книги из ГПНТБ / Рогов Е.Ф. Основы теории автоматического регулирования учебное пособие

Очевидно, в этом случае нужно предварительно построить кривую

дальных частотных характеристик определяют переходную функ­

рассматриваются в § 11,10.

290

§ 11.5. Метод корневого годографа

Метод корневого годографа, появившийся более 10 лет назад, в последнее время получил широкое распространение как эффек­ тивный метод анализа и синтеза систем автоматического регули­ рования. Этот метод является графоаналитическим и применим для расчета линеаризованных замкнутых динамических систем.

Графический метод построения корневых годографов в нашей стране был предложен в 1949 году С. П. Стрелковым и, независи­ мо, в 1950 году В. Р. Эвансом (США).

Корневыми годографами называются траектории, описывае­ мые корнями характеристического уравнения замкнутой системы на комплексной плоскости корней при изменении одного из пара- , метров, чаще всего коэффициента передачи системы, от 0 до оо.

Метод корневого годографа Эванса позволяет решать следую­ щие задачи:

1.Строить годографы полюсов передаточной функции замкну­ той системы при изменении какого-либо параметра, в том числе и общего коэффициента передачи системы.

2.Оценивать качественно и количественно, как изменяется реакция системы на типовой сигнал при изменении значения пара­ метров корневых годографов.

3.Учитывать влияние новых параметров системы, появляю­ щихся при изменении или усложнении системы дополнительными

Подробное изложение решения перечисленных задач можно найти в книге Э. Г. Удермана 1251, здесь же кратко рассмотрим сущность метода корневого годографа.

Пусть имеем одноконтурную систему автоматического регу­ лирования, которая состоит из последовательно соединенных звеньев обычно первого или второго порядка. Построим корневые годографы для данной системы. С этой целью определим нули1 и полюсы'2 ее передаточной функции.

Так, если передаточная функция подобной разомкнутой сис­

291

а передаточная функция замкнутой системы

то легко убедиться, что единственный нуль передаточной функции замкнутой системы совпадает с нулем передаточной функции

Полюсы передаточной функции замкнутой системы не совпадают с полюсами передаточной функции разомкнутой системы (в об­ щем случае к . ф 0).

Метод корневого годографа Эванса основан на правилах, с помощью которых можно графически построить годографы полю­ сов и нулей передаточной функции замкнутой системы на плоскос­ ти комплексной переменной р. Для построения используются нули

полюса:

зим на комплексной плоскости нуль кружочком, полюсы — крес­ тиками (рис. 11.12,а).

Р

вн 6

а)

Рис. 11.12,

292

Уравнение (11.28) является комплексным уравнением. Оно распадается на два уравнения:

люс замкнутой системы р. Соединим полюсы и нуль с точкой р и

1.Корневые годографы являются непрерывными кривыми или отрезками прямых, построенных при изменении коэффициента пе­ редачи системы от 0 до о о . Корневые годографы, не лежащие на действительной оси, симметричны относительно этой оси.

2.Ветви корневого годографа на действительной оси находят­

ся в тех частях оси, справа от которых расположено нечетное об­ щее число действительных нулей и полюсов разомкнутой системы (для ветви, направленной влево, считать и полюс, из которого она выходит),

293

3. Ветви корневых годографов имеют начало в полюсах пере­

или Найквиста находятся точки пересечения ветвей корневых го­ дографов с мнимой осью плоскости р.

5. Четные точки, т. е. точки выхода на действительной оси, от которых ветви корневых годографов уходят вверх нвннз в беско­

Поясним применение этих правил для построения годографов па примере САР, имеющей нуль и полюсы, изображенные на рис. 11.12,а.

На основании второго правила от полюсов Р4) Р, и Р3, т. е. от нечетных полюсов, влево по действительной оси пойдут ветви корневых годографов (рис. 11.13).

№

Рис. 11.13.

На основании третьего правила ветвь корневого годографа, начавшаяся в Р4, заканчивается в нуле ЛЛ Разность п — т = Ъ. Значит, три ветви должны стремиться в бесконечность; из них од­ на ветвь на основании второго правила стремится по действитель­ ной оси от полюса Р3 в минус бесконечность.

294

Из полюса Р2 ветвь корневого годографа на основании второ­ го и шестого правил направляется вправо по действительной оси до встречи с ветвью корневого годографа, вышедшей из полюса Рь Далее из точки встречи на основании третьего и пятого правил одна ветвь корневого годографа направляется вверх в бесконеч­ ность, а другая на основании первого правила — симметрично первой ветви вниз (рис. 11.13).

На основании четвертого правила можно вычислить критиче­ ский коэффициент передачи системы, ибо он 'соответствует точке пересечения ветви корневого годографа с мнимой осью комплекс­ ной плоскости р.

Метод корневого годографа позволяет качественно оценить переходныйпроцесс в системе по расположению нулей и полюсов относительно начала координат. Причиной изменения переходной характеристики h(t) при изменении коэффициента передачи к является различное взаимное расположение полюсов р и нулей N передаточной функции замкнутой системы. Длительность переход­ ного процесса в основном зависит от затухания ближайших к мнимой оси полюсов, не компенсированных слишком близкими нулями. Перерегулирование в системе зависит от степени близости к началу координат полюсов и нулей передаточной функции замк­ нутой системы.

Допустим, исходя из подобных рассуждений, мы определили местонахождение полюса р\ замкнутой системы. Этот полюс р\ показан в виде треугольника на рис. 11.13. Теперь необходимо оп­ ределить коэффициент передачи к, соответствующий данному по­

бора по заданным в технических условиях показателям качества

лить из ветвей корневого годографа нули и полюсы передаточной

295

функции замкнутой системы и, используя теорему разложения Хевисайда, найти аналитическое выражение для переходной ха­ рактеристики h{t)

Метод корневого годографа позволяет производить синтез систем автоматического регулирования, который заключается в определении структуры и параметров корректирующих элементов в' соответствии с заданными показателями качества системы.

§11.6. Определение переходной функции при помощи

моделирования

Исследование качества регулирования систем высокого по­ рядка с помощью рассмотренных методов является сложным и требует большой затраты времени.

С другой стороны, ускорение процессов в объектах регулиро­ вания приводит к усилению влияния малых параметров и нелиней­ ностей регулятора и объекта. В этих случаях системы описывают­ ся нелинейными дифференциальными уравнениями высокого по­ рядка, для решения которых еще не разработаны аналитические методы. С аналогичным положением приходится также сталки­ ваться и при исследовании систем автоматического управления и регулирования, основанных на новых принципах (например, экст­ ремальные и самонастраивающиеся системы).

Преодолеть возникшие трудности можно с помощью модели­ рования. Моделирование дает возможность получить график пе­ реходной функции, по которому судят о показателях качества процесса регулирования исследуемой системы.

Сущность моделирования заключается в замене всей системы регулирования или ее некоторых элементов моделью, обладающей динамическими свойствами, аналогичными свойствам исходной системы или ее отдельных частей. Т(гда в системе, содержащей модель, при исследовании возникают процессы, подобные тем, которые имеют место в реальной системе. Если модель состоит из элементов того же типа, что и замененные ею (например, из ма­ лых электрических машин, моделирующих большие машины того же типа), то моделирование называют физическим. Если же эле­ менты модели имеют иную физическую природу, нежели элементы реальной, системы регулирования, то такое моделирование назы­ вают математическим.

Метод физического моделирования систем регулирования ха­ рактеризуется следующими достоинствами:

—свойства системы регулирования воспроизводятся полнее, чем при математическом моделировании;

—регулирующая аппаратура может присоединяться к модели без преобразовательных устройств, вносящих дополнительные по­ грешности и искажения.

296

Вместе с тем физическое моделирование имеет и существенные недостатки:

—при исследовании каждого нового процесса необходимо создавать новую модель;

—изменение параметров моделируемого объекта обычно вы­ зывает трудоемкие переделки модели или даже ее замену.

Математическое моделирование основано на идентичности дифференциальных уравнений, описывающих явления в оригинале

имодели. Оно позволяет осуществить с помощью одного устрой­ ства решение целого класса задач, обеспечивает быстроту и лег­ кость перехода от одной задачи к другой, а также возможность введения переменных параметров и различных начальных усло­

вий.

Во многих случаях целесообразно комбинировать установки физического и математического моделирования в единую систему, позволяющую совместить преимущества обоих методов.

При математическом моделировании в качестве оригинала служит математическое описание процесса, а сами математические модели можно рассматривать как устройства, реализующие задан­ ные математические соотношения, т. е. как вычислительные маши­ ны.

Различают два класса вычислительных машин: цифровые и аналоговые.

В цифровых машинах переход от исходной величины к ма­ шинным величинам осуществляется квантованием первой по уров­ ню. Для выполнения математических операций над машинными величинами требуется всегда конечное время. В силу этого выбор значений исходных непрерывных величин выполняется дискретно (‘С квантованием по времени).

Аналоговые вычислительные машины характеризуются тем, что каждому мгновенному значению исходной величины ставится в соответствие мгновенное значениемашинной величины, зачас­ тую отличающейся физической природой и масштабным коэффи­ циентом.

Часто аналоговые вычислительные машины называют элект­ ронными моделирующими устройствами. Эти машины и исполь­ зуют обычно для-определения переходных функций систем авто­ матического регулирования. Одной из таких машин является электронная моделирующая установка типа МН-7. Она предназ­ начена для решения обыкновенных линейных и нелинейных диф­ ференциальных уравнений до шестого порядка включительно с постоянными коэффициентами. Установка выполнена в виде пор­ тативного настольного прибора с отдельным блоком питания и электронно-лучевым индикатором.

Чтобы определить переходную функцию на моделирующей установке типа МН-7, сначала необходимо провести математиче­ скую подготовку дифференциальных уравнений исследуемой сис­ темы для моделирования. Затем составить блок-схему моделирую­

297

щей системы и набрать ее на наборном поле моделирующей уста­ новки. Регистрация переходной функции исследуемой системы мог жет осуществляться на шлейфовом осциллопрафе или с помощью электронно-лучевого индикатора типа И-5 с фотоприставкой.

Подробное описание устройства, порядка работы на модели­ рующей установке типа МН-7 можно найти в [10].

§ 11.7. Косвенные методы определения показателей качества. Метод распределения корней

В теории автоматического регулирования для определения показателей качества процесса регулирования системы применя­ ются следующие косвенные методы:

1)метод распределения корней;

2)метод -интегральных оценок;

3)определение показателей качества процесса регулирования по виду кривой P(w).

Вэтом параграфе кратко рассмотрим метод распределения корней.

О характере переходного процесса можно судить по располо­ жению корней на комплексной плоскости. Если система устойчива, то все корни характеристического уравнения соответствующего дифференциального уравнения замкнутой системы находятся в левой полуплоскости комплексного переменного.

Иногда нахождение корней характеристического уравнения представляет трудности. Поэтому прибегают к косвенным методам их определения. Так, существуют способы нахождения абсолют­ ной величины действительной составляющей корня, расположен­ ного ближе остальных к мнимой оси (рис. 11.14,а), т. е. способы

Р ис. 11.14.

298

Be также можно определить, не находя коpiей характеристического

делению полюсов или корней характеристического уравнения при

полюса. Компонента, определяемая наименьшим полюсом, имеет наибольшее значение и затухает медленнее других компонент. Следовательно, она в основном и определяет длительность пере­ ходного процесса. Это значит, что удаленность ближайшего корня от мнимой оси, в данном случае полюса, или пары комплексных корней (полюсов). определяет продолжительность переходного процесса.

В более общем случае, при наличии форсирующих звеньев в прямой цепи или инерционных звеньев в цепях обратных связей,

ность и характер переходной функции теряет силу. Нули переда­

299