книги / Твердотельная фотоэлектроника. Физические основы
.pdf5.5 ЛИНЕЙНЫЕ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ СЛУЧАЙНЫХ КОЛЕБАНИЙ 351
Здесь внутренний интеграл — автокорреляционная функция импульсного от-
СО |
h (0) h (в + 7 ) d6. |
Окончательно |
клика четырехполюсника h (i): Bh (7 ) = f |
||
СО |
|
|
Ву (т)= I Вх (г - |
7 ) Bh(7 ) dj. |
(5.5.12) |
— СО |
|
|
Автокорреляционная функция случайного колебания на выходе четырехпо люсника с постоянными параметрами равна свертке в бесконечных пределах автокорреляционных функций входного колебания и импульсного отклика це пи.
Таким образом, по корреляционным функциям Вх (г) и Bh (г) может быть определена корреляционная функция сигнала на выходе четырехполюсника Ву (т), после чего может быть найден энергетический спектр выходного сигна ла
СО |
|
Wy {u) = J Ву (г) exp {—jur) dr. |
(5.5.13) |
—OO
5.5.3.Дифференцирование и интегрирование случайного процесса.
Пусть задан стационарный эргодический случайный процесс X (t) с энерге тическим спектром Wx (w) или корреляционной функцией Вх (т). Требуется найти аналогичные характеристики для процесса У (t) на выходе идеальной
дифференцирующей цепи, передаточная функция которой К (и) = ju r 0. Усло вия дифференцируемости случайной функции обсуждаются позже.
С учетом соотношений (5.5.6) и (5.5.11) |
|
Wy (ы) = К 2 И Wx (и) = TQOJ2WX (и) , |
(5.5.14) |
СО |
|
By (r ) = то ^ J bJ2Wx (w)exp (juT)du = -т$В" (т). |
(5.5.15) |
— СО
Из уравнения (5.5.14) следует, что дифференцирование приводит к ослаб лению нижних частот исходного процесса. Корреляционная функция производ ной случайного процесса (5.5.15) пропорциональна взятой с обратным знаком второй производной его корреляционной функции.
Таким образом, для дифференцируемости случайного процесса необходи мо существование второй производной его корреляционной функции. Посколь ку Вх (г) обладает симметрией относительно т = 0, для дифференцируемости процесса X (t) производная его автокорреляционной функции при г = 0 должна быть равна нулю.
354 |
ШУМЫ И ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ |
Гл. 5 |
|||
|
|
|
ОО |
|
|
|
в у |
(т) = |
-Г- |
, Wx^ \ coseordu. |
(5.5.22) |
|
|
2п Jf |
1 + WZT£ |
|
|
— ОО
При белом входном шуме Wx (w) = Wo из (5.5.22) получаем корреляцион ную функцию
ОО |
|
^ |
= - e x p H |
|
r |/r0) |
(5.5.23) |
n , , _ W 0 1 [ i7^ - j- |
. |
|||||
co sw r |
|
Wo |
. . |
|
||
с дисперсией |
|
|
|
|
|
|
= |
Wp = |
Wp |
|
|
|
|
° y |
2r0 |
|
2RC |
|
|
|
Если x (t) ф 0, то |
|
|
|
|
|
|
в у(т) = [ х (*)] |
+ ^ e x p [ - |r |/ r 0]. |
|
|
|
||
Из приведенных соотношений следует, что в установившемся режиме слу чайный процесс на выходе интегрирующей RC цепочки является стационарным, как и входной процесс.
5.5.4. О законах распределения случайного колебания на выходе ли нейного четырехполюсника. Уже отмечалось, что если на линейное устрой ство воздействует нормальный случайный процесс, то колебание на его выходе сохраняет нормальный закон распределения, изменив лишь его параметры. Та ким образом, анализ передачи нормальных процессов через линейные цепи по существу сводится к корреляционному или спектральному анализу.
Однако если входное колебание имеет отличный от нормального закон рас пределения, то в общем случае определить закон распределения выходного колебания не удается, хотя моменты различных порядков и могут быть вы числены. Так, среднее значение процесса после прохождения через четырехпо люсник изменяется пропорционально площади его импульсной характеристики f ^ h ( t ) d t , что следует из уравнения (5.5.3).
Если электрическая цепь инерционна (узкополосная цепь), так что эффек тивная длительность h(t) значительно больше интервала корреляции входного колебания, то выходной процесс представляет сумму большого количества со измеримых случайных величин и в соответствии с центральной предельной теоремой стремится к нормальному. Это явление носит название нормализации колебаний в узкополосных четырехполюсниках.
5.6. Принятие решения о наличии или отсутствии сигнала [37]
Решение о наличии или отсутствии сигнала на входе оптико-электронной системы принимает электронный дискриминатор (пороговое устройство), на который подается предварительно обработанная смесь сигнала и шума.
356 |
ШУМЫ И ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ |
Гл. 5 |
Зависимость вероятности ложной тревоги от порога срабатывания пред ставлена в табл. 5.6.1 и на рис. 5.6.1а. Здесь проявляется замечательное свой ство нормального закона: вероятность появления малых значений и (не более
(1 ± Ъ )< М ) велика и относительно слабо падает с ростом и, зато большие
значения и > 3yfufi, маловероятны. Эта особенность еще больше подчеркива ется в функции ошибок. При пороге U„ор = 0 вероятность Рлт = 0,5, так как
|
р |
|
|
|
положительные и |
отрицатель |
||
|
|
|
|
ные выбросы |
шума |
равноверо |
||
|
г т |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
ятны. При изменении U„ор/ у/иЦ |
|||
|
0,5 |
|
|
|
от 0 до 1 вероятность Рлт пада |
|||
J____ 1____ 1____ |
■ — |
2 |
•____ 1____а " ° р |
ет относительно мало: от 0,5 до |
||||
- 2 - 1 0 |
1 |
tfi |
0,159. Но уже при порогах сра |
|||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
батывания |
и пор = |
(2-гЗ) |
|
|
|
|
|
|
вероятность |
Рлт |
становится |
|
|
|
|
|
|
малой 2 • (10_2-г-10-3) и |
очень |
||
|
|
|
|
|
резко спадает с ростом U„ор — |
|||
|
|
|
|
|
повышение |
U,пор |
£/£ |
всего |
|
|
|
|
|
на единицу приводит здесь к |
|||
Р и с . 5 .6 .1 . З а в и си м о ст и |
в ер оятн ости л о ж н о й т р ев о |
уменьшению Рлт почти на два |
||||||
ги Рлт (а ) |
и в ер оятн ости |
пропуска цели Рпц (б ) от |
порядка! |
|
|
|
||
отн ош ен и я |
пор огов ого |
нап ряж ен и я к ш ум у |
Пусть теперь на фотоприем- |
|||||
|
|
|
|
|
||||
ное устройство подается оптический сигнал. Обозначим амплитуду сигнала на входе дискриминатора в момент tm как UC A - Естественно всегда выбирать Unop<UcA, тогда в отсутствие шумов пороговое устройство принимает правиль ное решение «сигнал есть». Пропуск цели может произойти, если в момент tm появляется значительный отрицательный импульс шумов, такой, что на пряжение смеси сигнала с шумом окажется меньше порогового напряжения:
и = UQA -Ь (^m ) = UCA ( f m )| ^ U^op-
Очевидно, что вероятность получить в момент tm суммарное напряже ние сигнала с шумом U = UQA + um{tm) равна вероятности появления Шума um{tm) = (u - UQA), которая при нормальном распределении шумов составляет
1 |
exp |
[и - U C A ? |
р { и - UQA) -- |
2U* |
|
|
|
Так как при всех значениях и < Un0р пороговое устройство пропустит цель, то вероятность ее пропуска
ц„< |
ип, |
|
exp (и - U C A ? du = |
Рпц = [ P {U - UC A ) du = |
I |
. |
|
-с о |
-с о |
\J^U l |
|
5.6 |
ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ О НАЛИЧИИ ИЛИ ОТСУТСТВИИ СИГНАЛА |
357 |
|
|
(УСA ~ и ? |
Ус а - ц |
|
|
£Люр |
|
|
|
|
1 - Ф UCA Unop |
(5.6.2) |
Формула для Рпц получается из (5.6.1) простой заменой {7пор на (UCA
Unop)
Зависимость Рпц ( и п о р / Щ приведена на рис. 5.6.16. По сравнению с
Рлт кривая РПц сдвинута вправо на величину {Усд/у Рщ и зеркально развер нута.
При проектировании оптико-электронных систем Unор выбирается в зави симости от шумов системы и заданной вероятности ложной тревоги. Затем, исходя из вероятности пропуска цели, определяется UCA и минимальная обна руживаемая этой системой мощность. Если опаснее ложная тревога, то значе ние t/„op выбирают дальше от значения шума, а если пропуск цели, то дальше от UC A -
В ряде случаев цена ошибок одинакова. Это относится, например, к волоконно-оптическим линиям связи и передачи информации, где нельзя при нимать ложный нуль за ложную единицу (ложное срабатывание) и наоборот (пропуск сигнала). В этом случае минимизируют суммарную вероятность ошиб ки:
Рот = -Рлт + Рпц = 1 + - |
Уса —Упор |
+ ф |
|
|
у Щ |
Минимум ошибки достигается, когда вероятности ложной тревоги и про пуска цели равны и Unop = UC A /%- Это минимальное значение равно
minP01u = 1 —Ф I — т== 1 |
(5.6.3) |
\ 2у 217,5/
В волоконно-оптических линиях связи и передачи информации требования к вероятности ошибок чрезвычайно жесткие: обычно Рош = 10-9 или Рлт = = Рпц = 5 • Ю -10 При этом согласно (5.6.1) и (5.6.3)
Рпор = 6,1 у/Щ , UCA = 2Unop = 12,2 y ^ f , |
(5.6.4) |
Для других оптико-электронных систем требования к Рош, Рлт. Рпр обычно менее жесткие. Типовые значения порога срабатывания и отношения сигнала
358 |
ШУМЫ И ФИЛЬТРАЦИЯ СИГНАЛОВ |
Гл. 5 |
к шуму для оптико-электронных систем лежат в достаточно узких пределах:
(5.6.5)
Напомним, что формула (5.6.4) выведена для нормальных шумов. К сожале нию, в реальных системах не всегда удается избежать влияния неконтролиру емых электрических наводок или оптических помех. В этом случае приходится загрублять порог £/ПОр (увеличивать его по сравнению с (5.6.5)) и не удается полностью реализовать потенциальные возможности системы.
До сих пор рассматривался случай, когда момент прихода сигнала известен. Однако это не всегда так. Обычно известен лишь некоторый, иногда достаточно большой интервал времени Т, в течение которого может появиться сигнал. Тогда решающее пороговое устройство включается на все время Т
При расчете вероятности пропуска цели все предыдущие рассуждения и формула (5.6.1) остаются в силе. Однако ложную тревогу теперь может вызвать не только шумовой выброс в момент времени tm, но любой такой импульс на интервале Т. Поскольку число таких импульсов ЛОгт зависит от интервала наблюдения, то вводится удельная характеристика — частота ложной тревоги /лт = N j\t/T
Появление ложного импульса определяется пересечением случайной функ цией иш(Ь) уровня {/„ор «снизу вверх». Это сложное событие состоит в том, что в некоторый момент времени случайная величина иш должна оказаться вблизи уровня {/„ор (например, под ним на расстоянии меньшем Диш) и одно временно с этим первая производная случайной функции и'ш(t) должна быть положительной, то есть
(5.6.6)
Таким образом, вероятность появления ложного импульса определяется двумерной плотностью вероятности Р2 (иш,у) мгновенных значений случайной функции иш (t) и ее производной и'ш(t) = Y (£):
О t/flOp — Дtill!
Для стационарного процесса формула (5.6.7) инвариантна в отношении вре мени. При достаточно малом интервале времени At, соответствующем измене нию иш(0 на малую величину А иш~ уAt, можно сделать замену
5.6 ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЯ О НАЛИЧИИ ИЛИ ОТСУТСТВИИ СИГНАЛА 359
Тогда
|
|
|
оо |
Р (f^ n o p “ |
^ |
Unop,< |
Uui (t) > 0 ) ~ Дt j у р 2 ( и пор,у) dy. |
|
|
|
О |
Среднее число пересечений уровня Unoр снизу вверх за время наблюдения
Т:
Т оо оо
N m = f dt J |
ур2 (t/nop,у) dy = T j y p 2 (Unop, у) dy. |
|
|
0 |
0 |
о |
|
И средняя частота ложных тревог |
|
|
|
|
_______ |
ОО |
|
/л т |
= ^ Г - = |
JУР2 (t/пор, у)dy. |
(5.6.8) |
о
Как было показано, случайная функция и ее производная в совпадающие моменты времени некоррелированы, а для нормального процесса и статистически независимы, то есть р2 {Unop,y) = pt (Unop)p 2(у). Поэтому (5.6.8) представ ляется в виде
ОО |
|
/лТ = Pi (f^nop) J УР2 (у) dy = Pi (t/„op)y+. |
(5.6.9) |
о |
|
Здесь Y+ — среднее значение положительной производной случайного процес са и ш(Ь), не зависящее от UnoР -
Частота ложных тревог может быть достаточно точно оценена и из сле дующих соображений. Среднее число случайных импульсов шума за время наблюдения Т примерно равно Т/тш, где тш — постоянная времени корреляции шумового процесса в фотоприемном устройстве. Однако только часть из этих импульсов превышает Unop. Эта часть определяется соотношением (5.6.1). По этому средняя частота ложных тревог в случае, когда момент прихода сигнала
неизвестен, близка к
/лт —^лт Пи
Таким образом, кривая на рис. 5.6.1а после изменения масштаба по оси ординат (вместо 1 следует записать 1/гш) представляет зависимость
Из приведенного в разделе 5.6 обсуждения следует одно из важнейших правил теории обнаружения: основной характеристикой качества обнаружения служит отношение сигнала к шуму на входе решающего дискриминатора, ко торое напрямую определяет вероятности ложных тревог и пропуска цели. Чем