1.2. Вычисление скорости энергетически изолированного

течения сжимаемой жидкости по теплоперепаду

Уравнение (1.4) используют при исследовании газовых потоков, так как в него входит основной параметр - скорость.

Если течение происходит без теплообмена с окружающей средой (dq = 0), то в соответствии с уравнением (1.4) d(w²/2) = - di.

Интегрируя уравнение (1.4) в пределах от начального состояния (i₁, w₁) до некоторого текущего (i, w), найдем

.

Здесь и повсюду далее считается, что течение начинается от состояния покоя (w₁ = 0), так что

.

и окончательно

, м/с. (1.6)

Разность (i₁ - i) называют теплоперепадом. При практическом использовании этого уравнения надо учитывать размерность энтальпии. Если Di = i₁ - i брать в Дж/кг, то

, м/с. (1.6,а)

если же Di взята в кДж/кг, то

, м/с. (1.6,б)

В связи с выражением (1.6) большое значение приобретает изображение обратимых процессов на плоскости S-i координат при решении важных задач теории теплосиловых установок (ГТУ, ПТУ и т.д.).

Рис. 1.1. Процесс обратимого расширения пара в сопле

Пусть пар с начальными параметрами Р₁ и t₁ вытекает в среду с давлением Р₂. Если потерями энергии на трение пренебречь, то процесс истечения протекает при постоянной энтропии (изоэнтропно) и изображается на S-i диаграмме вертикальной прямой 1-2 (рис. 1.1). Скорость истечения рассчитывается по формуле

, м/с,

где i₁ определяется на пересечении линий Р₁ и t₁, а i₂ находится на пересечении линий 1-2 с изобарой Р₂.

1.3. Вычисление скорости энергетически изолированного течения

сжимаемой жидкости по отношению давлений

Интегрируя уравнение (1.3) в пределах от начального состояния (P₁, u₁, T₁, w₁ = 0) до некоторого текущего (P, u, T,w), получим

, т.к. dP < 0. (а)

Для энергетически изолированного течения при k = const

.

Раннее было показано (при исследовании обратимого адиабатного термодинамического процесса), что в этом случае

.

Внося эти результаты в выражение (а), найдем

и окончательно

, м/с. (1.7)

Можно показать, что при небольших перепадах давления, когда скорость течения мала, уравнение (1.7) переходит в уравнение

, м/с. (1.8)

В механике несжимаемой жидкости в расчетах используют понятия о напоре “Н”. В СИ .

Внося этот результат в (1.8), придем к обычному в гидравлике и гидромеханике уравнению

, м/с. (1.9)

Переходя от общего решения (1.7) к частному результату (1.8), пренебрегают не только сжимаемостью жидкости, т.е. зависимостью ее плотности от давления, но и зависимостью ее плотности от температуры.

1.4. Кризис течения сжимаемой жидкости

Перейдем к исследованию уравнения (1.7), определяющего скорость энергетически изолированного (dq = 0, dl_т = 0) течения идеального газа, идущего на неизменном уровне (dh = 0) и начатого из состояния покоя (w₁ = 0).

Заметим, что отношение давлений b = Р/Р₁ - единственная переменная уравнения (1.7), так что

.

Кривая, изображающая данную функцию на плоскости b-w координат, показана на рис. 1.2.

При b = Р/Р₁ = 1, w = 0. При b = 0 уравнение переходит в уравнение для так называемой максимальной скорости течения

, м/с. (1.10)

Рис. 1.2. Зависимость скорости истечения сжимаемой жидкости от отношения b=P₂ / P₁

Итак, кривая пересекает ось абсцисс в точке b = 1, а ось ординат - в точке w = w_max. Исследование функции w = w(b) на экстремум показывает, что при некотором отношении давлений, которое назовем критическим b_кр, рассматриваемая кривая имеет точку перегиба (рис. 1.2). Это обстоятельство имеет огромное значение, так как течение сжимаемой жидкости испытывает при этом глубочайший кризис. Можно доказать, что этот кризис наступает после того, как все возрастающая в направлении течения скорость оказывается равной местной скорости распространения малых возмущений, т.е. местной скорости звука “а”.

Возмущение называется малым, если вызванные им изменения характеристик среды малы в сравнении с характеристиками невоз-мущенной среды. Как это впервые показал Лаплас, распространение малых возмущений - это обратимый адиабатный, т.е. изоэнтропный, процесс: скорость звука велика, а изменения состояния среды так малы, что сопровождающие их потери можно считать равными нулю.

По Лапласу квадрат скорости звука определяется выражением

. (1.11)

Здесь индекс “s” указывает на изоэнтропность описываемого процесса распространения малых возмущений.

Пусть p = p(r, s), так что

.

В связи с изоэнтропностью процесса dS = 0, тогда

, так что =.

Для вычисления производной воспользуемся дифференциальным уравнением обратимого адиабатного процесса с идеальным газом в качестве рабочего тела

. (1.12)

Так как ru = 1 , поэтому

,

тогда

Следовательно

Внося этот результат в уравнение (1.11), получим

а² = k(Pu)

или

м/с. (1.13)

Уравнение (1.13) показывает, что кроме физических свойств идеального газа, представленных здесь газовой постоянной “R”, скорость звука зависит от температуры и от изменяющегося вместе с нею показателя адиабаты “к”. В каждом сечении потока эти величины имеют свои особенные, но единственные значения. Именно поэтому справедливо утверждение о том, что в данном сечении канала устанавливается местная скорость звука.

В связи с кризисом течения сжимаемой жидкости различают два принципиально различных режима течения (рис. 1.2): докри-тический, который оказывается дозвуковым (w< а) и сверхкрити-ческий, который оказывается сверхзвуковым (w > а).

Исследование функции w = w(b) на экстремум показывает, что упомянутая выше точка перегиба кривой, изображающей данную функцию на плоскости b - w координат имеет место при

. (1.14)

Следовательно, критическое давление будет

. (1.15)

Течение сжимаемой жидкости по условию адиабатно при к=const, так что

, т.е.

. (1.16)

Далее очевидно, что

,

так что

. (1.17)

Заменяя в уравнении (1.7) отношение давлений (Р/Р₁) его критическим значением, найдем, что

и поэтому

, м/с (1.18)

Заменяя здесь начальную температуру ее выражением через Т_кр (1.16), находим, что

, м/с. (1.19)

Определив скорость звука в критическом сечении, когда Т = Т_кр, найдем, что

. (1.20)