книги / Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения

Подставляя эти выражения в (15.39), а затем полученный результат в (15.36), находим следующее интегродифференциальное уравнение относительно р(г):

{ Я 1 (-f) - ^ } rM = a

Решение этого уравнения при соответствующих краевых условиях определяет формы всюду безмоментных оболочек. При этом существо­ вание таких оболочек определяется существованием решения этого уравнения, не противоречащего смыслу искомой функции г}{г): для всех г должно быть \rj\^ 1.

Чтобы определить форму искомого меридиана, необходимо подста­

и путем интегрирования определить зависимость ж(г)( х - координата вдоль оси вращения).

Уравнение (15.2) с учетом (15.40) может быть представлено в сле­

уравнение (15.43) примет вид

Допустим, что H H Q 1 = (rrQl)n (п — любое действительное число). В этом случае уравнение (15.45) примет вид

Предполагая, что функции <pi(r)n <р2(г) в окрестности точки г = О

где В\, В 2 — константы, определяемые из краевых условий на торцах оболочки.

Вид Т\\(г) и Т2 2 (г) зависит от решения определяющего уравнения

р (р —1) + аоР + fy) —0.

Если (pi —р2) — нецелое положительное число, то

ОО ОО

(при этом возможен случай с* = 0). Алгоритм определения коэффици­ ентов с'к, с£ в (15.48) - (15.50) представлен в [186].

338 Гл. 15. П ро ек т и р о ва н и е ст р о го безм ом ен т н ы х арм и рован н ы х оболочек

ражения (15.37) в (15.43), получим следующее условие для компонент внешней нагрузки, обеспечивающей это состояние:

(pz cos <р — р 1sin (р) dr + с\

cos i f

Если геометрия оболочки, распределение толщины и характер армиро­ вания таковы, что Д)(г) = 0, то из (15.52) получаем следующее условие для компонент внешней нагрузки:

Если Ло(г) ф 0, то из (15.52), дифференцируя по г, получаем

* V $ + [s(£) + s ] f + [s ( £ H » -

А з d p i Гd ( Л Л , х 1 _

= - Т о ! Г ~ [ Т г U ) + r H P|-

Например, для полной изотропной сферы Ао(г) = А 2 (г) = 0 при р\ = О и уравнение (15.53) сводится к

ния и с безмоментными краевыми условиями, нагруженную осесиммет­ ричными внешними распределенными нагрузками. Определим закон распределения толщины, при котором в заданной оболочке реализует­ ся безмоментное напряженное состояние. Решение сформулированной задачи получим из уравнения (15.43) путем интегрирования относи­ тельно Н (г ):

L^o

где Т°, Т2 , Ь°2, Ь22 — значения функций при г = TQ.

При заданных внешних нагрузках, законе армирования, геометрии оболочки и краевых условиях выражение (15.54) определяет толщину

т. е. оболочка должна быть равнонапряженной: а\ = сг2 = <7g = const. Пусть срединная поверхность оболочки образована вращением эл­

липса с полуосями fljH аг вокруг оси а\. Для эллипсоида вращения из изотропного материала, нагруженного внешним равномерно распреде­ ленным нормальным давлением по формуле (15.54), рассчитаны неко­ торые значения Н /Н 0 для различных величин у = га2 х и а = а^/а^: при а = 2 (табл. 15.1) и при а = 5 (табл. 15.2).

Как видно, для обеспечения всюду безмоментного состояния рас­ сматриваемой эллипсоидальной изотропной оболочки стенка ее должна иметь значительный перепад толщины вдоль меридиана. Подобный проект вряд ли может быть реализован технологически.

5. Пусть для оболочки вращения данной геометрической формы заданы: осесимметричная внешняя нагрузка, закон распределения тол­ щины, характер армирования и безмоментные краевые условия. Требу­ ется найти такой закон дополнительного армирования, который обеспе­ чил бы безмоментное осесимметричное состояние в данной оболочке.

Дополнительное армирование представляет собой два одинаковых семейства нитей с углами армирования ф*и 7г —ф*. В этом случае первое соотношение (15.31) можно представить в виде

a^ei + а° 2 £ 2 + 2со*Е* (аЕ )~ 1е* cos2 ф* = (2Н аЕ )~хТ\\

а°2е 1+ а2 2 £ 2 + 2и>*Е* (а Е )~ 1е* sin2ф* = (2Н а Е )~ хТ2\

(15.57) Подставив выражение для е, из (15.57) в условие безмоментно-

сти (15.36), получаем уравнение относительно е2:

при условиях задачи и заданном угле ф*(г) определяет закон дополни­ тельного армирования, при котором в рассматриваемой оболочке реа­ лизуется безмоментное напряженное состояние. Перемещения в такой оболочке определяются соотношениями (15.38) при подстановке в них значений еь е2 из (15.57), (15.58)

При этом величина е2 определяется из (15.58), где

6.Пусть оболочки армированы в окружном направлении ipi = 90

по закону

Значения H /H Q, при которых в этих оболочках реализуется безмоментное состояние, рассчитываются по формуле (4.7). В табл. 15.3 приведены значения для а = 2, в табл. 15.4 — для a = 4.

Поскольку закон армирования и угол могут задаваться в широких пределах, из этих данных следует, что, подбирая характер армирова­ ния, можно уменьшить толщину безмоментной оболочки или реализо­ вать технологически приемлемый характер ее изменения в отличие от оболочки из однородного изотропного материала.

Проектирование строго безмоментного армированного купола.

Рассмотрим купол под действием собственного веса. В качестве кри­

342 Гл. 15. П роект и рован и е ст р о го безм ом ен т н ы х арм и рован н ы х оболочек

терия рациональности примем критерий безмоментности напряженного состояния купола. Тогда к уравнениям (14.7) - (14.17) добавятся соот­

ношения

М\ —М 2 —О

и после преобразования получится переопределенная система, для ко­ торой условие разрешимости будет иметь вид

Подставляя T* из (15.61) в (15.60) и интегрируя по s, определяем закон распределения толщины, обеспечивающий безмоментное напря­ женное состояние в армированном куполе:

Из анализа выражения (15.62)следует, что нетривиальное решение существует только при Т) ф 0 на верхнем краю купола. Варьируя параметры, можно получить множество разнообразных законов, среди которых имеются вполне приемлемые с технологической точки зрения.

На рис. 15.4 изображены примеры законов распределения толщины,

Рис. 15.4

ние интенсивности меридионального семейства арматуры; уменьшается такой важный показатель, как перепад толщины.

Представляет интерес решение прямой задачи расчета НДС арми­ рованного купола с использованием закона распределения толщины в форме (15.62), что позволит проверить правильность полученного рационального строго безмоментного проекта.

На рис. 15.5 представлен вид напряженно-деформированного со­ стояния стеклопластикового полусферического купола с постоянной (слева) и рациональной (справа) толщиной .

Рис. 15.5

Цифрами 1-4 обозначены кривые распределения величин Т\ • 10-3 , w ■10, $1 • 102, Mi ■10-1 соответственно. Действительно, характер НДС, представленный справа, соответствует безмоментному напряжен­ ному состоянию.

Следует отметить, что задачи проектирования куполов решались и ранее, но ввиду их сложности использовалась упрощенная безмоментная исходная система уравнений и определялись формы мериди­ ана, законы распределения толщин, обеспечивающие равнопрочность