1.5.7. Сложная структура энергетических зон

кристаллов в k-пространстве

При анализе структуры энергетических зон кристаллических материалов используют приведенные зоны Бриллюэна. Приведенная зона Бриллюэнаполучается в результате сдвига дисперсионных кривыхW(k), изображенных на графике расширенной зоны Бриллюэна для различных полос разрешенных значений энергий электрона (см. рис. 1.17), на величину/aвлево (из области значений k>+/a) или вправо (для k<-/a) в диапазон значений волнового числа k, соответствующих первой зоне Бриллюэна (-/ak+/a). Вид дисперсионных кривых W(k) для двух верхних энергетических зон в приведенной зоне Бриллюэна представлен на рис. 1.19,а.

Относительное расположение дисперсионных кривых W(k) обусловлено тем, что, например, в алмазоподобных полупроводниках внешними являются электроны, находящиеся в состоянии s²p², причем p-уровни являются частично незаполненными. При кристаллизации полупроводника зоны, возникающие из уровней s и p, перекрываются и расщепляются на две зоны разрешенных энергий, границы которых показаны на рис. 1.19, б. В каждой из зон содержится по четыре состояния: одно s-состояние и три р-состояния.

Эти энергетические зоны разделены зоной запрещенных энергий W_g, ширина которой является величиной, характерной для данного полупроводника. Поскольку на внешнем слое атомов в полупроводниковом кристалле имеется всего четыре электрона, то нижняя (валентная) зона оказывается заполненной электронами, а верхняя зона (зона проводимости) - незаполненной.

Дисперсионная кривая W(k) для s-состояния характеризуется минимумом в области k=0 и представляет значения энергий электронов вблизи дна зоны проводимости. График зависимости W(k) в этой области аппроксимируется выражением вида (1.33), а эффективная масса электрона является положительной величиной.

Дисперсионная кривая W(k) для p-состояния электрона характеризуется максимумом в области k=0 и представляет значения энергий электрона вблизи потолка валентной зоны. График зависимости W(k) в этой области аппроксимируется выражением, являющимся обращенной параболой вида

W(k) = W_макс - Bk², (1.38)

где W_макс - максимальное значение энергии электрона в валентной зоне при k=0, B=(a²)/2.

Из выражений (1.38) и (1.37) следует, что для потолка валентной зоны эффективная масса электрона должна быть отрицательной. Этот вывод согласуется с заключением, сделанным нами ранее при анализе зависимости эффективной массы электрона от волнового числа вблизи потолка разрешенной зоны

Для случая почти заполненной валентной зоны пользуются моделью, в которой движение электрона интерпретируется как движение частицы - дырки с положительной массой и положительным зарядом q=1,610^-19 Кл. При этом считается что дырка перемещается в направлении действия внешнего электрического поля E. Дырка представляет вакансию электрона. Поэтому её энергию следует отсчитывать в направлении от потолка зоны вниз. Миграция дырки вверх по энергетической шкале соответствует миграции электрона вниз, сопровождающейся понижением энергии кристалла. Следовательно, энергетически выгодным состоянием для дырки является "положение" вблизи потолка валентной зоны.

В трехмерном кристалле, как и в одномерной структуре, зависимость полной энергии электрона Wот волнового числа k может быть представлена периодической функцией

W(k)=W_k+U(k), (1.39)

где W_kиU(k) - кинетическая и потенциальная энергии электрона в кристалле;- волновое число электрона с составляющими k_x, k_y, k_zпо координатным осямx, yи z. При этом вблизи значений k=0 в направлении каждой из координатных осей выполняются условия, выражаемые уравнениями (1.37) и (1.38).

В реальных полупроводниковых кристаллах наблюдаются отклонения от параболической зависимости W(k). В качестве примера на рис. 1.20,а и бпредставлены энергетические зонные диаграммы, построенные в k-пространстве для двух наиболее распространенных полупроводников - кремния и арсенида галлия. На диаграммах показано положение границW_cиW_vзоны проводимости и валентной зоны этих полупроводников в зависимости от значения волнового числа k электрона для кристаллографических направлений111и100. Заметим, что Si и GaAs характеризуются кристаллической решеткой типа алмаза, для которой первая зона Бриллюэна представлена в виде области k-пространства, ограниченной 14-гранником. При этом шесть граней - квадратные, а восемь представляют из себя шестиугольники. В направлении100первая зона Бриллюэна расположена в диапазоне значений волнового числа, -2/ak+2/aа для диагональных направлений111значения k находятся в интервале.

Зона проводимости кремния (рис. 1.20, а) характеризуется одним минимумом в направлении100, смещенным относительно значения k=0. РасстояниеW_gмежду максимумом валентной зоны и минимумом зоны проводимости в кремнии, отсчитанное по оси энергийW, является шириной запрещенной зоны и составляет для кремния 1,12 эВ.

При "переходе" электрона из максимума валентной зоны в минимум зоны проводимости меняется значение волнового числа k электрона. Переходы электронов между энергетическими зонами, происходящие с изменением волнового числа k называются непрямыми, а сам полупроводник -непрямозонным. Для непрямозонных полупроводников характерен механизм межзоннойбезизлучательной рекомбинацииносителей заряда, сопровождающийся излучениемфононов- квантов тепловых колебаний кристаллической решетки. Эффективная масса электронов в кремнии составляет 1,06m_о, а дырок - 0,56m_о, гдеm_о - масса покоя электрона.

Анализ структуры зоны проводимости арсенида галлия (рис. 1.20, б) показывает, что зона проводимости GaAs характеризуется тремя минимумами. Центральный минимум (при k=0) характеризует ширину запрещенной зоны GaAs (W_g=1,43 эВ). Эффективная масса электрона в этом минимуме составляет всего 0,072m_о. Этот минимум называютнижней долиной. Основным переходом для электронов в арсениде галлия является переход из максимума валентной зоны в нижнюю долину при значении волнового числа электрона k=0. Междузонные переходы, происходящие без изменения волнового числа электрона, называютпрямыми,а соответствующие полупроводники -прямозонными. Для прямозонных полупроводников характерен механизм межзоннойизлучательной рекомбинацииносителей заряда, сопровождающийся излучениемфотонов –квантов света.

Другой минимум в зоне проводимости GaAs, называемый верхней долиной, соответствует значению k=4/3(/a) в направлениях100. Положение верхней долины смещено относительно нижней долины вверх на величинуW=0,36 эВ. При переходе электрона из валентной зоны на уровень верхней долины его эффективная масса возрастает в 18 раз и равнаm*=1,2m_o. Эти "тяжелые" электроны имеют в 25...30 раз меньшую подвижность, чем "легкие" электроны в нижней долине. Третий минимум расположен в направлениях111и смещен относительно нижней долины вверх на 0,5 эВ. Эффективная масса дырок в GaAs колеблется от 0,12 m_oдо 0,5 m_oдля различных кристаллографических направлений.

В сильном электрическом поле, превышающем 310⁵ В/м, большинство электронов GaAs приобретают добавочную энергию W>0,36 эВ и переходят в верхнюю долину. Такой переход сопровождается уменьшением подвижности  носителей заряда и является причиной возникновения эффекта Ганна (см. п. 3.6).