книги / Твердотельная фотоэлектроника. Физические основы

н и ю ^ . 1.33). Отношение сигнала к шуму получается наибольшим и равным y/&/Wo при

К (ш) = К (w) exp \j<pk (w)] = AG* (w) exp { -jw tm) =

= A G (w )exp{-i[^s (w) + wfm]}. (5.7.5)

Из последнего соотношения вытекают два условия для фазовой и ампли­

Условие (5.7.6) определяет компенсацию начальных фаз в спектре сигнала. После прохождения через фильтр фазовая характеристика выходного сигна­ ла (-w tm) обеспечивает образование его пика при t = tm. Очевидно, что это возможно не ранее окончания сигнала.

Амплитудно-частотная характеристика К (w), соответствующая (5.7.7), пропускает спектральные составляющие шума неравномерно: с тем большим ослаблением, чем меньше модуль G (и). Ослабление сигнала из-за неравномер­ ности К (w) слабее, чем шума, так как имеет место для спектральных состав­ ляющих сигнала, вклад которых в величину пика сравнительно мал.

Поясним вывод соотношения (5.7.7) более наглядным методом «от простого к сложному», не опираясь на формулу Шварца.

Пусть спектр шума белый, а симметричный во времени сигнал имеет по­ стоянную спектральную плотность G\ в узкой полосе частот А /с. Если полоса усилителя еще уже (Af y < Д /с), то отношение сигнал/шум на его выходе

Здесь К 1 обозначает коэффициент усиления. NQ/ш увеличивается с ро­ стом A fy до тех пор, пока полоса усилителя не превысит полосу сигнала: при A fy > Д/с сигнал уже не возрастает с увеличением полосы, продолжает рас­ ти только шум. Следовательно, полосу усиления надо выбирать равной полосе сигнала.

Усложним задачу. Дополним спектр сигнала второй частотой /2 так, что он теперь состоит из двух равных узких полос А /с на частотах /1 и / 2 с раз­ ной спектральной плотностью Gi и G2 соответственно (рис. 5.7.16). Рассуждая аналогично первому случаю, находим, что полосы усиления опять должны со­ ответствовать полосе сигнала. Обозначив коэффициент усиления на частоте / 2

Выражение (5.7.9) практически уже представляет собой частотную характе­ ристику оптимального фильтра при белом шуме и сигнале произвольной формы (рис. 5.7.1д).

Определим импульсную характеристику согласованного фильтра. Из соот­ ношений (4.5.19) и (5.7.5) следует

оо оо

Учитывая, что G* (w) = G (-w ), перейдя к новой переменной ui = - и и вспом­ нив уравнение (4.1.22), получим

ности сигнала Тс, показано на рис. 5.7.2. Импульсный отклик h(t) фильтра, согласованного с импульсным сигналом s(t), есть зеркально отраженная и смещенная впра­ во на время сигнала Тс функция s(t).

Сигнал на выходе согласованного фильтра

«вых (£) = ^ JОО G (и>) к(и) exp (jut) du =

— ОО

=^ JОО G(u)G* (w)exp( - ju tm) exp (jut) du.

—OO

(5.7.11)

При t = tm из (5.7.11)

Р и с . 5.7.2. Сигнал s,(£) и согласо­

Таким образом, сигнал на выходе согласованного фильтра с точностью до

Учитывая (5.7.11) и (5.7.12), в которых (t - tm) обозначим как г,

Ввъ>х(т) = А2^ - jОО G2(w)exp[?'w(i - tm)]du =

= AW0sBUX (tm + r) = A2W0B S (T). (5.7.13)

Корреляционная функция шума на выходе согласованного фильтра по форме совпадает с корреляционной функцией входного сигнала и, следовательно, с выходным сигналом.

Дисперсия (средняя мощность шума) на выходе

Таким образом, отношение пикового значения сигнала sBblx (tm) к средне­ квадратичному значению шума составляет А&/\/A2WQ&— что , конеч­ но, совпадает со значением (5.7.4), полученным из частотного анализа.

5.7 СОГЛАСОВАННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛА НА ФОНЕ ПОМЕХ 367

На практике используют квазиоптимальные фильтры из более простых ком­ понентов, подбирая их параметры по тому же критерию — максимальному от­ ношению сигнала к шуму. Часто в качестве квазиоптимального фильтра ис­ пользуют одно или несколько ЯС-звеньев.

Рассмотрим прохождение прямоугольного видеосигнала через интегрирую­ щую ЛС-цепочку с передаточной функцией К (OJ) = 1/(1 + juR C ).

Максимальное значение входного сигнала в этом случае, достигаемое в

При Tc/R C = 1,28 отношение сигнала к шуму достигает максимального значения, равного 0,9у/T J W Q. Таким образом, переход от согласованного с сигналом фильтра к квазиоптимальному однозвенному ЯС-фильтру приводит к уменьшению отношения сигнала к шуму всего на 10% При этом отношение сигнала к шуму оказывается некритичным и к настройке RC цепочки: измене­ ние Tc/R C в 4 раза (от 0,64 до 2,56) приводит к дополнительной потере всего

в8%.

5.7.3.Согласованная фильтрация сигнала при небелом шуме. Пере­ даточная функция К (ш) согласованного фильтра определяется в результате приведения заданного спектра шума к белому.

боту устройства так как их результирующая передаточная функция равна единице.

где W (ы) — энергетический спектр шума на входе фильтра, Но — постоянная величина. Теперь на выходе первичного четырехполюсника наблюдается шум с равномерным энергетическим спектром (белый шум)

Wi М = W (w) К \ (w) = Wo.

Очевидно, что и сигнал на выходе этого четырехполюсника отличается от входного сигнала. Его спектральная плотность

Однако из раздела 5.7.1 следует, что для максимизации отношения сигнала к шуму сохранение формы сигнала не требуется.

Так как на выходе первого четырехполюсника шум белый, то для получения на выходе всего фильтра максимального отношения сигнала к шуму передаточ­ ная функция фильтра согласно (5.7.5) должна быть равна

-jrj-y K М = А&1 И ехр ( - jw tm) ■ h i (и)

Откуда

К (и) = AG\ (w) К i (w)exp (~ ju tm) = AG* (w) K{ (w)exp (~ ju tm) =

= AG*(W)K 12(o;)exp(-ja;tm) = AW0^ \ e x P( - j u t m) . (5.7.24)

W (w)

Физический смысл этого соотношения очевиден. Как и в случае белого шу­ ма, для получения максимального отношения сигнала к шуму фильтр должен обеспечить компенсацию начальных фаз спектра входного сигнала G(w). По­ этому в (5.7.24) входит комплексно-сопряженная функция G*{u>). Однако для усиления тех компонентов спектра сигнала, для которых интенсивность шу­ ма меньше, модуль передаточной функции не только пропорционален модулю G (w) (как при белом шуме), но и обратно пропорционален энергетическому спектру шума на входе фильтра.

5.8.Минимально обнаруживаемые оптические сигналы

5.8.1.Ограничение флуктуациями сигнала. Фундаментальное огра­ ничение минимально обнаруживаемой оптической энергии обусловливается квантовой природой излучения: в импульсе оптического сигнала не может быть меньше одного фотона. В идеальном фотоприемнике — счетчике фотонов один фотон преобразуется в один электрон, при этом минимальная площадь

импульса фототока во внешней цепи равна заряду электрона. Соответственно минимально обнаруживаемая энергия импульса не может быть меньше энергии фотона

Здесь размерности [<Smin] = Джоуль; [А] = микрон; 5, — монохроматическая токовая чувствительность идеального квантового фотоприемника (5, = q/hv).

Конечно, у большей части реальных фотоприемных устройств порого­ вая энергия далека от этого предела: требования, предъявляемые к оптико­ электронной аппаратуре, не позволяют неограниченно уменьшать фоточувствительную площадку, фоновый поток излучения и температуру фотоприемника. Ограничен и выбор элементной базы, а, следовательно, входных шумовых пара­ метров микросхемных предусилителей. Однако в фотоприемных устройствах с малошумящими лавинными фотодиодами, шумы которых в результате внутрен­ него усиления фототока превышают шумы усилителя, в специальных кремние­ вых приборах с зарядовой связью, а также при гетеродинном приеме излучения удается приблизиться к предельному значению и регистрировать если не один, то несколько единиц или десятков квантов.

Столь малые сигналы нельзя уже описывать детерминированными функци­ ями. В силу статистической природы как источников излучения, так и потерь излучения на пути от источника до фотоприемника, оптический сигнал явля­ ется случайным процессом: случайны моменты прихода каждого из фотонов, число фотонов N в импульсе, а, следовательно, и энергия импульса. Как и в любом случайном процессе, параметры конкретного импульса (или реали­ зации) не известны заранее. Могут быть предсказаны лишь статистические характеристики сигнала (прежде всего его средние длительность и мощность).

Случайное отклонение числа фотонов в импульсе от своего среднего зна­

квантов и вероятность пропуска импульсов возрастает (малый сигнал как бы сам мешает себя обнаружить).

Предположим, что фотоны регистрируются идеальным фотоприемником без потерь, при этом не создается дополнительных шумов. Рассмотрим одиночные импульсы со средним числом фотонов в импульсе N Из статистики Пуассона следует, что вероятность реализации импульса с числом фотонов N составляет

exp ( ~ N ) N N

p(N) =

т

В этом случае естественное правило принятия решения «сигнал есть» — это когда фиксируется хотя бы один электрон. Тогда вероятность пропуска сигнала

Последнее соотношение позволяет найти допустимое значение N, при ко­ тором обеспечиваются обычно требуемые в оптико-электронных системах зна­

Таким образом, требования по вероятности пропуска сигнала удовлетворя­ ются только при минимально регистрируемой оптической энергии в 7-21 раз большей квантового предела. Отношение сигнала к шуму (шуму сигнала) при этом составляет

Минимально обнаруживаемая оптическая энергия для таких импульсов об­ ратно пропорциональна длине волны излучения:

Квантовую эффективность т/ < 1 реальных фотоприемников можно рассмат­ ривать как вероятность для одного фотона генерировать один фотоэлектрон. То­ гда при среднем числе падающих фотонов N генерируется в среднем N c = rjN фотоэлектронов. Теперь статистике Пуассона подчиняется случайное число фо­

Последующая за фотоприемником обработка случайных сигналов практиче­ ски не отличается от фотодетектирования детерминированных сигналов. Опти­ мальным оказывается нешумящий (или малошумящий) усилитель-интегратор с постоянной времени, равной полной длительности импульса Т Выходной сигнал на один электрон такого интегратора пропорционален q/T (так как от­ ношение сигнала к шуму на выходе малошумящего усилителя не зависит от его коэффициента передачи, примем его равным единице). Интегратор запо­ минает импульсы от всех фотоэлектронов, поэтому его максимальный отклик в конце оптического сигнала достигает I = qNc/T Таким образом, усилительинтегратор выступает в роли обыкновенного счетчика фотоэлектронов за вре­ мя, равное длительности сигнала.