Пусть
M /i( 0 1 - f - /i ( 0 и i: f/s (0 1 -f*/a (O'-
Т о г д а
l I / , ( 0 1 L \f, ( 0 1 |
j / x (t - x ) / a ( 0 r f t = |
f f x( x ) / 2 ( * - x) rfx. |
|
о |
0 |
Значит, здесь произведению двух изображений будет соответство вать не произведение оригиналов, а их свертка.
6 . Предельные свойства преобразований Лаплрса. Если
то
1 / ( 0 1 « = о = |
! р / 7 0 > ) ! р = - , |
( * ) |
|
1 / ( 0 ! * = « = |
| p / =' ( p ) | p = 0 J |
( * * ) |
т. е. предельные значения функции |
/ ( 0 |
можно найти, подста |
вив в ее изображение, умноженное на р, |
значение р = 0 или р = со. |
Формулой (**) можно воспользоваться при определении величины статической ошибки или установившегося значения регулируемой величины системы.
Изображения |
основных |
функций, |
встречающихся в задачах |
регулирования, |
приведены |
в |
таблице: |
|
|
|
|
|
О р и ги н а л |
|
И зо б р а ж е н и е |
|
|
II |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
а |
w |
_ r f : 1 |
W |
|
|
1 |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
0) t |
|
|
|
0) |
|
|
|
|
-|_ |
ш 2 |
|
|
|
|
|
|
|
COS <ii t |
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
p 2 - j - |
(O2 |
|
t" |
|
|
|
n\ |
|
|
|
|
|
|
pn 11 |
|
|
|
|
|
|
|
e |
—at |
a > |
0 |
1 |
|
|
|
|
п р и |
P + |
“ |
|
|
|
|
|
|
|
|
—at |
|
|
|
|
CO |
|
e |
|
sin ы t |
|
|
( p -f - a ) * -f~ |
e |
—at |
|
|
|
p + |
« |
|
cos a t |
|
|
(p - j - |
a ) 2 |
- J - со2 |
§ 2. Решение линейного дифференциального уравнения операционным методом
Рассмотрим дифференциальное уравнение с правой частью:
|
|
d n x ( t ) |
я, |
+ |
••• + |
«„ А' ( 0 |
— у (t) . |
(О |
|
|
го " dp |
' + |
|
Умножим левую и правую части уравнения на |
и проинтег |
|
рируем их |
в |
пределах от 0 |
д о о о ; |
|
|
|
|
|
|
dnx(t) |
|
rf" - 1 x(t) |
• + |
anx{t) |
e pt dt = j у (t) e |
pt d t |
|
U" |
di" |
A' lh |
dt" |
|
|
|
|
|
о |
|
|
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г dn x (t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ao I |
dt" ~ e |
pt d 14- a |
|
P‘^ |
+ |
-- |
A(Oe |
ptdt = |
о
=>'(0 e~pt^ .
0
На основании прямого преобразования Лапласа предыдущее уравнение можно записать в виде
a0L |
dn х (t) |
+ a\L |
da- l x(t) |
+ ... -\ - a„L\x(t)]=L\y{t)\ . |
(2) |
|
~dF~ |
|
dr- - ' |
|
|
(Обычно сразу к каждому члену уравнения (1) применяют прямое преобразование Лапласа, опуская промежуточные преобразова
ния, и получают уравнение 2 ). |
|
|
изображе |
Теперь заменим по приведенным выше формулам |
ния производных |
через изображения |
первообразной |
функции и |
соответствующие |
начальные условия: |
|
|
|
a0pnL [а ( 0 1 — а0 pn-i х (0 ) |
dx(0) |
|
рп~ 2 |
|
|
+ агр"-1 L [а (01 ~ «г рп~2 х (0 ) |
j - рп~ 8 |
^ а (О) |
|
dt |
|
|
|
|
|
”*■••• + ал ^ I*(01 —L\y (01•
Если все выражения, содержащие начальные условия, |
перенести |
в правую часть, а в левой части вынести затем L [лг(0 | |
за скобки, |
то получим |
|
|
ia0 р« + а, р" - 1 4 -.,. -f а„)Цх (01 = L [у (О] + г (р), |
(3) |
где г (р) =c1pn~1-j-.. ,-j- c„-ip-j-c„~—сумма всех членов, содержащих начальные условия.
Коэффициенты многочлена г(р) зависят от начальных условий и равны
с, = а„ х (П).
dx (0 )
|
|
|
|
(4) |
" |
d»-'x_{0 ) |
+ Й1 |
+ • • • + a„-i х (0 ). |
|
0 dt*-1 |
|
|
|
|
Если все |
начальные |
условия |
нулевые: |
|
|
_<1х\0 ) |
dl х {0 ) |
_ |
__ |
|
|
~ |
dt |
dt2 |
— |
dt"—' ~ |
’ |
то г ( р ) ~ 0 , |
Следовательно, уравнение |
(3) |
примет |
вид |
где |
|
|
Я (р )/.[* (0 ] = |
М.У(0 ], |
|
|
(5) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rip) — 4 P a -i « 1 р" - 1 + |
. .. + а„. |
|
|
Решим уравнение (3) |
относительно |
L [-т(0]. |
тогда |
|
|
|
L\x(t) }: |
[у ( 0 1 |
, г { р ) |
|
|
(6 ) |
|
|
|
|
RiP) |
^ Rip) ' |
|
|
|
Теперь |
необходимо |
перейти |
от |
полученного |
|
изображения |
L [х(0 ] |
к оригиналу |
.с(0- Положим |
y{t) = 0, |
тогда из |
уравнения |
|
(6 ) |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7) |
|
Найдем функцию x(t), |
для которой |
|
|
|
L 1-х ( 0 1 |
г (р) _ И Р " '1 4- са Рп~ 2 4 • ■■4- С„ |
(8) |
|
' я (Р) |
а0Р" 4 аг |
4 • • • 4 ап |
|
|
|
С этой целью разложим правую часть равенства на простые дроби
(рассматривается случай, |
когда нет кратных корней). Тогда |
|
|
L и о | |
|
|
|
г(р) |
|
|
|
|
|
'(P - P i)(P “ |
|
Ра) •••(*> — Рп)' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. _____ I |
_ 4 2 __(_ |
|
I |
4 я |
(9) |
|
|
Р |
|
Р\ ‘ |
Р |
Рг |
" |
|
Р — . |
|
|
|
|
|
где ри р2,->;Рп— корни |
характеристического уравнения/?(р)=0 ; |
|
А1г Л2 , |
А„ — коэффициенты |
(числители) простых дробей. |
Коэффициенты |
Лк |
вычисляются |
|
по |
формуле |
|
|
|
|
|
|
Лк = |
г (рО |
|
|
|
( 10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
Я'(Рк) ’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
d R {p) |
|
|
|
|
|
|
|
(Рк) |
|
|
|
|
|
|
R ' |
|
d р |
р |
Рк |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя |
в (9) |
эти |
значения |
Лк, находим |
выражения для |
L\x |
(0 1 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
г(р) ___ |
г(рг) |
__ i____. |
r ip*) |
|
|
L [л- (П |
|
|
|
|
|
p - |
pi ” |
R’(p2) |
P — P2 |
|
|
~ |
R |
( p ) |
R ’ i P |
i ) |
|
|
|
|
|
|
Г_[РЯ)_ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R ' |
iPn) |
P - Pn ’ |
|
И Л |
И |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L [x(0| |
|
V |
|
? (Pk) |
|
( H ) |
|
|
|
|
Й /?'(Pk)(p-pk) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Если учесть, ч т о -----------»-ет |
|
, |
То для изображения L \x{t)j |
из |
предыдущей |
|
Р - |
Рк' |
' |
|
|
|
|
|
x(t)\ |
формулы |
получим ее оригинал |
|
|
|
|
|
|
П |
f(Pk) |
Рк* |
|
(12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/?'.(Рк)
|
Следовательно, |
для нахождения оригинала необходимо: |
|
1) |
определить |
R(p); |
|
|
R(p) — 0; |
|
2) |
найти |
корни уравнения |
по |
3) |
определить коэффициенты многочлена ?(р)> вычислив их |
формулам |
(4); |
|
|
— R' (р); |
|
|
4) |
найти |
производную |
|
|
5) |
подставить последовательно ръ р2, ... , рп в R' (р) и в г(р) |
и |
наити значения |
г(р к) |
|
(где Л = 1 , 2 , Я |
-р-——; |
|
|
6 ) |
|
|
R Ы |
( 1 2 ). |
|
|
|
составить сумму |
|
1 |
|
Если среди корней имеются комплексные сопряженные: |
то |
|
|
|
Pk= |
*-f/'S, |
pk + 1 = a —/3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r (Pk) |
_'>~f~ J Ti__' |
i ,• |
|
|
|
|
я - м |
|
~ |
, + у з |
|
|
|
|
'(Pk+i)_ |
■Jri |
- j 3 |
|
|
|
|
(Pk+1) |
|
|
|
|
|
|
|
.Запишем комплексные числа в векторной форме:
'(Р О |
С |
’ |
/?'(Рк)_ |
r (Pfc+i) |
- ,Л с Ну, |
/ ? |
' ( Р к + 1 |
) |
|
где |
|
|
<р= arctg 4-. |
Л = |
]/53 -f о2 ; |
Среди слагаемых в
У r(pk) Pkt
ЙR'lPk)
будут содержаться слагаемые
ЛеУге(*-МЗН + Л е-f? ек1—
Воспользовавшись |
тождеством |
Эйлера |
ejz = cos z -j- j sin z , |
получим формулу для определения оригинала |
функции по се изо |
бражению (для случая, когда характеристическое уравнение имеет комплексные корни):
|
п —2S |
s |
|
x(t) = |
Z c j ' k -f- ^ 2 Лк c"ktcos (8к ^ -f- 9к) , |
(13) |
где (п — 2 ,s') — |
число |
действительных корней характеристиче |
|
ского |
уравнения; |
|
s— число нар сопряженных комплексных корней ха рактеристического уравнения;
|
Ск |
|
г ( Р к ) |
Лк — 1 о2 + |
a2; |
-зk = ак tg ~ ; |
|
|
|
R' ы |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
рк — действительный корень характеристического урав |
^■к и |
/к |
нения; |
|
|
действительная и |
мнимая |
части |
соответственно |
|
|
|
комплексных корней характеристического уравне |
о и |
|
|
ния; |
|
|
действительная и |
мнимая |
части |
з — соответственно |
|
|
|
выражения |
'(Pk) |
в случае, |
когда |
Рк яв- |
|
|
R' М |
|
|
ляется |
|
|
|
|
|
|
|
|
комплексным корнем. |
|
|
|
Пусть теперь в уравнении (6 ) у (t) щ 0, |
но |
все начальные |
условия равны нулю и в силу |
этого г (р) = |
0 . |
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L 1x{t)} |
L[y{t)] |
|
|
|
|
(14) |
|
|
|
Rip) |
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В теории регулирования в качестве функций |
у (t) |
применяются |
сигналы, |
изображение |
которых |
является |
дрооно-рациональными |
функциями вида |
М{р) |
где М ip) и Т(р) |
полиномы от р. |
|
|
|
|
Т( Р)’ |
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, вместо уравнения (14) получим |
|
|
|
L\xit)\ |
Mjp) |
. . |
Mjp) |
|
|
(14а) |
|
|
Т ip) Rip) |
S{ P) |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
где
5 ip) = Tip) Rip).
Рассуждая совершенно так же, как н для случая y ( t ) ~ 0 и
г(р) £ 0 , получим искомый |
оригинал |
x(t): |
|
х ( о = 2 |
М(рь) |
е |
Pkt |
(15) |
т |
(Pk) |
|
|
S ' |
|
|
|
где pk — корни уравнения S(p)-=0.
Если |
в уравнении |
S ( p ) ~ 0 |
есть один нулевой корень, |
т. с |
5 (р) = |
р S,(p) = |
'\ |
а значит |
рг —0, |
то оригинал x(t) |
для |
уравнения |
(14а) |
можно определить как по формуле (15), так |
и по |
формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М (0) |
V |
М (Pk) |
Pkt |
(КЗ) |
|
|
■ * ( 0 = ^ ( ° ) |
k ^ P -V (p k )e |
|
|
|
где рк — |
корни |
уравнения |
S (р) = 0. |
|
|
г |
|
М (0 ) |
определяет установившееся значение пере- |
Слагаемое |
о~7 |
т |
менной |
|
с>1 |
(.и) |
|
|
|
|
|
|
х (/) после окончания переходного процесса. |
(16) |
Когда |
Т(р) = р, |
S 1(p) = R(p). |
Поэтому формула |
примет |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t) |
Л ! ( 0 ) |
у |
М ( pk) |
-Pkt |
(16а) |
|
|
лч (» |
г , |
/’к А” о>«) |
0 |
|
|
|
|
|
где рк — корни характеристического уравнения замкнутой систе мы R(p) —0 .
В случае, если часть корней уравнения S (р) () будут чис то мнимыми или комплексными не кратными, а остальные корни— не кратными вещественными, можно применять дли определения оригинала формулу (15), а при одном нулевом корне — формулу (16). В результате вычислении среди слагаемых полученного ори гинала x(t) будут слагаемые, Содержащие комплексные числа. Для получения окончательного решения необходимо от алгебраи ческой формы комплексного числа в слагаемом оригинала, полу ченном по формуле (15) или (16) при подстановке комплексного
корня, перейти к |
векторной (показательной) форме |
комплексного |
числа, как это показано в книге |
|23| при решении задачи № 142. |
При наличии комплексных корней в уравнении 5 (/?) = ( 1 для |
определения оригинала |
x{t) |
можно пользоваться |
и специаль |
ными формулами разложения, например формулой (13). |
В случае кратных корней в уравнении S(p) — 0 |
для опреде |
ления |
оригинала |
х (t) |
используются другие формулы разложе |
ния, |
приведенные |
в книге. [6 ], |
ч. I , |
|
Пр и ме р . Найти решение уравнения
|
|
I ю d*x (0 |
, |
о, |
dx(t) |
3 0 -v(O = |
dJdT -- + y{t), |
(17) |
dt* |
• |
dr- |
|
' |
1,1 |
dt |
|
если |
начальные условия |
при |
^ = 0 |
равны |
|
|
|
|
|
|
|
|
х (0) — Л'0 = |
3 и |
rfJ?(2 L _ n |
1 |
|
|
а |
входной |
сигнал |
_у(7)=1|/‘|. |
|
30, |
/;0 = |
= |
1). |
(В |
примере а 0= |
1 / |
|
|
10, |
п2 = 31, а3 = |
|
Применим к каждому члену уравнения (17) |
прямое преобра |
зование Лапласа, |
у |
результате получим |
|
|
|
|
L |
сР х (t) |
+ 10 L |
|
dl x (О |
|
dx (t) |
- i- 30 I. |
' |
|
|
x (7) |
|
|
|
" d r |
|
|
|
‘ dP |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
L |
dy{t) |
+ l |
У it) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
Выполняя дальнейшие преобразования в этом уравнении и учиты вая, что вместо /-[-t(0 ] можно записывать X(р), найдем:
f X { p ) |
- Р*х(0) + р |
d.r ( 0 ) |
tf+ ( 0 ) |
} + 10 [ X(p) |
|
|
|
dt |
+ |
dP |
|
Px{0 ) + |
dx{0 ) |
( 4 31 j p X ( p ) - x (0) |
+ 30 Ar(p) = p K(p) + Y{p), |
|
dt |
|
|
|
|
|
или с учетом начальных условий и входного сигнала:
+ Х(р) 3 |
4 10 j р*Х(р) - 3 р j + 31 j р Х ( р ) - 3 j -f 30 А (р) = |
Решая это уравнение относительно Х(р), |
получим |
Х (Р) = |
у ( Л + 1 ) + + Р ) |
( 18) |
у у io+ у - з у у у з о ’ |
|
где г (р) = Ър'1+ 30р + |
93. |
|
С учетом уравнения (6 ) запишем уравнение (18) в следующем виде:
|
У(пЛ = _______ р_±1_______ , |
Зр» + 30р + 93_ |
|
КР} р (f + ю р а■- f з 1р + зо) 'г р» + ю р а + 3i р + зо |
или |
* (р ) |
М( р ) , г(р) |
|
S i p y R i p ) ’ |
|
|
|
|
где
Л*(Р) — Р + 1 ;
S(p) = T{p)R(p) = pi f Юр’ -f 31ра + 30р;
Т{р) = р\
R(P) = P' + Юр2 + 31 р Ч- 30;
г(р) = 3 р 2+30р+93.
Для определения оригинала x{t) |
по изображению (19) не |
обходимо найти |
отдельно |
оригинал за |
счет действия на систему |
входного сигнала |
y{t), |
т. е. |
|
х х( 0
• М{р) ■S{p) :
и оригинал за счет учета начальных условии, т. е.
х ч( 0 |
• |
г(р) |
|
■RiP) ‘ |
|
|
|
Решение уравнения (19), следовательно, будет равно сумме |
х х (t), |
Хъ(0. Т. е. |
|
|
|
x(t) = x 1( 0 |
+ *s(0 - |
(20) |
Если в системе начальные условия будут равны нулю, то вто рое слагаемое в уравнении (19) исчезает и решение уравнения будет
л: (t) — х х(()•
Найдем оригинал х г (t) для изображения
(р) = Щр) |
(21) |
s (p) |
|
по формуле (16), так как корни уравнения S(p) = 0 |
следующие: |
р3 = 0, р2 = — 2, р3 = — 3, р4 = — 5.и среди них ость один нулевой корень.
Определим полиномы, которые необходимо подставлять в фор
мулу |
(16). |
Так, М(р) = р + |
1; З Д = р 5 1(р)=рЧ-Ш р8+31р2+30р. |
Значит, S^p) — ^ у 1 0 /Я + |
3! р + 30. |
В нашем примере Sx(p) |
совпадает с полиномом R(p)- |
Определим производную для поли |
нома S 1(p), |
т. е. |
|
|
|
|
|
d_Sy(p) |
= |
3ра + 20р + 31 . |
|
|
d р |
|
|
|
Теперь |
подставим значения |
корней в формулу (16) и образуем |
сумму |
для |
определения х г (t) : |
|
|
M{Pl)
* 1 ( 0
Si(Pi)
,e
P iSi'iPt)
|
М(р*) |
pP ^, |
M(p9) |
pP»« |
|
>2 ^ 1' (p2) |
^ Р з^ /С Р з ) |
■ |
|
_ |
J_+ l c~ 2,_ i e “Л . A < T 51 |
( 22) |
“ |
3 0 ^ 6 |
3 |
' 1 5 |
|
|
Если в системе начальные условия не нулевые, то необходимо
определить оригинал |
x^{t) |
для |
второго слагаемого |
уравнения |
(19). |
Оригинал |
х%(t) |
определяется по формуле |
(12), так как |
корни |
уравнения |
7?(р) = 0 |
все вещественные и |
не |
кратные: |
P i = - 2, р2 = — 3, р3 = — 5 . |
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
г(Ръ) |
pkt |
|
|
|
|
Хо( 0 = £ |
|
(23) |
|
|
е |
|
|
|
|
к~\ |
RrЫ |
|
|
|
Для определения оригинала х 2 (t) имеем:
г (р) = 3 р- 4- 30 р г 93;
dR(p) = 3pa-f-20p-f 31, d р
