книги / Твердотельная фотоэлектроника. Физические основы

Из термодинамики известно, что внутренняя энергия одного моля идеаль­ ного одноатомного газа, содержащего N& молекул (Ад — число Авогадро) составляет

где Д — универсальная газовая постоянная. Из сравнения соотношений (5.3.4) и (5.3.5) следует

где fc = Д/JVA — постоянная Больцмана.

Таким образом, плотность вероятности для ж-компоненты импульса молекул идеального газа, находящегося в состоянии термодинамического равновесия

Учитывая, что ^-составляющая скорости молекулы vx = px/ m 0, а также оче­ видной соотношение ppxdpx = pvxdvx, получим плотность вероятности для vx

Легко убедиться, что представленные термодинамически равновесные распре­ деления рх и vx описываются нормальными законами с нулевым средним зна­ чением и дисперсиями, равными тркТ и кТ/тп0 соответственно.

334 ШУМЫ И ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ Гл. 5

Функция распределения для фермионов называется функцией Ферми-

Умножив /ф (<§) на число энергетических состояний в объеме V и подставив для электронов s = 1 / 2, найдем закон распределения электронов по энергиям:

Из соотношений (5.3.14) и (5.3.15) следует, что при температуре абсолют­ ного нуля все уровни с энергией & меньшей /х заняты, а с энергией большей /х — свободны. Согласно принципу Паули в каждом состоянии не может нахо­ диться более одного электрона. Поэтому электроны последовательно занимают все состояния, начиная с наинизшего.

Уровень энергии <В= /х в квантовой статистике фермионов называют уров­ нем Ферми и обозначают <£р-

Положение уровня Ферми <gp в электронной системе может быть найдено из условия нормировки:

Полная энергия электронов (и дырок) в полупроводниках определяется не только температурой и плотностью носителей заряда (как в случае химического потенциала /х), но и электрическим полем. При его наличии к энергии элек­ трона добавляется электростатическая энергия —qV, где V — электрический потенциал. Поэтому положение уровня Ферми на энергетических диаграммах смещается вверх или вниз в зависимости от знака потенциала.

Произвольная система частиц-фермионов находится в равновесии, если энергия Ферми во всех частях системы одинакова. Термодинамический смысл энергии Ферми дал основание назвать ее электрохимическим потенциалом.

Функция распределения для бозонов называется функцией Бозе-

5.4 ВИДЫ ШУМОВ 335

Напомним, что фотоны или кванты электромагнитного излучения имеют спин, равный единице.

Рассмотрим фотонный газ, находящийся в термодинамическом равновесии со стенками замкнутой полости. Предположим, что в замкнутой полости име­ ется Ni атомов в основном состоянии с энергией <§i и N2 в возбужденном состоянии с энергией &2>причем <g2 - Si = hv. Согласно фактору Больцмана

^=ехр(“Ю- <5'зл7)

Среднее число фотонов в состоянии с энергией hv, находящихся в тепловом равновесии с атомами, обозначим п. В состоянии равновесия скорость погло­ щения фотонов (очевидно, что она пропорциональна Nifi) должна быть равна скорости их испускания (она пропорциональна N2(n + 1) — согласно ранее отмеченному свойству бозонов в присутствии в полости п таких же фотонов скорость испускания увеличивается в (n + 1 ) раз по сравнению со случаем их отсутствия):

Подставляя (5.3.18) в (5.3.17), получим среднее число фотонов с частотой v, то есть функцию распределения фотонов по энергиям:

Из сравнения (5.3.19) с функцией Бозе-Эйнштейна (5.3.16) видно, что для фотонов \i = 0.

Соотношение (5.3.19) было выведено ранее в разделе 2.3.1, исходя из пред­ ставления о стоячих электромагнитных волнах в замкнутой полости.

5.4. Виды шумов

Повторим еще раз, что шумом или флуктуацией называют отклонение случайной величины от ее среднего значения. Таким образом, шум представ­ ляет собой центрированную случайную функцию, поэтому ее усредненное значение равно нулю.

Шумовые характеристики оптико-электронной аппаратуры ограничивают ее точность при измерении параметров сигнала и предельные возможности при обнаружении малых сигналов. В то же время шум электронных компонентов в некоторых случаях позволяет сделать выводы относительно особенностей протекающих в них физических процессов, в том числе прогнозировать надеж­ ность.

Причиной большей части шумов в оптико-электронной аппаратуре и ее ком­ понентах является случайный характер (хаотичность) теплового движения и переводов между энергетическими уровнями микрочастиц — носителей элек­ трического заряда.

Двумя наиболее часто встречающимися видами шумов являются тепловой

идробовой.

5.4.1.Тепловой или джонсовский шум. Тепловой шум возникает, когда вследствие случайного распределения тепловых скоростей носителей заряда в проводнике (полупроводнике), находящемся при температуре, отличной от аб­ солютного нуля, нарушается его локальная электронейтральность и возникают локальные электрические поля. Релаксация локальных электрических полей не зависит от геометрии образца и определяется максвелловской постоянной времени материала тм = рее0 (р — удельное сопротивление). Статистически независимые элементарные флуктуации, обусловленные очень большим чис­ лом таких микроскопических импульсов, накладываясь друг на друга, создают на клеммах резистора шумовую электродвижущую силу (ЭДС).

Тепловые шумы, обусловленные хаотичностью теплового движения носите­ лей тока, носят универсальный характер — имеют место во всех проводящих материалах и практически во всех устройствах.

Для расчета спектральной плотности теплового шума воспользуемся тео­ ремой Рамо, согласно которой ток между закороченным обкладками плоского конденсатора при движении между ними электрического заряда q с нормальной

кплоскости обкладок составляющей скорости vn составляет

где L — расстояние между обкладками.

Рассмотрим резистор с длиной L, сечением А, удельным сопротивлением р и общим сопротивлением R = рЬ/А.

Замкнем его контакты через внешнюю цепь с бесконечно малым эквива­ лентным сопротивлением и рассчитаем шум тока во внешней цепи.

В объеме резистора подвижные носители находятся в термодинамическом равновесии и совершают хаотическое тепловое движение. Выделим на интер­ вале наблюдения один элементарный акт: смещение одного электрона вдоль длины резистора на расстояние 1п — на длину свободного пробега между двумя соударениями. При этом в соответствии с теоремой Рамо через внешнюю цепь перетекает заряд

_

инд —Я ^ •

Обозначим среднее время пробега электрона между столкновениями тх. Тогда за интервал наблюдения электрон совершает в среднем N = т /г т пе­ ремещений и соответственно наводит N импульсов тока во внешней цепи. А всего в резисторе пАЬ электронов (п — объемная концентрация электронов).

Время свободного пробега электрона очень мало и по порядку величины составляет 10- 12-е-10-15 с. Следовательно, наведенные им в резисторе импуль­ сы — короткие, спектр их при частотах меньших ~ 1/гт — белый. Односторон­

няя спектральная функция одного импульса равна его удвоенной площади:

H f ) = 2 q f .

Спектральная плотность шума от одного элементарного импульса на интер­ вале наблюдения

А для всех N (nAL) импульсов эта плотность в N (nAL) раз больше, так как импульсы статистически независимы и их дисперсии складываются:

Для того, чтобы заменить микроскопические параметры в уравнении (5.4.1) нам понадобятся четыре соотношения из молекулярной теории газов, примени­

(где vn — тепловая скорость электронов), непосредственно следует из незави­ симости vn и гт

Второе соотношение,

(здесь m — масса носителей заряда) вытекает из определения температуры через кинетическую энергию частицы при движении ее вдоль одной координаты mv2/2 = к Т / 2 .

следует из определения подвижности /л. При приложении электрического поля Е на электрон действует сила F = qE. Ее импульс за среднее время свободно­ го пробега qErT увеличивает импульс частицы в среднем на величину m,Av. Подвижность и есть отношение приращения средней скорости Av вдоль поля к напряженности этого поля

Av qErT qrT

^Е тпЕ m

Последнее из соотношений,

338 ШУМЫ И ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ Гл. 5

является следствием экспоненциального распределения плотности вероятности для времени свободного пробега p(rT) = ех р (-гх/г т)/г т:

__ оо оо

= 1 ^ / г’ ехр ( - £ ) iT' = / Л хр(“1)d1 =

С помощью соотношений (5.4.2)-(5.4.5) заменим микроскопрические пара­ метры на макроскопические:

Подставив это соотношение в (5.4.1), приходим к формуле Найквиста для теплового шума

Формула (5.4.6) описывает генератор шумового тока резистора. На эквива­ лентной схеме он подключается параллельно резистору и при коротко замкну­ той внешней цепи шумовой ток полностью течет во внешнюю цепь.

Такой генератор тока с внутренним сопротивлением R можно заменить на

= Ry/Wi (/) с последовательным сопротивлением и е\ — шумовые ток и ЭДС в полосе частот 1 Гц)

физически менее наглядный. Однако такой подход дает возможность учесть квантовые свойства электронов.

Рассмотрим простую 7?С-цепочку, в которой резистор R поддерживается при температуре Т (рис. 5.4.1). Тепловой шум резистора может быть описан с

помощью пока неизвестной среднеквадратичной ЭДС шума у/е£, включенной последовательно с сопротивлением R. Обозначим через vc выходное напряже­

5.4 ВИДЫ ШУМОВ 339

ние на конденсаторе С. Вклад в выходной шум в частотном интервале df

О

В соответствии с законом о равномерном распределении энергии по степе­

настроенный на эту частоту гармонический осциллятор. Квантовый осцилля­ тор может принимать лишь определенные значения энергии <gn = / i / ( i + п), где п = 0, 1 ,2,... Средняя энергия такого осциллятора вычисляется с использо­ ванием распределения Больцмана и составляет

При h f ^ i k T £ = кТ (средняя энергия осциллятора включает равные кТ/ 2 кинетическую и потенциальную составляющие) и справедлива формула (5.4.7). Только при очень высоких частотах (более 1011 Гц при комнатной температуре) уравнение (5.4.7) переходит в

Именно в таком виде формула для теплового шума была получена Найкви­ стом. Наличие Бозе-Эйнштейновского множителя 1/[ехр (hf/kT) - 1] в выра­ жении (5.4.10) указывает на связь теплового шума с равновесным температур­ ным излучением.

В заключение этого раздела приведем доказательство теоремы о равномер­ ном распределении энергии по степеням свободы. В ЯС-цепи (рис. 5.4.1) энер­ гия, накопленная в конденсаторе, составляет Cv2/ 2. В соответствии с распре-

делением Больцмана вероятность того, что напряжение на емкости находится в интервале между v и v + dv, составляет

ОО

Постоянная Со определяется из условия нормировки f dP = 1, откуда

— ОО

— СО — ОО

или Со = Тогда

что и требовалось доказать.

5.4.2. ЛГС-шум. Необычную форму приобретает выражение для теплового шума в пикселах матричных фотоприемных устройств, если информационный заряд в них регистрируется как изменение напряжения на емкости, периодиче-

ски заряжаемой с помощью ключа до потенциала £/нсх (или до заряда СнС/исх) — рис. 5.4.2.

В отсутствие фототока, то есть при темновом кад­ ре, заряд емкости сохраняется постоянным (темновым током фоточувствительного элемента обычно можно пренебречь). При накоплении фототок разряжает ем­ кость.

К сожалению, U„cx не является строго постоянным, а изменяется после каждой коммутации ключа. Флуктуации ДС,?сх объясняются тем, что ключ подключает к емкости Сн не только

генератор постоянного тока {7ИСХ, но и генератор теплового шума = 4кТR, где R — сопротивление самого ключа и токопроводящей цепи, включая внут­ реннее сопротивление генератора. На низких частотах шумовое напряжение полностью падает на емкости, а на высоких — на сопротивлении R. Для та­ кого однозвенного фильтра с постоянной времени г = RC„ дисперсия шума на