книги из ГПНТБ / Рогов Е.Ф. Основы теории автоматического регулирования учебное пособие

Следовательно, передаточная функция для замкнутой системы с постоянным запаздыванием равна

Заменяя р на усо, получим из уравнения (13.11) выражение для кривой Михайлова

на одной комплексной плоскости, затем сложить эти векторы для одних и тех же частот со,- . В результате получится суммарный годограф, т. е. кривая Михайлова для системы с постоянным за­ паздыванием. Если суммарная кривая /?(/‘со) ' удовлетворяет обычной формулировке критерия устойчивости Михайлова, то ис­ следуемая система с постоянным запаздыванием устойчива.

Пусть имеем систему с постоянным запаздыванием т = 1 сек. Передаточная функция разомкнутой системы без постоянного за­ паздывания равна

а передаточная функция звена с постоянным запаздыванием равна

\VZ (р) = е~р- .

Из выражения (13.13) имеем М(р) = 5, Лг (р) = 2 р 3 -)- 4р2 -)- 5р + 1.

Для построения кривой Михайлова сначала надо построить годо­ графы векторов N ( j to) = (l —4u)2) !-/(5со —2<й8) и Л4 (/ы) е—;шт = = 5е-;’",т.

Для построения векторов составим таблицу:

340

По данным таблицы строим векторы (рис. 13.6). Затем на частоте Wj=0 складываем два вектора: один из годографа Л/(/ш), другой из годографа М (у'ю) е_/мт . Получим результирующий вектор на частоте <*>, = 0 с фазой, равной нулю, и модулем, рав­ ным 6. Затем складываем следующие два вектора, например, на

5 единиц). Путем уменьшения времени постоянного запаздывания

применить приближенные оценки качества переходного процесса,

§ 13.2. Общие сведения о нелинейных системах

Во многих реальных системах автоматического регулирова­ ния есть элементы, статические характеристики которых являются

341

л6чж

Рис. 13.7.

Элементы, имеющие существенно нелинейные статические характеристики, описываются нелинейными дифференциальными уравнениями и поэтому называются нелинейными элементами.

Рис. 13.8.

Системы автоматического регулирования, которые содержат хотя бы по одному нелинейному элементу, называются нелиней­ ными системами и описывдютея нелинейными дифференциальными уравнениями.

К нелинейным системам, в отличие от линейных, не применим принцип •суперпозиции (наложения). Это значит, что. для нелиней­ ной системы нельзя получить общую реакцию системы на N воз­ действий как алгебраическую сумму реакций на каждое воздейст­ вие. К нелинейным системам не применимо также и следствие

Е42

принципа суперпозиции о пропорциональности реакции системы

величине возмущения. Для нелинейных систем оказывается также более сложным понятие устойчивости.

Как известно, строгая теория устойчивости движений и про­ цессов впервые была разработана А. М. Ляпуновым.

Пусть система находится в равновесном состоянии, например в установившемся состоянии, и этому состоянию соответствует точ­ ка равновесия О на фазовой плоскости (рис. 13.9), где по одной оси координат откладывается сама величина, а по другой оси координат — ее производная. Тогда определение устойчивости по Ляпунову заключается в следующем: состояние равновесия назы­ вается устойчивым, если при любой заданной области е допусти­ мых отклонений от состояния равновесия (например, область во-, круг точки равновесия О) можно указать область 8 (е) , окружа­ ющую точку равновесия (но не состоящую только из одной точки равновесия) и обладающую тем свойством, что ни одно движение, начинающееся внутри о , никогда не достигает границ области е. Наоборот, состояние равновесия неустойчиво, если может быть указана такая область отклонений от состояния равновесия (об­ ласть е), для которой не существует области 8(e).

Р ис. 13.9.

Нужно заметить, что 8 ( e ) это область начальных условий, и если при каких-либо отклонениях, взятых из этой области, ока­ залось, что система является устойчивой, то в этом случае воз­ можны два состояния системы: система может возвращаться к своему прежнему состоянию равновесия (в этом случае имеем асимптотическую устойчивость) или же прийти к новому состоя­ нию равновесия, но обязательно внутри области 8 ( г ) .

Определенная выше устойчивость по А. М. Ляпунову есть ус­ тойчивость «в малом»,'т. е. она справедлива для области доста­ точно малых начальных отклонений. За пределами этой области,

343

вследствие значительного отступления характеристики системы от линейной, состояние системы может резко измениться, т. е. при подаче начальных отклонений, лежащих вне пределов вышеука­ занной области, система становится неустойчивой. Это значит, что система будет устойчивой в «малом» и неустойчивой в «большом».

А. М. Ляпуновым были также доказаны теоремы об опреде­ лении устойчивости нелинейных систем по линеаризованным диф­ ференциальным уравнениям (теоремы приведены в главе 10) в том случае, когда нелинейные элементы имеют несущественно-не­ линейную статическую характеристику.

Некоторым нелинейным элементам в системах автоматиче­ ского регулирования присущи неоднозначные статические характе­ ристики. Наличие таких элементов часто вызывает накопление энергии в системе, что в свою очередь приводит к автоколебаниям. Подобные нелинейности возникают за счет наличия сухого трения

гистерезисной зависимости в электромагнитных элементах и т. д. Автоколебания — явление, свойственное только нелинейным системам. Автоколебания — это устойчивые периодические собст­ венные (свободные) колебания системы, возникающие даже при отсутствии постоянно действующих возмущений. Автоколебания имеют вполне определенную амплитуду А и частоту to, не зави­ сящие от начальных условий процесса, а зависящие лишь от пара­ метров самой системы (регулятора и объекта). В отличие от линей­ ной системы, где устойчивые незатухающие колебания возникают только при одних каких-то. граничных сочетаниях параметров, в нелинейной системе автоколебания возникают при сочетании в

более или менее широкой области параметров.

Допустим, при определенных параметрах в нелинейной систе­ ме возникли автоколебания. Спрашивается, какая это система — устойчивая или неустойчивая?

Относительно равновесного состояния, около которого проис­ ходят эти автоколебания, эта система неустойчива, но зато она обладает устойчивыми периодическими колебаниями с определен­ ной амплитудой А, т. е. устойчивыми автоколебаниями. Такая сис­ тема годится для целей регулирования, если амплитуда А .невели­ ка и частота w их не опасна, т. е. если наложение этих автоколе­ баний на требуемое постоянное значение регулируемой величины практически допустимо по техническим требованиям, предъявляе­ мым к данной системе. В этом случае можно считать систему практически устойчивой.

Если же амплитуда А и частота w автоколебаний настолько велики, что для целей регулирования не годятся, т. е. автоколеба­ ния могут сделать невозможным нормальное функционирование отдельных приборов или вызовут разрушения, систему следует считать практически неустойчивой.

344

Й некоторых системах наличие автоколебаний при очень ма­ лой их амплитуде считается полезным. В этом случае автоколеба­ ния создают вибрационный режим работы, который повышает чувствительность регулятора к малым отклонениям регулируемой, величины, потому что при вибрациях ликвидируются всякие за­ стои и заедания от сухого трения и т. п. Частота ш автоколебаний при этом должна находиться в определенном, достаточно высоком диапазоне, чтобы не вызывать нежелательных колебательных яв­ лений ни в одном звене системы.

Иногда в систему автоматического регулирования вводят не­ линейные элементы, чтобы придать ей определенные полезные свойства, например возможность достижения минимального вре­ мени регулирования, меньшего, чем в линейных системах. К сис­ темам с нелинейным элементом относятся системы с релейными усилительными и исполнительными устройствами. Релейный уси­ литель (датчик, сервомотор) называют релейным элементом, а не­ линейную систему автоматического регулирования с таким эле­ ментом — релейной системой.

Во многих случаях в релейных системах применяется вибра­ ционная линеаризация релейных элементов (глава 8). Тогда ра­ бочие процессы становятся весьма близкими к процессам в линей­ ных системах и исследование таких нелинейных систем уже воз­ можно проводить методами линейной теории. При невозможности применения вибрационной линеаризации рабочие процессы в релейных системах остаются нелинейными. Как уже упоминалось, для исследования нелинейных процессов в системах необходимо решать нелинейные дифференциальные уравнения. Решение таких уравнений, даже при конкретных численных значениях -коэффи­ циентов, часто бывает настолько трудным, что заставляет искать косвенных путей или приближенных методов исследования.

Для исследования нелинейных систем в настоящее время на­ шли применение методы:

—фазовых траекторий;

—припасовывания;

—точечных преобразований;

—малого параметра;

—гармонического баланса;

—моделирования.

На практике наиболее часто применяются метод фазовых траекторий, метод гармонического баланса и моделирование1.

§ 13.3. Метод фазовых траекторий

Метод фазовых траекторий является по существу качествен­ ным методом. В соединении с другими методами он дает весьма наглядное и полное представление о поведении изучаемой систе­ мы. Этот метод применим к системам не выше третьего порядка.'

1 М од ели рование рассмотрено в гл. 11.

345

Состояние системы, описываемой дифференциальным уравне­ нием третьего порядка, может быть задано тремя числами. Эти числа можно рассматривать как координаты трехмерного про­ странства, каждой точке которого будет соответствовать одно определенное состояние (или фаза). системы. Поэтому такое про­ странство называется фазовым пространством. Для каждого мо­ мента времени будем получать точку М в фазовом пространстве. Эта точка называется изображающей точкой, а ее путь в фазовом пространстве называется фазовой траекторией.

При исследовании систем второго порядка фазовая траекто­ рия изображается на фазовой плоскости.

Для линейных систем фазовые траектории могут быть анали­ тически получены путем исключения из дифференциальных урав­ нений времени t и затем построены в фазовом пространстве. Для нелинейных систем эти фазовые траектории можно строить по участкам с привлечением метода припасовывання. Совокупность фазовых н особых траекторий (предельных циклов, -сепаратрисе) дает фазовый портрет нелинейной системы, который позволяет определить ее устойчивость при любых отклонениях, т. е. опреде­ лить устойчивость в «малом» и в «большом», ибо, как известно, у нелинейной системы устойчивость зависит от величины отклоне­ ний.

В качестве иллюстрации покажем фазовые траектории линей­ ной системы второго порядка на фазовой плоскости и соответствую­ щие им -изменения координат во времени. Координатами фазовой

Дифференциальному уравнению x -f ах х -f- сц х = 0 соответст­ вуют корни характеристического уравнения

При этом могут быть шесть разных случаев. Рассмотрим один из них, когда корни комплексные с отрицательными вещественными

ctx

иу — — = 0. Отложим эти точки на фазовой плоскости (рис

13.10,6) и получим точку 1. Таким же образом построим все ос­ тальные точки фазовой траектории. Так как переходный процесс в системе сходящийся (рис. 13.10,а), то система является устойчи­ вой. Фазовая траектория устойчивой системы идет по спирали в

346

и~т- = 0, называются особыми точками. Особая точка фазо- at

вон траектории (рис. 13.10,6) находится в начале координат и на­ зывается устойчивым фокусом.

Если система будет неустойчивой, то фазовая траектория бу­ дет раскручивающейся.

В нелинейных системах возможны фазовые портреты с нали­ чием устойчивых и неустойчивых предельных циклов. На плоскос­ ти предельные циклы представляют собою замкнутые кривые. Они отражают незатухающие периодические колебания в нелинейной системе! Эти колебания могут быть неустойчивыми и срываться "при незначительном изменении амплитуды колебаний. Таким ко-

347-

1>ие. 1 3 . 1 1 .

§ 13.4. Метод гармонического баланса

целей точностью, а самое главное, позволяет кратким путем найти амплитуду А и частоту w автоколебаний нелинейной системы.

Метод гармонического баланса был предложен советскими учеными Н. М. Крыловым и Н. Н. Боголюбовым и развит приме­ нительно к системам автоматического регулирования Л. С. Гольд­ фарбом и Ё. П. Поповым. Рассмотрим метод гармонического ба­ ланса Гольдфарба.

Основой метода является предположение о том, что автоколеба­ ния системы приближенно можно искать в синусоидальной форме

где А н о) — искомые амплитуда и частота автоколебаний.

Покажем возможность такого подхода при исследовании не­ линейной системы с одним нелинейным элементом. Система регу­ лирования при этом условии может быть представлена как после­ довательное соединение линейной части (Л. Ч.) системы и нели­ нейного элемента (Н. Э.) (рис. 13.12).

Щ

Будем считать, что система находится на границе устойчивос­ ти и в ней возникли незатухающие колебания с частотой ш при входном воздействии х1)Х= 0. Амплитуда возникших колебаний, на входе нелинейного элемента пусть равна А.

де нелинейного элемента до разрыва системы. Пусть статическая характеристика нелинейного элемента будет релейной характерис­ тикой, изображенной на рис. 13.7,6. Тогда на выходе нелинейного элемента получим сигнал х прямоугольной формы, который, как известно, может быть разложен в ряд Фурье на гармоники. Если линейная часть системы инерционная, что часто бывает на практи­ ке, то будем считать, что она пропускает только первую гармонику (высшие гармоники не пропускаются, так как они значительно ослабляются). Значит сигнал хч на выходе линейной части будет той же частоты w, что и сигнал х\ на входе нелинейного элемен­ та, и одинаковой с ним амплитуды. Поэтому мы можем в точках

Будем называть передаточной функцией нелинейного элемен­ та J(p) отношение изображения первой гармоники сигнала на выходе нелинейного элемента к изображению его входного сину­ соидального сигнала при нулевых начальных условиях. Тогда, ес­ ли входной сигнал нелинейного элемента

349