуется безмоментное напряженное состояние в данной оболочке враще­ ния с заданными осесимметричными внешними нагрузками и законом армирования;

4)отыскание закона дополнительного армирования, обеспечиваю­ щего безмоментное осесимметричное напряженное состояние для обо­ лочек вращения данной геометрической формы, нагруженной заданны­ ми осесимметричными нагрузками и при заданных законах изменения

толщины, анизотропии и неоднородности (армирования).

Помимо этого рассмотрим ряд смещенных задач: обеспечение безмоментного состояния в оболочке за счет совместного изменения гео­ метрии оболочки и характера армирования, путем совместного измене­ ния толщины и характера армирования и т. п.

1. Рассмотрим оболочку вращения, нагруженную и закрепленну осесимметрично и армированную в общем случае семействами нитей вдоль меридиана, параллелей и одинаковыми парами нитей, располо­ женными вдоль траекторий, симметричных вдоль меридиана. Тогда, пользуясь предположениями относительно армированных оболочек, принятыми в [238], в данном случае будем иметь

Т = 2H\\aij\\£,

М

= 2/3 H 3

\\aij\\x;

(15.31)

Т = ||Т 1|Т2||, | М =

||М

1,М 2||',

е = ||е ь е2|Г,

 

(15.33)

Здесь и в дальнейшем индексы 1 и 2 определяют меридиональные и окружные компоненты; Tj — нормальные усилия; Mi — изгибаю­ щие моменты; £г,щ — деформации и изменения кривизн срединной поверхности; и и v — смещения срединной поверхности оболочки вдоль

меридиана и по

нормали;

— угол

между

нормалью к меридиану

и осью вращения;

— радиусы кривизны; г — радиус параллель­

ного круга; 2Н — толщина оболочки;

штрих

при матрице обозначает

15.2. О болочки вращ ен и я, осеси м м ет ри чны й сл уч а й

333

операцию транспонирования. Коэффициенты

определяются следую­

щим образом:

 

 

 

I In — COS 1pm

I2 п — sin 'ifin

 

Здесь Е й

и — модуль Юнга и

коэффициент Пуассона

материала

связующего;

Е п — модуль Юнга

семейства армирующих

элементов

с номером п; шп — их удельное объемное содержание; ij)n — угол между нитями n -го семейства и меридианом в данной точке; а — удельное содержание связующего в направлении нормали к поверхно­ сти оболочки; = 0 — в случае упрощенной модели армированного слоя, когда работа прослоек связующего между армирующими нитями в слое, охватывающем эти нити, не учитывается; = 5п — и;п6 п — удельная интенсивность нитей n -го семейства в направлении нормали к оболочке — в случае уточненной модели [220], когда в пределах слоя армирующих нитей данного семейства работа прослоек связующего между нитями учитывается на основе одномерной модели.

Пусть оболочка находится в безмоментном состоянии (М \= М 2 = 0 ).

Тогда из (15.31) и (15.33) при det

|| ф 0 имеем

 

Xl = X2 = 0,

U = — ,

(15.35)

Нетрудно проверить, пользуюсь

выражениями

(15.32) и dr =

= Ri cos <pdip, что равенства (15.35) эквивалентны условию совместно­ сти

(15.36)

Усилия и смещения в безмоментной оболочке определяются форму­ лами

JP0

Ri sin (р

Соседние файлы в папке книги
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности