1.5.3. Волновые свойства электронов в кристалле

Фундаментальным положением квантовой теории является вывод о том, что элементарные частицы (в том числе и электроны) обладают свойством корпускулярного волнового дуализма. Поэтому движение свободных электронов в металле можно рассматривать как распространение плоских электронных волн. Длина волны, соответствующая электрону, определяется соотношением де Бройля

=h/Р, м, (1.18)

где h - постоянная Планка, Джс; P=mv_е - импульс электрона, кгм/с; m - масса электрона, кг, v_е - тепловая скорость электрона, м/с.

При анализе спектра энергий электронов удобно пользоваться понятием волнового числа k, которое определяется соотношением

k=(2/), м^-1 . (1.19)

Выражая значение импульса электрона P в формуле (1.18) через значение волнового числа k из (1.19), получим следующее выражение, связывающее импульс, точнее, квазиимпульс электрона P и волновое число k:

P=(h/2)k=ћk, (1.20)

где= h/2=1,0510^-34Джс - постоянная Дирака.

Кинетическая энергия электрона в кристалле находится из выражения

W_к=P²/2m, Дж. (1.21)

Следовательно, импульс электрона определяется из соотношения

, (1.22)

а волновое число электрона равно

(1.23)

Подставляя значение P из (1.20) в формулу (1.21), получим выражение для спектра энергии электрона W_к(k), то есть для зависимости энергии электрона W от волнового числа k

. (1.24)

где величина m* имеет размерность массы и формально определяется, какэффективная масса электрона.

Таким образом, для свободного электрона, обладающего только кинетической энергией, зависимость W от волнового числа k выражается квадратичной параболой.

В кристаллической решетке длина волны электрона принимает ряд дискретных значений, кратных длине кристалла L. Рассмотрим это на примере одномерной модели кристаллической решетки (рис. 1.16), согласно которой длина кристалла определяется произведением L=aN, где а - период кристаллической решетки, N - число атомов в ряду.

Значения длин полуволн, укладывающихся на длине кристалла L, определяются соотношением

, м, (1.25)

где n принимает ряд дискретных значений, т.е. n=0, 1, 2, ...,N.

Соответственно, значение волнового числа электрона k в одномерной решетке длины L принимает ряд дискретных значений

. (1.26)

Квантуется также и энергия электрона, которая будет равна

, (1.27)

где n=0, 1, 2, ...,N.

В одномерной кристаллической решетке величина N достигает очень больших значений (10⁷...10⁹), соответствующих числу атомов, располагающихся вдоль одномерной линейки. Для больших значений N спектр длин волн де Бройля в кристаллической решетке, то есть зависимость длины электронной волны от числа n, можно считать практически непрерывной. Поэтому движение электрона в кристалле можно представить в виде так называемого волнового пакета, представляющего наложение большого числа монохроматических колебаний.

Очевидно, что минимальная длина волны де Бройля соответствует максимальному значению n=N. Легко рассчитать, что в этом случае

=2aN/N=2a. (1.28)

Справедливость выражения (1.28) можно проверить, исходя из следующих соображений. Среднее значение энергии электрона в кристалле W_к определяется соотношением W= (3/5)W_F, то есть составляет величину 4...6 эВ. Из соотношения де Бройля (1.18) и выражения (1.21) следует, что . Подставляя в эту формулу значениеW и проводя вычисления, получим для длины волны де Бройля значение =0,6...0,5 нм, что близко к величине параметра решетки, характерной для большинства кристаллов.