1.5.4. Зоны Бриллюэна

Подставляя в выражение (1.19) значение из соотношения (1.25) получим выражение, из которого следует, что волновое число k для электрона в кристалле принимает ряд дискретных значений:

. (1.29)

Рассчитаем максимальное значение волнового числа k электрона в одномерной кристаллической структуре. Для этого подставим в выражение (1.19) минимальное значение длины волны де Бройля из (1.28). В результате получим, что максимальное значение волнового числа электрона определяется выражением

k=(/a), м^-1. (1.30)

Полагая а310^-10 м, для максимального абсолютного значения волнового числа k получим величину порядка 10¹⁰ м^-1.

Таким образом, диапазон значений волнового числа k электрона в кристалле находится в пределах

-(/a)k +(/a). (1.31)

Этот интервал значений k называется первой зоной Бриллюэна.

Волновое число является периодической функцией с периодом 2/a и может принимать значения (2/a), (3/a), ..., (n/a). Значения k, лежащие в интервалах |-2/a|k|-/a| и |/a|k|2/a| носят названия второй зоны Бриллюэна. Периодичность волнового числа k означает, что последующие зоны Бриллюэна дают состояния, эквивалентные состояниям первой зоны Бриллюэна. При этом значения энергии электрона на границах зон претерпевают разрыв. Разрешенным энергетическим зонам в твердом теле соответствуют зоны в k-пространстве волновых чисел. В простейшем случае для линейной цепочки атомов имеем одномерное k-пространство.

Электрон, движущийся в кристалле, обладает не только кинетической энергией W_к поступательного движения, но и потенциальной энергией взаимодействия с решеткой U(k), представляющей периодическую функцию волнового числа k. Полная энергия электрона в кристалле W(k)=W_k+U(k) также является периодической функцией волнового числа k, выражаемой соотношением вида

W(k)=W[k+n(2/a)],

где n принимает целочисленные значения 0, 1, 2, ... . В так называемом приближении сильной связи выражение для полной энергии электрона W(k) в разрешенной энергетической зоне одномерной кристаллической структуры можно представить в виде

W(k)=W_о±[1-cos(ka)], (1.32)

где W_о –значение энергии в центре зоны Бриллюэна; - коэффициент, имеющий размерность энергии; знаки «плюс» и «минус» соответствуют зоне проводимости и валентной зоне, соответственно.

Значение коэффициента определяется величиной связи между электронами соседних атомов, принадлежащими данной энергетической зоне. Физический смысл коэффициента  заключается в том, что его значение определяет ширину разрешенной энергетической зоны W_g. Так, для одномерной решетки ширина разрешенной зоны определяется соотношением W_g=2. Чем слабее связь между электронами, тем уже энергетическая зона.

График функции (1.28), представленный в виде так называемойпериодической зонной схемы, в которой каждая энергетическая зона периодически повторяется во всех зонах Бриллюэна, показан на рис. 1.17 (пунктирные линии).

Утолщенными линиями на рис. 1.17 показаны значения энергий электронов, соответствующие расширенной зонной схеме, в которой различные энергетические зоны размещены в k-пространстве в различных зонах Бриллюэна. Горизонтальные линии ограничивают дно и потолок разрешенных зон. Сплошной тонкой линией показана параболическая зависимость энергии свободного электрона W_к от волнового числа k в соответствии с формулой (1.24).

Ширина запрещенных зон W_g определяется из выражения для значений энергии электрона W(n/a) в центрах зон Бриллюэна:

W(n/a) =U(n/a), (1.33)

где m - масса электрона; n=0, 2, 4 ...; U(n/a) - потенциальная энергия взаимодействия электрона с кристаллической решеткой при значении волнового числа k=n/a.

Уравнение (1.33) имеет два решения. Одно решение отвечает энергии, меньшей кинетической энергии свободного электрона в центре зоны на U(n/a), второе - большей на U(n/a). Таким образом, в потенциальной энергии электрона создается энергетическая щель W_g=2U(n/a). Из глубоких атомных уровней образуются узкие энергетические зоны, разделенные широкими запрещенными зонами W_g, что соответствует приближению более слабой связи между электронами внутренних оболочек соседних атомов. Для электронов верхних энергетических зон характерно более сильное взаимодействие. Вследствие этого ширина разрешенных зон увеличивается, а ширина запрещенных зон уменьшается, как это показано на рис. 1.17. Число состояний в зоне Бриллюэна равно числу состояний в разрешенной энергетической зоне, то есть N_g=2gN, где g - фактор вырождения. Максимальному значению энергии электронов в кристалле соответствует энергия уровня Ферми, W_F. Это значение показано на рис. 1.17 горизонтальной штрих-пунктирной линией.

Из квантовой теории следует, в частности, что при температуре абсолютного нуля плоская электронная волна в строго периодическом потенциальном поле кристаллической решетки распространяется без рассеяния энергии. Это означает, что в идеальном кристалле длина свободного пробега электронов должна быть бесконечной, а сопротивление кристалла электрическому току равно нулю. Однако, из-за тепловых колебаний атомов и влияния точечных и линейных дефектов кристаллической решетки длина свободного пробега электронов в реальных проводниках конечна и достигает величины 40...60 нм.