Гл. 16. Равнопрочные композитные пластины и оболочки
—2и;[Е\ (К 2 cos2 д sin2 ф — К\ cos2 ф) sin
2 1?.
(16.66)
Уравнение
(16.65) представим в виде
Ф" + Ьъф' 2 + Ь&ф' + Ь7 = 0 ,
(16.67)
b5 = b2 b i \ ь6 = б3б1"1, б7 = б4
1•
(16.68)
Соотношения
(16.55), (16.67) составляют разрешающую систему урав
нений для определения разрешающих функций (ф, ш2) постановки 1.2.
16.6. Аналитические решения задач рационального проектирования оболочек с равнонапряженной арматурой
Рассмотрим
условия совместности (16.45) когда
= е20
=
= e f — const.
При известных нагрузках и геометрии
оболочки
из
соотношений (16.45), учитывая (16.46), получаем аналитические решения различных частных постановок задач по проектированию оболочек с двумя семействами равнонапряженной арматуры.
При фиксированных значениях интенсивности и угла укладки спирального семейства арматуры соотношения (16.69) определяют ра циональные проекты оболочек с двумя семействами равнонапряженной арматуры.
П О С Т А Н О В К А 1.2 (ф, и>2)
cos2 v> = (If - 2аЯе±)(4и>,£,Я£±)-\
(16.70)
и,2Е2 = |Г,° + 7 ? -4 Я £±(а + а.|Я|)](2Яе±)-1.
При фиксированных значениях толщины оболочки и интенсивности спирального семейства арматуры соотношения (16.70) определяют ра циональные проекты оболочек с двумя семействами равнонапряженной арматуры.
16.6. Аналитические решения задач рационального проектирования 375
П О С Т А Н О В К А
1.3 (Я, ф)
2 Н е ± =
( 1 *
+ 1*)(2а + 2 и 1 Е 1 + и 2 Е 2) - 1,
cos2ф = [ a ( T ° - T ^ ) + (2ulE l + u 2 E 2 )Tf] \2шхЕ х(Т° + Т ° ) ] .
(16.71)
При фиксированных
значениях интенсивностей окружного
и спирального семейств арматуры соотношения (16.71) определяют рациональные проекты оболочек с двумя семействами равнонапряжен ной арматуры.
П О С Т А Н О В К А 1.4 (щь ш2)
шхЕ х = (7< - 2аЯ е±)(4Я е± cos2 V»)-1 ,
ш2 Е 2 = (Т2 cos2 ф —Tj° sin2 ф — 2a H e f cos 2ф)(2Неf cos2 ф)~х.
(16.72) При фиксированных значениях толщины оболочки и угла уклад ки спирального семейства арматуры соотношения (16.72) определяют
искомые рациональные проекты оболочек с двумя семействами равно напряженной арматуры. Для полученных выше решений требования
могут налагать ограничения на размеры оболочки, амплитуды действу ющих нагрузок, механические характеристики материалов арматуры и связующего.
Для замкнутых оболочек, нагруженных постоянным внутренним давлением интенсивности р, из (16.46) получаем
(16.74)
Цилиндрические оболочки с равнонапряженной арматурой.
Из условий совместности для цилиндрических оболочек с двумя семействами равнонапряженной арматуры, получим аналитические решения аналогичных рассмотренным выше постановок задач рационального проектирования.
П О С Т А Н О В К А 1.1 (Я, щ2)
2Н = Т\(а(р\ + 2ш\Е\ £ ^ 0 cos2 ф)
(16.75)
ш2 Е 2 = [оир2 + 2U)\E\E^Q(T2 C O S 2 ф — Т\ sin2 ф ) ] (e^T i)-1 ,
376 Гл. 16. Равнопрочные композитные пластины и оболочки
где
£ Ш ~ £ 20
cos2 ф
(16.76)
£m ~ £to
Ф>2 = £:
cos2ф
При фиксированных значениях интенсивности и угла укладки спирального семейства арматуры соотношения (16.75) определяют рациональные проекты цилиндрической оболочки с двумя семействами равнонапряженной арматуры.
П О С Т А Н О В К А
1.2 (ф, и 2)
cos2 ф =
+
5)у>3 *,
(16.77)
UJ2 E 2 = [Т\ + Т2 —4H(ae^Q+
— 2Ноиръ\ (2Не^0)~1,
,е
I
I
</>з = 4Яи;1Я 1£±,
= Т х - 2Нае^0;
<р5 = 2На{е% -
е ± ) ( 1 +и)~\
(16.78)
¥>6 = М £% - 4 )(* + V 5 2 - A C ) - 1.
При фиксированных значениях толщины оболочки и интенсивности спирального семейства арматуры соотношения (16.77) определяют рациональные проекты цилиндрической оболочки с двумя семействами равнонапряженной арматуры.
П О С Т А Н О В К А 1.3 (Я, ф)
cos2ф =
<Р7 <Р9
) <р7
1,
2Я = Т х aefo + 2a>i£'1£f0 cos2 ф +
^ £w
620
п -1
cos ф)
1+г/
где
ф>1 — 2wlE le±0 (Tl + Т2),
2(р8 = (2u>iEief0 + LO2 E 2 £^Q)T\ + a£*0(Ti - T2), <P9 = а (£Ю~ £2 O) ( T 2 - v T i ) ( \ + l / ) -1
(16.79)
(16.80)
При фиксированных значениях интенсивностей окружного и спирального семейств арматуры соотношения (16.79) определяют рациональные проекты цилиндрической оболочки с двумя семействами
16.6. Аналитические решения задач рационального проектирования 377
При фиксированных значениях толщины оболочки и угла укладки спирального семейства арматуры соотношения (16.81) определяют ра циональные проекты цилиндрической оболочки с двумя семействами равнонапряженной арматуры.
Рассмотрим композитный эллипсоидальный резервуар, находящий ся под действием гидростатического и постоянного внутреннего дав лений. Геометрия резервуара характеризуется параметром е, равным отношению вертикальной полуоси эллипса к горизонтальной. Горизон тальная полуось эллипса выбирается из условия равенства его объ ема объему полусферы с некоторым фиксированным радиусом. Равнонапряженность окружного и спирального семейств арматуры можно обеспечить выбор специального закона распределения толщины стенки резервуара и интенсивности окружного семейства арматуры:
2h — Tj° (ауу£у + ау2£2)
(1 6 .8 2 )
Г2 (ац£1 + 012^2) ~ Ту(ау2£у + 022^2)
(1 - а ) Е 2 е2 Т?
где
а*2 = + 2(1 - а)и>уЕу sin4 ф. 1 —v
На рис. 16.2 представлены законы распределения рациональных толщин и интенсивностей армирования для углепластикового резерву ара, где HQ — толщина оболочки при угле $о- Расчеты проводились при значениях ф = 10°, шу = 0,2. Кривым 1-3соответствуют значения е = 0,7; 1; 1,2.
378 Гл. 16. Равнопрочные композитные пластины и оболочки
Выберем теперь в качестве функций, обеспечивающих равнонапряженность арматуры резервуара, толщину стенки резервуара и интен сивность армирования спирального семейства арматуры:
2h — (а ц £1 + а 12£г) >
(16.83)
^ _ Т [ С >22 — Т ^ С Г ц +
ТУ ( 1 — a)u J2 E 2£ 20
2(1 —a)Ei£io(T2
cos2 ф —Т° sin2 ф)
На рис. 16.3 представлены законы распределения толщины и интен сивности спирального армирования, обеспечивающие равнонапряженность арматуры. Кривой / соответствуют значения ф — 30°, и>2 = 0,2,
е = 0,7;
кривой 2
—ф = 10°, а>2 = 0,3,
е = 1; кривой
3 — ф = 10°,
о>2 = 0,4,
е = 1,1.
Кривая 3 описывает
безмоментный
случай, когда
ею = £20 = £*•
На рис. 16.4 представлены законы распределения толщины и интен сивности спирального армирования, обеспечивающие равнонапряженность арматуры эллипсоидального сосуда давления. Кривой / соответ ствуют значения ф = 5°, о»2 = 0,5, е = 0,7; кривой 2 — ф = 5°, о»2 = 0,4, е = 1; кривой 3 — ф = 5°, о»2 = 0,3, е = 1,2. Кривая 3 представляет безмоментный случай, когда £ю = £20 = £*•
Равнонапряженность окружного и спирального семейств арматуры можно обеспечить за счет выбора закона распределения угла спираль-
16.7. Многослойные эксцентрические кольца
379
ного армирования и интенсивности окружного семейства армирования:
COS ф
-Ь+ у/&
4 а с
(16.84)
2а
_ Г ^ О п в !
+ 0 1 2 ^ 2 ) ~ J l° ( a i2 £ l +
Q22£ 2)
Ш2~
(1 - а ) Е 2 £2 Т?
а = 4/i(l - a)w\E\E\Q, b =
2/me2o(l +
v) —i f ,
с = 2/ia(e10 - его)-
На рис. 16.5 представлены законы распределения угла спирального армирования и интенсивности окружного армирования, обеспечиваю щие равнонапряженность арматуры.
Кривым 1-2соответствуют
значения
= 0,2, е = 0,8, 1; кри
вой 3 — OJ2 = 0,2, е = 1,2, ею =
его = £*■
Выбирая в качестве функций, обеспечивающих равнонапряжен ность арматуры, толщину и угол укладки спирального семейства арма туры, получим
2 /
—Ъ + y / b 2 — 4 а с
н с о с \
cosг ф
= --------h---------- ,
(16.85)
2 а
2h = T f (anei
+ ai2e2)_ 1,
a = 4(1 —a)toiE\£[Q(T^ + T ®),
с = а(ею —£2o)(2"2
— i/Tf),
b = ae2o(l + ^/)(T2) —^ I°) —
—a)(2u;i.E,ieio + w2.£72e2o).
На рис. 16.6 представлены законы распределения рациональных толщин и угла спирального армирования для случая, когда нагрузкой
является только постоянное внутреннее давление.
Кривой / соответствуют значения
= 0,4, о>2 = 0,2, е =
0,5;
кри
вой 2 — и)\ = 0,3, и>2 = 0,4, е = 1,2;
кривой 3 — ш\ = 0,3,
о>2 =
0,4,
е= 0.7; ею —е2о —е*.
16.7.Многослойные эксцентрические кольца
сравнонапряженной арматурой
Рассмотрим задачу проектирования армированной многослойной пластины, нагруженной в своей плоскости растягивающей нагрузкой. В качестве критерия рациональности примем требование равнонапря-
380 Гл. 16. Равнопрочные композитные пластины и оболочки
женности арматуры во всех слоях пластины. При выборе в качестве отсчетной срединной поверхности уравнения задачи растяжения для теории Кирхгофа-Лява [259] и уточненной теории [9] совпадут. Пол ная система уравнений, описывающая задачу проектирования, состоит из уравнений равновесия
д А 2Тц
дА \Т 2\ .
dAirp
дА 2
Т22 + A \A 2 q\ — 0,
да 1
Н---- ^------- г
о— 1
12
да\
д а 2
д а 2
дА 2Тц
дА \Т 22 ,
дА 2гр
д А {
= 0,
да\
+
+
Д---1
21
— О
Тп + A \A 2 q2
д а 2
да 1
да2
кинематических соотношений
_
1 ди
1 д А {v,
_
1 dv
1
д А2и,
£[
А\ да\
А \А 2 д а 2
2
А 2 д а 2
А \А 2 да\
_ A i d / u \
A 2 d / v \
£l2 “
~А2
д^ 2 VAJ
+ ~АХЪm
« У
’
соотношений упругости
(fc)
(fc)
.
(fc)
.
(fc)
° i i
= a ii £ ii + a i j £ j j + <
3 £ 1 2-
r(fc)
_ Jk)
(fc),
12
= а]з'£ц + а£' £ 2 2 + ^ 1 2 ,
23
33
выражений для усилий
hk
г » = Е
к=—п hk-
и условия равнонапряженности волокон арматуры
&(к) = Е ^ е^ ) = const,
eJio = £" cos2
+ £ 22 sin2 ф £ ) + £12 C O S i p p sin
(16.86)
(16.87)
(16.88)
(16.89)
(16.90)
Рассмотрим задачу проектирования кольцевой трехслойной пла стины с круглым отверстием, растягиваемой усилием То. Пластина армирована окружным семейством волокон во внутреннем слое и двумя
— s h o t \ U
16.7. Многослойные эксцентрические кольца
381
спиральными семействами арматуры с углами ±ф во внешних слоях. На внутреннем контуре задано перемещение щ.
Эксцентрические кольца. Если отверстие нецентральное, будем получать условия реализации рационального проекта в биполярной системе координат. Условия равнонапряженности при требовании оди накового уровня напряжений в волокнах всех семейств арматуры будут
£ю =
£11 cos2 ф + £ 2 2 sin2 ф + ei2 cos ф sin ф,
£Ю =
£ll COS2 Ф + £22 sin2 Ф —£12 cosV>sinV>,
(16.91)
£ю = £22-
Из соотношений
(16.91) получим еп = £22 = ею. £12 =
0. При выборе
в качестве отсчетной срединной поверхности уравнения задачи рас тяжения для теории Кирхгофа-Лява [259] и уточненной теории [9] совпадут.
С учетом соотношений (16.91) уравнения равновесия:
дА2 Тп
дА2
(16.92)
да\
да\ Т2 2 = 0,
дА{Т22
дА {■Тп = 0.
да2
да2
Видно, что функции Тп = Т22 = То будут решением (16.89), удовлетво ряющим поставленному краевому условию Тц| = То.
Кинематические соотношения (16.87) в биполярной системе коор динат:
{chot\ + cos а.2 ) дадиi + sin 0 L2 V
dv
(1cho.\ + cos 0:2) да2
d(cha 1 + cos a2)u
d(chai + c o s a 2)v
da2
dai
Решением данной системы будут функции
Ш£ю
ТП£ю
0.
_ sha 1cos а2
_ cha i sin a 2
cha 1 + соэаг ’
cha\ + cos 02 ’
при заданном краевом условии
_
sha ю cos а2
I
_ chaIQ sin 02
ai=a,0
chaio + cosa2'
Vlai=aio
chaw + cos 02
Таким образом, условия совместности примут вид
Г
Т 0 — ( а п +
ai2)eio
(16.93)
I
TQ = (ai2 +
ап = агг-
fl22)£io
Из соотношений (16.93) получим выражение для £щ:
£ю —То/(ац + а^)
382 Гл. 16. Равнопрочные композитные пластины и оболочки
и соотношение для нахождения угла армирования:
а\25-
^ clg- + uJi2dEai cos4 ф = а\25
^ с12 + u i H E ao + u)i25Eai sin4 ф,
1
- г/с1
1 - i/cl
откуда получим выражение для cos 2ф:
cos2 ф = ^ ~ .
(16.94)
CJ1Z0
Таким образом, угол укладки арматуры для рационального проекта должен быть не более 45° (аналогично задаче для кольцевой пласти ны). На рис. 16.7 приведены схемы армирования при постоянном угле укладки волокон: сплошная линия - армирование вдоль координатных линий семейства « 2, штрихпунктирная линия — ф = 30°, штриховая — ф = 45°.
Круглые кольца. Для получения условий реализации рациональ ного проекта для кругового кольца с центральным круглым отверстием перейдем в цилиндрическую систему координат. В рамках данной постановки получим £12 = 0.
Критерий рациональности (16.90) примет вид (для семейств арма
туры, расположенных во внешних слоях, уравнения совпадут)
£\ cos9 ^ + £2 sin9ф
=
£ю,
(16.95)
£ 2
=
£2 0 -
Выразив из соотношений (16.89) компоненты тензора деформаций
иподставив в выражения (16.87), получим
£2 0 — £ю>
и= ГЕ2 0 -
Таким образом, следствием требования равнонапряженности арма туры будет требование равнодеформируемости.
Обозначая £ю = £20 = £о и используя соотношения упругости (16.90), выражение для усилий (16.89) и уравнения равновесия (16.86),
16.7. Многослойные эксцентрические кольца
383
получим выражение для соотношения между компонентами матрицы
жесткости:
rU п , ,
L
л . ~ 1
Т У , .
Т У А А
,
/ т •
с?(ац
+
QI 2)
а п
— Q22
gi _ л
(16.96)
j
T
r
I
eo
^ i
dr
где
ап
= a0H д ^gQ9 +
Qi 2<5
^ cl,
+
25£’ai cos4 ip,
1
- ^cO
Ec\
a,22
= a0H
jEcQ2
+
a t25
+ щ Н Е ао 4- a>i2<5^ai sin4 ip,
1
^ с12
1
-
- г/;cl
ai2 = aoH Uc0^c°
4 . Qi 2(5 t/cl^'cl
|_
cos2 ip sin2 ip.
1
— г/с0
1
— z/cl
Выбрав в качестве параметра проектирования угол укладки арматуры ip, получим уравнение для нахождения квадрата косинуса угла арми рования у = cos2 ip:
Ь + Ь = в , \ + В г .
йг г
г
Константу С определим из граничного условия на внешней кромке
пластины:
С =
п
В\
В2
где
с '
- Т “
т п 1»
Ci =
а0Н
,
Есо
-\- а\25
Eci
(25u)iEaiEo) l.
-
2
£Q
1
"сО
Дополнительным требованием для найденного решения будет огра ниченность функции О ^ у ^ 1.
Для проектов, удовлетворяющих условию нахождения в случае задачи растяжения кольца усилием То перепишем условие в виде
^ 1.
Чтобы выполнялась первая часть неравенства, слагаемое, содер жащее С ь должно быть положительно, что приведет к наложению ограничения на значения функции EQ\
£о ^
+ ai25- Е ,с 1
ao# Е с0
1“ "со
1- 1/;cl
Дополнительным требованием к EQ будет условие ограниченности уров нем предельной упругой деформации для материала: EQ ^ (тЦЕс.
Если рассмотреть случай, когда внешний и внутренний слои изго товлены из одного материала, и ввести вспомогательные обозначения
