книги / Твердотельная фотоэлектроника. Физические основы

Это и есть формула для дробовых шумов тока, обусловленных дискретностью носителей электрического заряда и независимостью актов их попадания в об­ ласть р-п-перехода, или формула Шоттки. Более привычная ее форма

где Д / = 1/271— шумовая полоса электронного тракта для измерения шумов. Таким образом, спектральная плотность мощности дробового шума на всех частотах постоянна и составляет 2ql — дробовой шум имеет белый спектр.

Формула Шоттки — одна из основных формул статистической радиотехни­

ки.

Осуществим предельный переход в формуле (5.2.1) при m -»• оо, р ->■ 0, но при фиксированном п = тр. При п/т ~ тр/т = р < 1

Формула (5.2.9) представляет собой закон Пуассона. Единственным пара­ метром этого закона является п — среднее значение п, то есть пР (п) = п (очевидно, что £ ^ L 0P(n) = !)•

оп = у/трд = у/п{1 - р) = Vn.

Распределение Пуассона называют также равномерным распределением ве­ роятности события А: р = nidt, где щ = const.

и*

324 ШУМЫ И ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ Гл. 5

Приведем несколько примеров процессов, подчиняющихся распределению Пуассона.

1) Ток насыщения термоэлектронного катода. Электроны испускаются неза­ висимо друг от друга. Перелет электрона от катода к аноду создает импульс анодного тока длительностью ~ 10-9 сек с интегральным значением импульса (перенесенным зарядом) равным q. Если, например, средний анодный ток 5 мА,

и степень их перекрытия, а заряд, поступивший на анод за некоторое время Т = тпт, где каждый интервал т— одно из m испытаний, в результате которого констатируется либо вылет электрона, либо отсутствие вылета.

Таким образом, дробовой шум электронной лампы на частотах, меньших чем обратное время пролета электрона от катода к аноду, можно считать дельта-коррелированным.

2)Чрезвычайно похожая ситуация, только с участием электронов и ды­ рок, имеет место в области объемного заряда р-/г-перехода при протекании через него диффузионного тока Шокли, генерируемого в нейтральных р- и п- областях.

3)Переходы электронов с уровня на уровень в полупроводнике происходят независимо друг от друга и в случайные моменты времени. Приведенные ранее соотношения остаются справедливыми при замене токов на потоки частиц и заряда электрона на единицу (штуку).

5.2.3.Нормальный и гауссов законы распределения. Центральная пре­

дельная теорема. Для больших значений п биномиальное распределение Рт {п) и пуассоновское распределение Р (п ) могут быть аппроксимированы так называемым нормальным распределением:

(5.2.10)

Действительно, биномиальное распределение Рт (п) при больших п имеет максимум при п ~ п. Разложим функцию In Рт (п) в окрестности ее максимума в ряд Тейлора по Ап = п - п и ограничимся членами второго порядка (такое представление достаточно точно при больших п). Так как в максимуме Рт{п)

Сравнение этого выражения с (5.2.10) показывает их полную идентичность. В том случае, когда ст2 = п (как это имеет место для пуассоновского про­

цесса), нормальный закон называют гауссовым распределением.

Подобное (5.2.10) распределение может быть записано и для непрерывной случайной переменной. Одномерная плотность вероятности стационарного и

5.2 ПРИМЕРЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 325

эргодичного нормального процесса (рис. 5.2.1) определяется выражением

Здесь х и сг2 — постоянная составляющая и средняя мощность флуктуационной составляющей одной длительной (представительной) реализации случайного процесса. Отметим, что функция р(х) пол­

ния частиц идеального газа в термодинамически равновесных условиях по им­ пульсам (5.3.7) и скоростям (5.3.9).

Согласно (5.2.11) вероятность нахождения x(f) в интервале от а до 6 при

х= О

Р{а< ^х^Ь ) = — =

СГЛ/27Г

_ 1

ау/2ж

1

выражается через специальную функцию — интеграл вероятности или интеграл ошибок

о

Эта функция часто встречается при оценке ошибок измерения, при описа­ нии явлений диффузии, в статистике. Из приведенного соотношения видно, что

эта функция монотонная, нечетная и имеет следующие частные значения:

Интеграл вероятности табулирован, включен в инженерные справочники и ма­ тематические программы для компьютеров.

Из (5.2.12) при о = 0 и b —>• оо Р [ а ^ ж ^ 6] = 1 / 2 . Иного результата и не могло быть: при нормальном законе распределения, симметричном относитель­ но х = 0, равные вероятности (по 1 / 2) имеют все положительные и отрицатель­ ные значения х.

Из таблиц интеграла вероятностей следует, что вероятность пребывания нормального распределения случайной величины в интервале [-а, +сг] состав­ ляет 0,683; в интервале [ - 2<т,+2<г] — 0,954 и в интервале [—Зет, + 3сг] — 0,957. Соответственно ширина шумовой дорожки при наблюдении нормального шума, например, на экране осциллографа, составляет (44- 5) а.

Многомерное распределение стационарного нормального случайного про­ цесса полностью определяется двумерной плотностью вероятностей его значе­ ний xi и х2, разделенных интервалом времени г. Двумерная плотность при нулевом среднем значении имеет вид

В этой формуле R = R ( T ) и з (5.1.20). Одномерная плотность вероятности нор­ мального процесса получается из (5.2.15) интегрированием по х2.

Если значения нормальной случайной функции берутся через интервалы времени, большие интервала корреляции, многомерная плотность вероятности совместного распределения мгновенных значений в к сечениях

к

Формулы (5.2.11) и (5.2.15) позволяют вычислить условную плотность ве­ роятности при нормальном законе распределения. Условной вероятностью, как известно, называют вероятность отсчета х2 (t2) при условии, что ранее имел ме­ сто отсчет хх (ti ) = xi (t2 - т). Такую вероятность обозначают p2(x2/i\)- Оче­ видно, что двумерная вероятность событий хх и х2 равна произведений веро­ ятности первого события рх(хх) на вероятность второго, конечно при условии,

Отсюда условная вероятность

Р2{Х2/Хl) =

Среди реальных случайных процессов наиболее распространен именно нор­ мальный процесс. Это обусловлено тем, что случайные процессы часто являют­ ся результатом суперпозиции большого числа элементарных колебаний, каждое из которых вносит приблизительно одинаковый с остальными вклад в резуль­ тирующую сумму. Сумма независимых случайных величин с ростом их числа становится распределенной нормально, если отдельные слагаемые не оказыва­ ют заметного влияния на сумму в целом (центральная предельная теорема, доказываемая в курсах теории вероятности). К таким процессам, например, относятся шумы, вызванные дискретной природой носителей электричества и хаотичностью их движения в электрических цепях.

Процессы с нормальным законом распределения обладают рядом особенно­ стей. Линейная комбинация произвольного числа нормальных колебаний также нормальна независимо от параметров законов его слагаемых. Если нормальный процесс воздействует на линейное устройство, то случайное колебание на его выходе сохраняет нормальный закон, изменив лишь его параметры. Две по­ следних особенности характеризуют устойчивость нормального закона.

Для нормального закона некоррелированность R (г) = 0 означает статисти­ ческую независимость (при произвольном законе распределения такое утвер­ ждение невозможно).

Наконец, применительно к нормальным случайным процессам понятия ста­ ционарности в узком и широком смысле совпадают.

Так как нормальный случайный процесс удобен для анализа, то случайные процессы, распределение которых не слишком сильно отличаются от нормаль­ ного, часто заменяют нормальным процессом.

5.3. Ансамбли классических и квантовых частиц [8]

Свойства коллектива, состоящего из огромного числа частиц и пришед­ шего в равновесие, не зависят от начальных значений координат и импульсов частиц. Эти свойства остаются неизменными с течением времени несмотря на то, что координаты и импульсы всех частиц непрерывно меняются. Кол­ лектив, как целое, является качественно новой системой, поведение которой подчиняется статистическим закономерностям, имеющим вероятностный характер.

щаяся функцией состояния системы, испытывает все меньшие относительные отклонения, то есть практически постоянна во времени и равна своему сред­ нему значению. При этом относительно небольшие, но неизбежные временные ее отклонения от среднего значения называют, как уже отмечалось, флуктуа­ циями или шумами.

Квантовые микрочастицы, попадая в коллектив себе подобных (по массе, заряду, спину), становятся принципиально неотличимыми друг от друга (так называемый «принцип тождественности» микрочастиц). Это непосредственно вытекает из соотношения неопределенностей: так как квантовые микрочастицы не могут одновременно характеризоваться точными значениями координат и составляющих импульса, то к ним неприменимо обычное понятие траектории и, следовательно, отсутствует возможность отследить движение каждой частицы.

Кроме того, вследствие соотношения неопределенностей состояние кванто­ вой микрочастицы, в отличие от классической, нельзя отобразить точкой в фа­ зовом пространстве (пространстве координат и импульсов). Фазовое простран­ ство для квантовых микрочастиц квантуется на ячейки (элементы) объемом

A x A y A z A p xApyApz = h3

Если частица свободно движется в объеме V = A xA yA z, ее импульс опре­ делен с точностью до элементарной ячейки пространства импульсов

л л л ft3

ApxApyApz = — .

При большом V частица имеет практически точные значения импульса и похожа на классическую частицу. Если при этом нет ограничений на направле­ ние импульса, то состояние частицы однозначно характеризуется абсолютной величиной ее импульса р или кинетической энергии &\

Объем шарового слоя между этими сферами составляет 4тгp2dp. Тогда число элементарных фазовых ячеек в шаровом слое равно

Это соотношение было уже использовано нами в разделе 2.3.

По характеру поведения в коллективе все квантовые микрочастицы Делятся на две группы: фермионы (электрон, протон, нейтрон и другие) и бозоИЫ (фо­ тон, фонон, а-частица, ядра, состоящие из четного числа нуклонов, и другие). Этими названиями («фермионы» и «бозоны») частицы обязаны приведенным

5.3 АНСАМБЛИ КЛАССИЧЕСКИХ И КВАНТОВЫХ ЧАСТИЦ 329

ниже статистическим закономерностям Ферми-Дирака и Бозе-Эйнштейна, ко­ торым они подчиняются.

Фермионы характеризуются полуцелым спином (проекция спина на выде­ ленное направление ± 1 / 2/1, ± 3/ 2h,...) и обладают антисимметричными волно­ выми функциями, меняющими знак при взаимной перестановке двух микроча­ стиц. Вследствие обменного взаимодействия (статистического отталкивания) вероятность одновременного нахождения в одном и том же квантовом состоя­ нии (в том числе с одинаковыми спинами) более чем одного фермиона равна нулю — принцип Паули. С учетом спина s число состояний микрочастицы увеличивается в (2s ± 1 ) раз.

Бозоны обладают целочисленным спином (0, ±h, ± 2ft,...), описываются симметричными волновыми функциями и стремятся неограниченно заселять одно и то же состояние, причем чем больше частиц находится в состоянии, тем больше вероятность попадания в это состояние и других бозонов.

Плотность числа состояний в энергетическом пространстве получается из

Проинтегрировав это выражение от 0 до d>, получим полное число состояний микрочастицы в интервале энергий [0,<g]:

Если среднее расстояние между квантовыми частицами много больше их де-бройлевской длины волны (или число частиц N много меньше числа вол­ новых состояний G), то в близких состояниях частицы встречаются редко, их труднее спутать друг с другом и по своим свойствам они приближаются к клас­ сическим частицам. Подобные коллективы квантовых и классических частиц называются невырожденными.

В противоположном случае образуются вырожденные коллективы, в кото­ рых специфика фермионов и бозонов при заселении ими энергетических со­ стояний становится определяющей. Вырожденные коллективы могут образо­ вываться только квантово-механическими объектами, так как для выполнения условия N ^ G необходимо, чтобы число возможных состояний частицы бы­ ло хотя бы конечным. А это возможно лишь в случаях, когда энергия частиц принимает дискретный набор значений.

Таким образом, если уменьшать число квантовых частиц в коллективе или увеличивать число возможных состояний, то вырожденный коллектив превра­ щается в невырожденный и описывается классической статистикой, независимо от своей фермионной или бозонной природы.

330 ШУМЫ И ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ Гл. 5

Известно, что простейшим и наиболее изученным коллективом, описывае­ мым классической статистикой, является так называемый идеальный газ. На­ помним, что идеальным газом называют совокупность частиц-молекул, энергия взаимодействия которых мала по сравнению с их кинетической энергией. Это не означает, что имеют место слабые силовые взаимодействия между части­ цами, просто они происходят сравнительно редко. Однако именно эти отно­ сительно редкие столкновения обеспечивают установление в идеальном газе термодинамического равновесия. Кроме того, модель идеального газа обычно предполагает, что частицы движутся только поступательно.

Плотность вероятности для импульсов молекул в идеальном газе находится, исходя всего из двух предположений:

все направления в пространстве равноправны (условие изотропности);

скорость движения молекулы вдоль каждой координаты не зависит от ее скоростей вдоль двух других координат.

Последнее условие, очевидно, не соблюдается при приближении к скорости света.

Если обозначить плотность вероятности для х-компоненты импульса рх че­ рез ррх, то из условия изотропности сразу следует, что ррх представляет собой некую функцию от р2: ppx = (p(pl), так как вероятности движения молекулы с импульсами рх и - р х одинаковы. Из независимости движения вдоль каждой из координат также вытекает, что

Рр = Ф (р2) = Ф{р2х + Р2у + P I) = PpxPpyPpz = <Р (р2рХ) Ч> (Рру) V ш .

где рр = ф (р2) — плотность вероятности для импульса р = iрх + jpy + kpz- Прологарифмируем соотношение для рр:

InФ {р2х + Р2У + P2Z) = l n <P (P I) + l n (р(р2у) + l n <p(p2z ) .

Продифференцировав это уравнение по рх, ру или р2, убедимся, что отноше­ ние <р'/<р не зависит от рх, ру и pz, то есть представляет собой постоянную величину. Обозначим ее (—/3):

<Р

Откуда

Ррх = <Р {pi) = С е х р {-Ррх)2 .

Внутренняя энергия идеального газа представляет собой среднее значение кинетической энергии поступательного движения всех его молекул. Кинетиче­