книги / Твердотельная фотоэлектроника. Физические основы

5.1 СВЕДЕНИЯ О СЛУЧАЙНЫХ КОЛЕБАНИЯХ 311

значение, зависит только от ее значения в начале интервала и его продолжи­ тельности), многомерный закон распределения полностью определяется дву­ мерным.

Исследование случайного процесса, а также реакции на случайный процесс различных устройств существенно упрощается при его стационарности. Слу­ чайный процесс называется строго стационарным (или стационарным в узком смысле), если его многомерная плотность вероятности p{xi,ti; X2,t2 \ ... xn,tn) зависит только от интервалов t2 —t\\tz —t\-,. . .tn —ti и не зависит от поло­ жения этих интервалов в области изменения аргумента t.

Во многих приложениях теории случайных процессов условие стационарно­ сти ограничивается требованием независимости от времени только одномерной и двумерной плотностей вероятности (такой случайный процесс называется «стационарным в широком смысле»). В этом случае автокорреляционная функ­ ция зависит опять не от самых моментов времени ti и а только от интерва­ ла между ними г = £2 - t\. Для стационарных процессов (в узком и широком смысле) выражения (5.1.4)—(5.1.6) и (5.1.9) можно записать без обозначения фиксированных моментов времени:

—о о —ОО

где xi = х (t) и х 2 = х (t + г). При т = t2 - t i = 0 автокорреляционная функция равна среднему квадрату случайного процесса в сечении t\.

Стационарный случайный процесс называется эргодическим, если усред­ нение любой его вероятностной характеристики по бесконечному множеству реализаций (по ансамблю) эквивалентно усреднению по времени одной теоре­ тически бесконечно длинной реализации.

Практически при усреднении по ансамблю оперируют с реализациями N (N >> 1) идентичных систем на некотором интервале времени 7д. Для эргодического процесса достаточно взять одну систему и получить ее представитель­ ную реализацию (несущую в себе все основные черты исследуемого процесса) за гораздо большее время Т ~ N T а - За «экономию» в числе систем приходится расплачиваться временем.

При экспериментальных исследованиях шумовых процессов обычно наблю­ дается одна реализация достаточно большой продолжительности.

Для эргодического процесса соотношения (5.1.11)—(5.1.14) эквивалентны следующим выражениям, в которых операция усреднения по интервалу вре­ мени обозначена прямой чертой сверху:

Из определения (5.1.18) вытекает четность функции Вх (т) = Вх (-т) для эргодических стационарных процессов.

Чем плавнее во времени изменяется х (t), тем больше интервал т, в пределах которого наблюдается статистическая связь между мгновенными значениями случайной функции (интервал корреляции).

При анализе стационарных шумовых процессов применяют автокорреляци­ онную функцию (иногда ее называют ковариационной функцией) в несколько ином виде, пригодном для описания шумов, то есть центрированных величин —

Определенная таким образом функция автокорреляции (ковариационная

функция) при любых г меньше прежней на величину (ж (£)) и, следователь­

но, Вх (т = 0) = <7;£. Если г достаточно велико, то значения |я(г)-ж (г)] и

x(t + г) - ж(£)| делаются независимыми и Вх (г) при г -4 оо стремится к ну­

лю (если, конечно, речь не идет о величинах, сохраняющих случайно принятые значения. Например, случайный заряд на отключенном от внешней цепи кон­ денсаторе сохраняется сколь угодно долго).

Вводится также нормированная автокорреляционная функция

Очевидно, что i?r (0) = 1.

В качестве характеристики связи между значениями двух стационарных и стационарно-связанных эргодических случайных процессов X (t) и У (t) вводят взаимно-корреляционные функции, определяемые выражениями

Как и для детерминированных колебаний, взаимно-корреляционные функ­ ции случайных процессов не изменяются, если сдвиг на г одной из функций x(t) или y(t) заменить на сдвиг в обратном направлении другой функции. Поэтому

Вху (т) = x(t)y(t + r ) = x(t - r)y(t),

ByX(r) = y(t)x(t + r) = y(t - r)x(t).

Следовательно,

BXy (т) —ВуХ( т),

Вух (т) = Вху ( — 7") .

Однако каждая из взаимно-корреляционных функций Вху (г) и Вух (г) не обя­ зательно четная относительно т.

Два процесса называются некоррелированными, если их функции взаимной корреляции равны нулю при любых значениях аргумента. Некоррелированные процессы энергетически не связаны.

Определим корреляционную функцию алгебраической суммы двух случай­

Если процессы X (t) и Y (£) независимы, то дисперсия (средняя мощность) их алгебраической суммы равны сумме дисперсий:

может быть больше или меньше суммы дисперсий. Так для двух совпадающих (полностью коррелированных) процессов X(t) = Y (t) флуктуации в каждый

осуществим операцию, обратную переходу от спектра периодического колеба­ ния к спектру импульсного сигнала. Нарастим ^-реализацию большим числом N —>• оо других реализаций с такой же длительностью. При этом спектральная функция Gx (из) случайного процесса X (t) усредняется по реализациям:

Достаточно поменять порядок суммирования и интегрирования в этом со­ отношении, чтобы убедиться, что среднее значение или спектральная функция Gx (из) такого процесса равна неинформативному нулю:

Пределы интегрирования можно сделать бесконечными, так как вне интервала [-Тр/2, Тр/2] хи (t) = 0; кроме того, для центрированного процесса xv (t) = 0.

Если бы ^-реализация наращивалась во времени ее периодическим повто­ рением, то в результате получился бы линейчатый спектр с амплитудами

G x (w) = G x (озп) = dnTp.

Однако в случае усреднения разных реализаций

Gx (w) = GXv (w) = dnTp = |ttn|exp (j<pn)Tp — |<xn| • exp (j<Pn)Tp =* 0*

Так как амплитуды и фазы в разных реализациях не коррелированы, то |a„|exp(jV) = |d„I - exp(jipn) — среднее от произведения равно произведению средних.

5.1 СВЕДЕНИЯ О СЛУЧАЙНЫХ КОЛЕБАНИЯХ 315

Гармоники с одинаковой частотой в спектрах разных реализаций стационар­ ного случайного процесса хаотически сдвинуты во времени друг относительно друга, поэтому их фазы равномерно распределены в интервале [0,2л-]. Это об­ стоятельство и обуславливает нулевой результат усреднения: exp[;Vn] = 0.

Тем не менее, спектральный анализ широко используется для исследования флуктуирующих величин. Шумы можно охарактеризовать спектральной плот­ ностью среднего квадрата их величины (средней мощностью, выделяемой на нагрузке 1 Ом), поскольку величина среднего квадрата не зависит от соотноше­ ния фаз суммируемых гармоник. Спектральную плотность средней мощности (средняя мощность на заданной частоте, приходящаяся на полосу частот 1 Гц), имеющую размерность энергии [Вт/Гц = Вт • с = Дж], называют также энер­ гетическим спектром случайного процесса.

Отметим, что локализуемость по частоте для средних билинейных величин (именно к ним относится и спектральная плотность шумов) является замеча­ тельным свойством, присущим только стационарным случайным процессам.

Энергия любой из реализаций (t) с конечной длительностью Тр стацио­ нарного процесса X (t) выражается через модуль спектральной функции этой реализации G*„(w) — уравнение (4.1.33):

Тр/2

2

Здесь Gxv (w) /Т р — спектральная плотность средней мощности ^-реализации

с продолжительностью Тр.

Так как энергетический спектр не несет в себе сведений о фазовых со­ отношениях, то восстановить реализацию процесса как функцию времени по энергетическому спектру нельзя.

Усреднив (5.1.24) по ансамблю реализаций, получают спектральную плот­ ность мощности [Вт/Гц] или энергетический спектр случайного процесса

Разделив обе части полученного уравнения на Тр и и произведя усреднение по реализациям, получим

Таким образом, автокорреляционная функция находится обратным преобра­ зованием Фурье спектральной плотности мощности стационарного случайного процесса.

Прямое преобразование Фурье автокорреляционной функции приводит оче­ видно, к спектральной плотности мощности

Уравнения (5.1.28) и (5.1.29) представляют собой математическую запись теоремы Винера-Хинчина.

Так как функция автокорреляции стационарного процесса четная, то

Связанные между собой автокорреляционная функция и энергетический спектр характеризуют случайный процесс в двух аспектах — статистической связью мгновенных значений, разделенных интервалом г, и спектрально. Здесь имеется аналогия с временным и спектральным представлениями детермини­ рованных процессов. Однако при детерминированных процессах связь между мгновенными значениями функциональная («жесткая»), в то время как при случайных процессах эта связь статистическая. Поэтому и спектр случайного сигнала может быть задан только энергетически (спектр детерминированного сигнала задается зависимостями от частоты амплитуд и фаз).

318 ШУМЫ И ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ Гл. 5

Таким образом, автокорреляционная функция является универсальной ха­ рактеристикой стационарного случайного процесса, определяющей все его ос­ новные числовые параметры. При т= 0 она равна среднему квадрату случай­ ной функции (или дисперсии — для центрированной случайной величины), при т —^ оо — квадрату ее средней величины. Преобразование Фурье, приме­ ненное к автокорреляционной функции, представляет исчерпывающие сведения о спектральной плотности мощности случайного процесса.

Определим автокорреляционную функцию для нормального стационарного процесса с нулевым средним и энергетическим спектром, равномерным на всех

Корреляционная функция равна нулю при всех значениях г, кроме г = О,

кополосный и узкополосные фильтры (рис. 5.1.2).

После фильтра с равномерным пропусканием в полосе частот от нуля до

Здесь a\ — дисперсия или средний квадрат шума на выходе фильтра, Ri (т) — нормированная корреляционная функция.

На рис. 5.1.3а приведены нормированная корреляционная функция Ri{r), а также Д2(т), полученная для узкополосного фильтра с равномерным пропус­ канием в полосе частот от нуля до Fi = Q \/2 n — в несколько раз меньшей f\ (эта полоса обозначена на рис. 5.1.2 штриховкой). Сужение спектра приводит к соответствующему растягиванию графика Д2 (т) по оси г.

На частотах /< С /ь где Ri (г) ~ 1, влияние широкополосного фильтра нижних частот на шумы несущественно, шум остается некоррелированным

Р и с . 5.1.3. Нормированные корреляционные функции случайных процессов с энергети­ ческим спектром равномерным в полосе: |w| < и | w | < f 2 i = w i / 5 (a); wo —Q / 2 ^ w ^ ^w o + fi/2 (б) [15]

и имеет белый спектр. В таких случаях можно без значительной ошибки за­ менить реальный шум, обладающий малым временем корреляции, на дельтакоррелированный шум.

Вычислим корреляционную функцию шума, спектр которого обозначен на рис. 5.1.2 двойной штриховкой. От шума в узкой полосе |ш| < fli этот случай отличается положением спектральной полосы на оси частот. Шум с подобным спектром называется узкополосным.

Огибающая функции R3 (г) — штриховая линия на рис. 5.1.36 имеет вдвое большую протяженность, чем R^ir), а частота высокочастотного заполнения Дз(т) равняется центральной частоте спектра шума WQ.

Шумовые колебания происходят в среднем с частотой шо> при этом огибающая

Р и с . 5.1.4. Реализация случайного процесса, корреляционная функция которого показана на рис. 5.1.36 (масштабы по осям ( и т разные) [15]

шума изменяется со временем сравнительно медленно — подобно шумовому процессу с наивысшей частотой Пь

5.2.Примеры случайных процессов

5.2.1.Биномиальный процесс. К биномиальному распределению приводит решение задачи Бернулли. Постановка этой задачи излагается следующим образом. Проводится т независимых испытаний, при каждом из которых происходит одно из противоположных событий: А (вероятность его появления обозначим р) или В (его вероятность д = 1 - р). Вероятность событий не меняется от испытания к испытанию. Требуется найти вероятность того, что за т испытаний какие-либо п раз произойдет событие А.

Вероятность того, что т испытаний в заданной последовательности п раз приведут к событию А, и (т - п) раз — к событию В, равна рпдт~п При этом

существует = т \/п\ (га —п)! способов различного расположения п событий А в последовательности из га испытаний и все они равновероятны. В результате закон распределения вероятности имеет вид

Этот закон представляет собой n-ый член разложения бинома Ньютона

т т

(р + д)т = ^ 2 СтРПдт~П= ^ Р т ( п )

п—0 Ti—0

т

и называется биномиальным. Сумма ^ Рт (п) равна единице, так как П=:0

(р + д)т = 1.