книги из ГПНТБ / Рогов Е.Ф. Основы теории автоматического регулирования учебное пособие

Если пренебречь силами инерции поршнй катаракта, пружины и рычага, то уравнение катаракта будет

зельного двигателя увеличилась, значит муфта А регулятора ско­ рости 1 (рис. 12.13) поднимется. При этом рычаг 2 повернется вокруг точки В и золотник сервомотора сместится вверх. Ма-сло под давлением поступит в верхнюю полость цилиндра сервомото­ ра 4 и начнет перемещать поршень вниз. Это вызовет перемеще­ ние цилиндра и поршня катаракта также вниз, так как при быст­ ром движении цилиндра вниз относительно поршня катаракта воз­ никает большое сопротивление, вызванное перетеканием масла. В результате точка В сместится вниз и .пружина 6 растянется, при­ чем рычаг 2 повернется вокруг точки А, благодаря чему поршни золотника прикроют масляные каналы, после чего движение порш­ ня сервомотора 4 прекратится. Теперь точка В рычага под воз­ действием реакции пружины 6 начнет двигаться в обратную сто­

Рис. 12.14.

330

С учетом изодромной обратной связи входная величина для зо­ лотника z будет определяться двумя входными сигналами и» дифференциальный рычаг 2 (рис. 12.13), т. е. уравнение связи междс изодромом и золотником будет определяться по формуле (12.12). Запишем это уравнение в отклонениях и с относительны­ ми коэффициентами

Движения точек А и В противоположны, поэтому при максималь­ ном отклонении точек А и О рычага получим у - 0 и, наоборот, при Д'шах и Zmax будет .г=0. Для этих условий можно записать урав­ нение (12.12) в следующем виде:

Подставляявыражение (12.16) в (12.15), получим

(12.17)

Поэтому уравнение сервомотора будет

331

Передаточная функция сервомотора в этом случае равна:

дение изодромной связи приводит к тому, что основное звено ос­ тается по-прежнему интегрирующим, но с меньшим коэффициен­ том передачи звена и с меньшей постоянной времени звена.

Кроме того, в отличие от простой гибкой обратной связи, изодромная обратная связь, принадлежащая к гибким обратным свя­ зям, дает возможность осуществить закон (регулирования как по

действии. При этом задаются максимальной величиной перерегу­ лирования, временем регулирования и максимальным ускорением.

При использовании последовательных корректирующих уст­ ройств идея рассматриваемого метода кратко может быть изложе­

3)вычитая из второй характеристики первую, находят ЛАХ корректирующего устройства;

4)по ЛАХ корректирующего устройства из таблиц выбирают наиболее подходящую схему корректирующего контура или в бо­ лее общем случае производят синтез корректирующего контура

методами, принятыми в теории электрических цепей; 5) производят построение кривой переходного процесса скор

ректированной системы для проверки соответствия полученных показателей качества заданным.

При использовании параллельных корректирующих устройств с помощью дополнительных преобразований задача сводится к предыдущей.

Подробное изложение вопросов синтеза корректирующих уст­ ройств можно найти, в [6].

332

ГЛАВА 13

ПОНЯТИЕ О ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ С ПОСТОЯННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ И О НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

§ 13.1. Особенности анализа линейных систем с постоянными запаздыванием

В некоторых случаях отдельные звенья систем автоматиче­ ского регулирования обладают постоянным запаздыванием, т. е. реагируют на изменение входного сигнала не сразу, а спустя неко­ торый постоянный промежуток времени т. Это постоянное запаз­ дывание обуславливается ограниченной скоростью распростране­ ния сигнала. Например, изменение давления на одном конце газо­ провода длиной 100 м дойдет до другого конца примерно через 0,3 сек и если этот газопровод используется для подвода давления к измерителю регулятора, то цепь воздействия системы регулиро­ вания будет иметь постоянное запаздывание г = 0,3 сек.

Постоянное запаздывание встречается в теплоэнергетических, химических и других процессах.

Так, если имеем объект с постоянным запаздыванием, то при подаче на вход объекта сигнала в виде ступенчатой функции на выходе объекта получим сигнал со сдвигом вдоль оси времени на величину т = const (рис. 13.1).

-Ме.д

Объект с пост

запаздыванием

Рис. 13.1.

Особенность анализа подобного объекта с постоянным запаз­ дыванием состоит в том, что этот объект заменяют последователь­ но соединенными объектом без постоянного запаздывания и зве­ ном с постоянным запаздыванием (рис, 13.2).

333

Звеном с постоянным запаздыванием называется элемент системы регулирования, в котором величина на выходе воспроиз­ водится без искажений по сравнению с входной величиной, но с некоторым постоянным запаздыванием х. Передача сигнала зве­ ном с постоянным запаздыванием поясняется временными харак­ теристиками, изображенными на рис. 13.2. Следовательно, для звена с постоянным запаздыванием между выходной и входной ве­ личинами существует следующая зависимость:

где х —const и называется временем запаздывания.

Системами с постоянным запаздыванием назовем системы, в структурной схеме которых содержится хотя бы одно звено с по­ стоянным запаздыванием.

Пусть имеем систему автоматического регулирования, в струк­

x ( t )

Рис. 13.3.

Запишем в символической форме уравнения,,. описывающие данную систему автоматического регулирования,

334.

Используя систему уравнений (13.!), составим уравнение*дви­ жения замкнутой системы методом исключения промежуточных переменных. Для этого установим зависимость между функциям:! z(t) и &(t — т). Функцию г (t — т) разложим в ряд Тейлора и запишем ее в символической форме

Выражение в квадратных скобках есть запись ряда Тейлора для функции e -D\ Поэтому окончательно имеем

После преобразования по Лапласу уравнения (13.3) получим передаточную функцию замкнутой системы с постоянным запазды­ ванием

ственно и по структурной схеме.

На основании теоремы запаздывания из преобразования Лап­

Следовательно, передаточная функция звена с постоянным запаз­ дыванием равна

335

Тогда передаточная функция разомкнутой системы с постоянным запаздыванием будет

а передаточная функция замкнутой системы

Если система автоматического регулирования имеет несколько звеньев с постоянным запаздыванием, то при их последовательном соединении они могут быть заменены одним эквивалентным зве­ ном. Например,

Из сравнения передаточных функций линейных систем без постоянного запаздывания и с постоянным запаздыванием видно, что они отличаются друг от друга только наличием в последних дополнительного множителя е~Рт. Отсюда можно’ заключить, что все выведенные общие формулы для уравнений и амплитудно­ фазовых характеристик разомкнутых и замкнутых систем во всех случаях остаются в силе и для линейных систем с 'Постоянным запаздыванием, если в этих формулах учитывать звено с посто­ янным запаздыванием, имеющим передаточную функцию

Wz(p)=e~ р=.

Остановимся па вопросе получения амплитудно-фазовой ха­ рактеристики разомкнутой системы с постоянным запаздыванием. Заменяя р на у ю в передаточной функции (13.8), получим выра­ жение для АФХ разомкнутой системы с постоянным запаздыванием:

амплитуде на выходе системы без звена с постоянным запаздыва­ нием, а фаза установившихся колебаний получает дополнительный сдвиг на угол тси но сравнению с системой без звена с постоянным запаздыванием.

Построим АФХ разомкнутой системы с постоянным запазды­

3 3 6

Рис. 13.1.

Если провести единичный радиус из начала координат, то ока­ зывается, что запасы устойчивости по фазе (дуга ав) и по модулю (отрезок ad ) для системы с постоянным запаздыванием т мень­ ше, чем запасы по фазе (дуга ас) и по модулю (отрезок ак) для той же системы, но без звена с постоянным запаздыванием. Сле­ довательно, постоянное запаздывание т ухудшает устойчивость замкну/ой системы.

Рассмотрим особенности анализа устойчивости линейных сис­ тем с постоянным запаздыванием.

Необходимым и достаточным условием устойчивости, так же как и в случае отсутствия постоянного запаздывания, является требование, чтобы вещественные части всех корней трансцендент­ ного характеристического уравнения

1+ Ur0(p )c -P ~ 0

были отрицательными. Но в отличие от обыкновенного алгебраи­ ческого уравнения здесь вследствие наличия множителя е~Р' уравнение может иметь бесконечное количество корней. Это также приводит к тому, что для устойчивости линейных систем первого

337

и- второго порядка с постоянным запаздыванием оказывается уже недостаточно только положительности коэффициентов, а для сис­ тем третьего и более высокого порядка с постоянным запаздыва­ нием .н.е применимы критерии устойчивости Вышнеградского ...и Гурвица.

Алгебраические критерии устойчивости для линейных систем с постоянным запаздыванием разработаны советскими учеными, но эти критерии очень сложны.

Внекоторых случаях при определении устойчивости системы

спостоянным запаздыванием допускают упрощение, заменяя трансцендентное характеристическое уравнение с бесконечным числом членов обычным алгебраическим уравнением с сохране­

нием только первых двух или трех членов ряда

уравнению применяется любой из критериев устойчивости, в том числе критерии Вышнеградского и Гурвица,

Однако такое упрощенное решение задачи часто приводит к неправильным результатам, поэтому оно не рекомендуется.

Из ранее полученных критериев устойчивости для систем с постоянным запаздыванием наиболее целесообразно применять частотный критерий Найквиста. Сформулируем критерий Найк­ виста:

Для того чтобы система с постоянным запаздыванием, устойчивая в разомкнутом состоянии, была устойчивой также и в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика W(J ы) не охватыва­ ла точку (— 1,/0).

На рис. 13.5 представлена амплитудно-фазовая характеристи­ ка разомкнутой системы без постоянного запаздывания. Теперь в эту же систему введем звено с постоянным запаздыванием т. Как отмечалось, фаза вектора системы е постоянным запаздыванием по сравнению с системой без запаздывания имеет отрицательное

с постоянным запаздыванием будет устойчива. Если время запаз­

будет устойчивой, при други х — неустойчивой.

338

В системах автоматического регулирования в целях увеличе­ ния быстродействия и точности время запаздывания т стремятся уменьшать. Поэтому часто критерий устойчивости формулируется лишь для минимального времени запаздывания, т. е. для т <С ту

и и

К системам с постоянным запаздыванием применим также и критерий устойчивости Михайлова в прежней его формулировке. Однако и здесь, вследствие наличия множителя е~;тш, существен­ но изменяется очертание кривой Михайлова.

Покажем применение критерия Михайлова. Пусть передаточ­ ная функция разомкнутой системы без постоянного запаздываний равна

м (р)

N ( p ) ’

а с постоянным запаздыванием —

339