книги из ГПНТБ / Рогов Е.Ф. Основы теории автоматического регулирования учебное пособие

to можем считать, что на выходе • нелинейного элемента (рис. 13.12) будет только первая гармоника из всего спектра гармоник

где коэффициенты для -первой гармоники ряда, Фурье равны (для упрощения индексы «1» у g(A) и Ь{А) опущены):

2-к

g(A) — z^ | F(x1) sin idtdu>t\

О

(13.17)

2 ~

Ь(А) = ~д\^ F{x i) cos со tdo) t ,

a F (xx) — нелинейная функция, соответствующая релейной ха­ рактеристике нелинейного элемента.

Запишем изображения по Лапласу для входной и выходной величин нелинейного элемента:

х л р У - а р*-f- е>-

Х { р ) - л S W ^ s + b i A ) ^ ^

р* +

Следовательно, передаточная функция нелинейного элемента рав­ на '

Из выражения (13Л8) видно, что передаточная функция нелиней­ ного элемента в общем виде зависит от амплитуды входного сиг­ нала А и частоты со. Наиболее распространены случаи, когда пе­ редаточная функция нелинейного элемента зависит только от амп­ литуды- Л входного сигнала и не зависит от частоты. Заменив п выражении (13.18) р на /ш и .произведя необходимые сокращения, получим выражение, которое не зависит от частоты w . Значит, комплексная передаточная функция данного нелинейного элемента зависит только от амплитуды А входного сигнала. Комплексная

350-

Коэффициент g)A) определяется следующим образом:

352

часть системы в разомкнутом состоянии является устойчивой. За­

рактеристики разомкнутой системы W(ju>), иногда называемой комплексной передаточной функцией. Поэтому выходная величина

функцией разомкнутой линеаризованной нелинейной системы. Как известно, для определения устойчивости системы, в том

числе и определения незатухающих периодических колебаний, не­ обходимо составить характеристическое уравнение замкнутой сис­ темы. На этом основании для нахождения автоколебаний в нели­ нейной системе составим уравнение собственных колебаний лине­ аризованной нелинейной системы, по своему виду напоминающее характеристическое уравнение замкнутой системы. Уравнение

Аналитическое решение уравнения (13.25) позволяет определить частоту о и амплитуду А автоколебаний. Для этого необходимо из комплексного числа (левой части уравнения 13.25) выделить вещественную и мнимую части, приравнять их раздельно нулю и

353

построить на одной комплексной плоскости амплитудно-фазовую

это значит, что в данной системе могут существовать автоколеба­ ния (система будет находиться на границе устойчивости по отно­ шению к первой гармонике автоколебаний). Если эти обе кривые не пересекутся, то в системе невозможны автоколебания.

На рис. 13.14 построены кривые W(J ю) и — z(y А) для слу­ чая, когда они пересекаются в двух точках: 7 и 2. Значит, в систе­ ме могут возникать автоколебания с частотой Wj и амплитудой

.4], соответствующие точке пересечения 7, причем частота ац бе­ рется из кривой IF(/'со), а амплитуда А\ — из кривой г (у Л). Могут также возникать автоколебания с частотой о>2 и амплиту­ дой А2, соответствующие точке пересечения 2.

354

Теперь необходимо выяснить, являются ли эти автоколебания устойчивыми? Для этого воспользуемся следующим критерием устойчивости, базирующимся на критерии устойчивости Найк­ виста:

Если амплитудная характеристика нелинейного элемен­

что в системе возникли автоколебания с амплитудой А\ и частотой Wj. Пусть по каким-либо причинам амплитуда А\ уменьшилась. Тогда автоколебания срываются (они по критерию в точке 1 неус­ тойчивы) и их амплитуда и частота уменьшаются до нуля. Это значит, что замкнутая система находится в устойчивом состоянии (в соответствии с критерием устойчивости Найквиста) и в ней отсутствуют автоколебания. Теперь допустим, что амплитуда А\ увеличилась, а так как автоколебания в точке 1 неустойчивы, то амплитуда и частота автоколебаний увеличиваются до Л2 и со,, т. е. устанавливаются устойчивые автоколебания, соответствующие точке 2.

Пусть в системе установились автоколебания с амплитудой

.42 и частотой со2. По какой-либо причине амплитуда А2 уменьши­ лась. Тогда амплитуда и частота снова увеличиваются до значе­ ния А2 и со2 , т. е. снова устанавливаются устойчивые автоколеба­ ния. То же самое происходит и при увеличении амплитуды А2, т. е. снова в системе устанавливаются устойчивые автоколебания, со­ ответствующие точке 2.

Если амплитуда устойчивых автоколебаний оказалась боль­ шой по величине, тогда нелинейная система считается практиче­ ски неустойчивой. Для того чтобы система стала практически.ус­ тойчивой, надо в систему ввести корректирующее устройство, ко­ торое уменьшит амплитуду автоколебаний или совсем ее сведет к нулю, т. .е. приведет к ликвидации автоколебаний в системе. Кор­ ректирующие устройства, вводимые в нелинейные системы, позво­ ляют улучшить качество переходного процесса в системе.

Метод гармонического баланса, предложенный Е. П. Поло вы.ч, дает возможность исследовать как устойчивость системы и автоколебаний, так п качество процессов регулирования нелиней­ ной системы.

355

П Р И Л О Ж Е Н И Е 2

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

§1 . Общие сведения о преобразовании Лапласа

Вданном курсе основное внимание уделяется линейным систе­ мам, которые описываются обыкновенными линейными дифферен­ циальными уравнениями с постоянными коэффициентами. /Для ре­ шения таких дифференциальных уравнений в теории автоматиче­ ского регулирования широко применяется операционный . метод на базе одностороннего преобразования Лапласа из операционного исчисления.

некоторой, функции комплексной переменной р. Применительно к системам автоматического регулирования преобразование Лапла­ са позволяет перейти от дифференциальной связи между входной и выходной величинами к алгебраической связи между их изобра­ жениями и учесть начальные условия системы. После того как ал­ гебраическое уравнение будет решено и будет получено выраже­ ние для изображения выходной величины через известную вход­ ную величину, совершается обратный переход от изображений к реальным функциям времени.

где знак /->- или = не определяет равенства изображения и ори­ гинала, а означает их соответствие, определяемое выражением

О С

прямого преобразования Лапласа L \f (t)\ - j / (/) е" pt d t .

О

360

по изображению составляет обратную задачу теории преобразова­

4. Теорема запаздывания. Теорема указывает, каким образом изменяется изображение при смещении оригинала вдоль оси t на постоянную величину т0.

Если

М Я 0 1 Д / ( 0 >

то

е_ХР/. 1/ ( 0 1 - > /(^ -- 0 .

5.Теорема умножения изображений, или теорема свертки двух функций,

361