1.5.5. Фононы

Тепловые колебания отдельных атомов из-за сильного взаимодействия между ними не являются независимыми. Колебания одного атома передается соседним атомам, и в кристалле возникает коллективное смещение атомов в виде упругих волн. Для описания таких процессов в квантовой механике вводят представление об особых частицах фононах - квантах тепловых колебаний кристаллической решетки, подобно тому, как электромагнитное излучение эквивалентно испусканию фотонов. Фононы обладают импульсом p_фон и энергией W_фон, связанной с частотой f_фон формулой

, (1.34)

где h - постоянная Планка; n_1, 2, 3 ... индекс нормального колебания.

Средняя энергия фононов kT, где k - постоянная Больцмана.Фононы делятся на акустические и оптические.

Акустические фононы соответствуют синфазным колебаниям атомов в элементарной ячейке кристаллической решетки и распространению в кристалле волн, подобных акустическим. Их спектр простирается от нуля до некоторой максимальной частоты (порядка 10¹³ Гц). Средняя частота на много порядков превышает частоту звуковых колебаний, поэтому термин "акустический" является условным. Энергия увеличивается с ростом импульса: W_фон=p_фонv_фон, где v_фон - скорость распространения акустических фононов (скорость звука в кристалле порядка 5·10³ м/c).

Оптические фононы соответствуют противофазным колебаниям атомов в элементарной ячейке кристалла. Оптические фононы существуют на частотах, больших некоторой граничной частоты, обычно выше 10¹³ Гц. Поэтому для их возбуждения требуется значительная энергия W_{фон. опт.} (2...3) kT, которая является электрофизическим параметром материала. Например, для кремния W_{фон. опт.}=0,063 эВ, что при Т=300 К составляет 2,4kT . В отличие от акустических оптические фононы имеют большую энергию и частоту.

1.5.6. Эффективная масса носителей заряда

Выше было показано, что энергия электрона, перемещающегося внутри кристалла в виде волнового пакета, определяется из выражения (1.24)

W=(k)²/2m*,

где, как и прежде W- энергия электрона, Дж; k - значение волнового числа, м^-1; - постоянная Дирака, а величинаm* имеет смысл эффективной массы электрона.

Исходя из корпускулярных представлений эффективная масса - это масса заряженной частицы, движущейся внутри кристалла.

Дважды продифференцируем выражение (1.24) по значению волнового числа k:

; .

Из второго выражения следует, что эффективную массу носителей заряда в кристалле можно рассчитать из выражения

,кг. (1.35)

Из выражения (1.35) следует, что эффективная масса электрона определяется значением второй производной функции W=f(k).

В качестве примера рассчитаем по формуле (1.35) эффективную массу свободного электрона, когда зависимость энергии электрона от волнового вектора выражается параболической зависимостью вида (1.24). Поскольку d²W/dk²= /m, то подстановка этой величины в (1.35) дает m*=m. Следовательно, эффективная масса свободного электрона равна его массе покоя.

Понятие эффективной массы носителей заряда значительно упрощает математическое описание движения носителей в потенциальном поле кристаллической решетки.

Зависимость скорости носителей заряда от волнового числа. Диф­ференцируя значениеWв выражении (1.24) мы получили, чтоdW/dk= =k/m*. Из уравнения (1.20) следует, что групповая скорость v_еволнового пакета, обладающего квазиимпульсом P=m*v_е, при его движении в периодическом поле кристаллической решетки определяется соотношением

, м/с, (1.36)

Оценим величину v_е. Для этого, согласно выражению (1.30), рассчитаем максимальное значение волнового числа k электронов в кремнии, которое при значении параметра кристаллической решетки кремния a_Si=0,543 нм составляет 610⁹ м^-1. В этом случае из соотношения (1.36) для скорости электрона v_е получим величину около 610⁵ м/с.

На рис. 1.18, апредставлена зависимостьW(k) для нижней энергетической зоны в пределах первой зоны Бриллюэна, построенная в соответствии с выражением (1.32). Энергия электрона вблизи дна зоны проводимости (при ka<<1) определяется путем разложения функцииcos(ka) в ряд Маклорена:cos(ka)1-(ka)²/2!+..., откуда из формулы (1.32) следует, что

W(k)W_о+(a²k²)/2=W_мин+Аk², (1.37)

где W_мин - минимальное значение энергии при k=0;А=(a²)/2 - постоянная.

График кривой (1.37) является квадратичной параболой.

Подставляя результат дифференцирования дисперсионной кривой (1.37) по kв формулу (1.36), получим, что вблизи дна и в средней части зоны значение групповой скорости электрона определяется выражением v_e=ka²/, то есть линейно зависит от изменения волнового числа k (рис. 1.18,б).

Рассмотрим теперь зависимость эффективной массы от волнового числа для электрона, находящегося в периодической одномерной решетке (рис. 1.18, в.).

Для эффективной массы электрона в соответствии с формулами (1.35) и (1.37) получим выражение m*=/a².Следовательно, вблизи дна и в средней части разрешенной зоны эффективная масса электрона является постоянной и положительной величиной. Заметим, что при возрастании ширины разрешенной зоны (что происходит с увеличением параметраэффективная масса электрона уменьшается, а скорость электрона v_е увеличивается.

Вблизи границ первой зоны Бриллюэна скорость электронов v_e проходит через максимум, а на границах зоны (k=/a) становится равной нулю (рис. 1.18,б), что соответствует остановке и отражению электрона. Поэтому вблизи границы зоны Бриллюэна значение эффективной массы электрона возрастает до бесконечности, а функцияm*(k) претерпевает разрыв и меняет знак на отрицательный (рис. 1.18,в). Таким образом, эффективная масса электрона вблизи потолка разрешенной зоны является отрицательной величиной, т. е. m*<0.

В таблице 1.4. приведены значения эффективных масс электронов и дырок в различных полупроводниковых материалах.

Таблица 1.4
Полупроводник	Si	Ge	GaAs	In Sb
Эффективная масса электронов,	1,06m0	0,22m0	0,07m0	0,01m0
Эффективная масса дырок,	0,56m0	0,39m0	0,5m0	0,5m0