книги / Прямые и обратные задачи механики упругих композитных пластин и оболочек вращения

314 Гл. 14. Проектирования композитных пластин и оболочек

екторий укладки волокон должны быть ограниченными функциями. Интенсивности армирования и углы ориентации армирующих волокон должны изменяться в пределах, допустимых технологией. Наличие столь многих управляющих функций и параметров, хотя и создает серьезные вычислительные трудности при решении оптимизационных задач, существенно повышает вероятность нахождения КК с необходи­ мыми высокими характеристиками качества.

Основные функционалы и критерии качества. Так как ги­ бридные КК могут создаваться в рамках непрерывного или кусочно­ непрерывного (во времени) технологического процесса, создание опти­ мальных КК следует рассматривать с технологической точки зрения как осуществление целевой оптимизации изготавливаемого изделия. При этом важную роль играет выбор критериев качества и ограниче­ ний, которые являются основными функционалами задачи. Последние обусловлены назначением конструкции, условиями эксплуатации и тех­ нологией изготовления. Для тонкостенных конструкций, используемых в аэрокосмической и машиностроительной технике, в энергетических установках и строительной индустрии, большую роль играют весовые и/или экономические характеристики. Масса гибридных КК определя­ ется выражением

где р{сп\ р^ — объемные плотности материалов матрицы и волокон к-го семейства в n -м слое конструкции; К(-) — число семейств волокон в n -м слое; N — общее количество слоев. Стоимость конструкции определяется выражением

*<">

„ м = 1 -

(14-2) где СсП\ 4 П) — удельные стоимости материалов матрицы и арматуры Ze­ ro семейства в n -м слое конструкции, которые могут быть функциями, зависящими от параметров технологического процесса создания п-го слоя.

Во многих случаях определенная (эталонная) конструкция для дан­ ных условий эксплуатации уже существует. Если ее масса и стой-

мость равны соответственно Во, С о, то относительные характеристики В = ~В/~Во, С = С / С о являются мерами качества усовершенствованных конструкций. При этом новые проекты будем считать рациональными,

проекты содержатся в классе рациональных и удовлетворяют требова­

Вотдельных случаях (когда для некоторых слоев используются уникальные, дорогие матрицы, армирующие элементы или технологи­ ческие процессы) суммирование в (14.2) можно производить лишь для этих слоев,расширяя тем самым класс рациональных проектов. Тогда

вкачестве Со можно взять предельную сумму расходов, отпускаемых на создание проекта.

Внекоторых случаях к управляющим функциям добавляется по­

верхность оболочки или ее часть при дополнительном условии задан­ ного значения Vo или обеспечения экстремального значения V* заме­ таемого ею объема пространства. В ряде случаев эксплуатационные условия требуют ограничения общей или локальной податливости кон­ струкции. Мерой общей податливости может выступать функционал, соответствующий работе заданных поверхностных нагрузок Р:

где u, UQ — векторы перемещений (здесь и далее величины с нулем

виндексах относятся к эталонному проекту). Мерой локальной по­ датливости может выступать величина вектора перемещения (прогиба)

взаданной точке:

J 2 = w ( x \ , X 2), J 02 = W0{ x \ ,x l) , J2 = J 2/ J Q2, {X \,X2)(ES,

(a;*, Zg) — координаты точки максимума прогиба. В связи с трудностью получения решений для таких локальных функционалов их прибли­ женно заменяют интегральными функционалами:

При разработке численных методов решения оптимизационных за­ дач основной проблемой является создание алгоритма построения ми­ нимизирующей последовательности управляющих функций, при кото­ рых соответствующие значения оптимизируемого функционала сводят­ ся к экстремальной величине. Одним из эффективных алгоритмов на этом пути является метод последовательной оптимизации, который но­ сит итерационный характер. При этом на каждой итерации осуществ­ ляется решение прямой задачи расчета НДС конструкции методами конечных или граничных элементов на разностных сетках, а затем по градиентным формулам производится варьирование параметров проек­ тирования.

Поскольку прямой расчет НДС сложных оболочечных конструкций требует большого объема вычислений и затрат машинного времени, важной является проблема сокращения повторных решений прямых задач в процессе поиска оптимума.

Обсудим некоторые эвристические требования, которые могут быть использованы при построении рациональных проектов многослойных полиармированных КК. В произвольно нагружаемых слоистых оболоч­ ках поля напряжений и деформаций в направлении нормали к отсчетной поверхности являются существенно неоднородными, что приводит к неравномерности работы материала в поперечном сечении, прежде­ временному растрескиванию на наружных поверхностях конструкции и расслоениям от поперечных сдвигов. С целью уменьшения таких неблагоприятных явлений целесообразно рассмотреть классы проектов безызгибных композитных оболочек [229], удовлетворяющих требова­

В случае однослойных квазиоднородных по толщине армированных оболочек требование безызгибного деформирования эквивалентно тре­ бованию реализации проектов строго безмоментных оболочек. Решения по обеспечению строго безмоментного состояния получены в работах [103, 107, 189, 221, 223, 230, 238-241]. В некоторых случаях можно использовать менее жесткие требования:

Соответствующий класс проектов будем называть полугибкими (или полужесткими) проектами. Волокнистые композиты по смыслу их создания характеризуются тем, что параметры прочности волокон во много раз выше соответствующих параметров связующего мате­ риала. Естественное желание активного использования уникальных прочностных свойств волокон заключается в требовании реализации условия равнонапряженности волокна вдоль всей его траектории, т. е.

318 Гл. 14. Проектирования композитных пластин и оболочек

в выполнении равенства

ak = Е кек = const,

(14.6)

efc = еп cos2 ipk + е 22 sin2 фк + е [2 sin 2фк ~

Условие равнонапряженности волокон (14.6) справедливо для мо­ дели КМ с одномерными волокнами при термоупругом поведении материала арматуры. Для полиармированных слоев требование рав­ нонапряженности волокон может быть использовано как для всех, так и для части семейств. В зависимости от этого будем получать различные классы проектов. В свою очередь эти классы при анализе возможностей технологических процессов создания армированной кон­ струкции можно разделить на подклассы конструкций, армированных непрерывными волокнами постоянного или переменного поперечного сечения или обрывающимися внутри области армирования волокнами постоянного сечения.

В некоторых случаях технологические процедуры изготовления ар­ мированных конструкций приводят к необходимости наложения опре­ деленных требований на траектории армирования. Например, укладка волокон вдоль геодезических траекторий позволяет удерживать их на поверхности практически без трения, что уменьшает степень рассогла­ сования траекторий армирования в процессе пропитки и отверждения связующего материала. Поскольку во многих случаях в армированных слоях роль связующего заключается лишь в обеспечении эффектив­ ной работоспособности волокон в целом, в качестве дополнительных разумных требований можно выдвинуть направление волокон вдоль траекторий главных напряжений или деформаций, что позволяет ис­ ключить нежелательный взаимный сдвиг волокон. Во многих случаях проектирования многослойных КК в общем пакете используются слои повышенной ответственности (коррозионностойкие и термостойкие по­ крытия, радиационностойкие защитные слои и т. п.), для которых вы­ ход из строя (разрушение) в локальной области эквивалентен наруше­ нию требуемых условий функционирования конструкции в целом.

Аналогичные ситуации возникают в армированных слоях с хрупким или термочувствительным связующим в условиях низких или высоких температур, когда вследствие растрескивания связующего нарушается работа армирующего слоя. В таких ситуациях в соответствующем слое можно потребовать выполнения вдоль всей поверхности оболочки предельного равенства в условии прочности Баландина, создавая рав­ нопрочное покрытие или армированную конструкцию равной трещиностойкости связующего материала. В качестве дополнительного условия можно потребовать также выполнение условия прочности Баландина в наиболее напряженной точке конструкции в данном слое.

Может быть использован и ряд других требований, предъявляемых к КК, согласованных с условиями эксплуатации и технологически­ ми возможностями изготовления рациональных изделий. В частности,

большие возможности открываются за счет выбора материалов в пакете конструкции. Например, если известно, что по условиям термосилово­ го нагружения часть стенки конструкции будет работать в условиях сжатия, а другая часть в условиях растяжения, то при подборе слоев необходимо учитывать, что в области сжатия целесообразно использо­ вать боропластики, а в зонах растяжения — углепластики. Когда одним из главных критериев качества выступает стоимость проекта, следует искать решение проблемы рационального проектирования опираясь на использование гибридных полиармированных композитных слоев. Такие гибридные композиты более дешевы и обладают рядом пре­ имуществ по сравнению с традиционными КМ. Например, гибридный материал, содержащий 20% углеродных волокон и 80% стекловолокон, обладает 75% прочности КМ, армированного только углеродными во­ локнами, а его стоимость составляет всего 30% стоимости обычного углепластика. При этом гибридные компоненты обладают пониженной пористостью, минимальными остаточными напряжениями, улучшают условия перераспределения напряжений между фазами в процессе на­ гружения материалов, улучшают термические характеристики. Напри­ мер, коэффициент линейного теплового расширения у стеклопластика и органоуглепластиков может не зависеть от температуры в диапа­ зоне от —120°С до +160°С, тогда как у обычного углепластика эта характеристика значительно изменяется с повышением температуры эксплуатации.

В некоторых случаях армирования композиция может оказаться менее прочной, чем сама матрица. Это наблюдается в случаях вы­ сокожестких матриц, когда удлинение матрицы при нагружении ее до разрушения оказывается недостаточным для того, чтобы передать значительную часть нагрузки армирующим элементам. При этом в ка­ честве дополнительного требования к рационализации проекта может выступать условие предварительно напряженной арматуры одного или нескольких семейств.

В некоторых случаях термосилового нагружения в тонкостенных армированных конструкциях возникают достаточно высокие сжима­ ющие напряжения, которые могут приводить к исчерпанию несущей способности конструкции вследствие потери устойчивости. Постанов­ ка и решение задачи о рациональном проектировании армированных оболочек и пластин по критериям статической и динамической потери устойчивости выходят за пределы настоящей монографии и не будут далее рассматриваться.

При поиске рациональных проектов можно выдвигать требования одновременной реализации перечисленных качеств (например, безмоментные проекты с равнонапряженной арматурой или безмоментные проекты равной трещиностойкости). Могут быть выдвинуты требова­ ния выполнения разных качеств в разных участках конструкции для получения рациональных мозаичных проектов. В ряде случаев вдоль всей поверхности (или ее части) в некоторых подслоях при поиске

320 Гл. 14. Проектирования композитных пластин и оболочек

рациональных проектов вместо усиливающей арматуры необходимо вводить ослабляющие капиллярные каналы или полые капилляры для прокачивания по ним охлаждающих или нагревающих жидкостей (га­ зов).

Использование подобных подходов, которым в основном и посвя­ щена настоящая монография, позволяет существенно расширить мно­ жество рациональных проектов, которые оказываются существенно лучше по сравнению с имеющимися аналогами. Не исключая проблемы поиска оптимальных проектов, в рамках рассматриваемых требований рациональности для КК остается еще много свободных параметров управления, которые позволяют с помощью известных процедур теории оптимального проектирования найти оптимальный проект в классе рас­ сматриваемых рациональных проектов. При этом задачи оптимального управления, как правило, имеют более простую формулировку.

Сформулированные задачи оптимального и рационального проекти­ рования при температурных воздействиях носят замкнутый характер лишь для случаев равномерного или почти равномерного (по простран­ ственным координатам) нагрева конструкций. Во многих реальных ситуациях внешние температурные воздействия обладают большими по модулю градиентами, порождая существенную пространственную изменяемость температурных полей в массиве конструкции. Характер и степень этой изменяемости зависят от внутренней структуры КК и теплофизических характеристик фазовых материалов. Поэтому для построения замкнутой теории рационального проектирования армиро­ ванных конструкций в условиях произвольного термосилового нагру­ жения необходимо дополнить приведенные выше соотношения уравне­ ниями структурной теории теплопроводности КМ и КК.

14.3. О постановках задач рационального проектирования армированных оболочек

Деформационные и прочностные свойства волокнистого композици­ онного материала при изменении направления и интенсивности арми­ рования меняются в довольно широких пределах. При этом высокие удельные характеристики КМ, достигнутые при простейших испыта­ ниях на растяжение-сжатие, не могут гарантировать хорошей работы конструкции из такого материала при более сложном нагружении, а даже, наоборот, могут привести к ухудшению качества конструкции по сравнению с изготовленной из изотропного материала. Эффектив­ ность использования КМ может быть обеспечена только после решения комплекса задач: выбора взаимно согласованных исходных компонен­ тов, учета технологических ограничений, определения рациональной структуры материала, которая в свою очередь зависит от принимаемого критерия рациональности.

322 Гл. 14. Проектирования композитных пластин и оболочек

Предположим, что, исходя из эксплуатационных или экономиче­ ских соображений, к оболочке предъявлены К требований, сформули­ рованных в виде

$ k ( s , ip, y ( s , i p ) , p ( s , ( p ) , q ( s , ( p ) ) = 0, (к = 1, ••• , K ) , (14.21)

где s, (р — независимые переменные; у — вектор-функция, описыва­ ющая НДС оболочки; р — вектор-функция, определяющая геомет­ рию и толщину оболочки, структуру и свойства ее материала; q — вектор-функция внешних воздействий. Тогда соотношения (14.21) вме­ сте с исходной системой N уравнений тонкостенной армированной оболочки образуют систему (N + К) уравнений, переопределенную относительно N неизвестных, входящих в вектор-функцию состоя­ ния у. Разрешимость этой переопределенной системы уравнений мож­ но попытаться обеспечить за счет параметров, входящих в функции проектирования р и нагружения q. При этом возможны, по крайней мере, два пути.

Первый заключается в замыкании получающейся системы уравне­ ний (14.21), (14.7)—(14.17) введением К дополнительных неизвестных из р и q и последующем численном решении нелинейных краевых задач системы (N + К) уравнений с (N + К ) неизвестными, что при­ ведет к значительным математическим трудностям.

на основе которых можно сформулировать широкий класс постановок задач рационального проектирования.

Задачу о реализации рационального НДС в армированной оболочке можно сформулировать следующим образом. Необходимо определить такие законы нагружения и изменения толщины, такие структуры композиционного материала и формы срединной поверхности оболочки, при которых условия разрешимости (14.22) будут выполнены тожде­ ственно.