Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Радиогенный аргон в минералах и горных породах Х. И. Амирханов, С. Б. Брандт, Е. Н. Бартницкий Академия наук Союза ССР, Дагестанский филиал. 1960- 9 Мб

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.10.2023

Размер:

9.93 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 215 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Механизм миграции газов	39
концентрация Ср, а концентрация радиогенного газа	в окру

жающем пространстве равна нулю во все моменты времени. Эти условия соответствуют образцу, помещенному в реактор, находящийся под откачкой. Хотя реальная картина диффузии может быть и отличается в большей или меньшей степени от только что описанной, тем не менее все без исключения опуб ликованные работы кладут в основу именно эту картину.

Сформулируем наши начальные			и краевые условия		мате
матически:
С=С0	при 0<x<h	в	момент t = 0
С=0	при х = 0,			при t > 0
Попытаемся	отыскать решение		уравнения	(III. 2) в	виде
произведения двух функций Х(х)		и	Т (t), из	которых первая

зависит только от координаты х и не зависит от t, а вторая зависит только от t и не зависит от х.

С = Х(х) -Т(П

Эти функции, будучи подставлены в уравнение (III. 2), должны обращать его в тождество. Производим соответствую щее дифференцирование:

дТ

XT' = DTX"

Преобразуем это выражение:

Левая часть этого равенства зависит только от t, а правая — только от х. Так как эти параметры между собой никак не связаны, то равенство может осуществляться только в том случае, если левая и правая части порознь равны некоторой постоянной величине. Обозначим ее через '-'D. Тогда равен ство распадается на два:

Т'

Т“-1’D

40 Механизм миграции газов

что дает два независимых обыкновенных линейных дифферен циальных уравнения:

		— + k2DT=0			и
		d’X	-р.2Х = 0
		dx2	-р.2Х = 0
Решением первого из этих двух уравнений является функ
ция
			— X2Dt
		Т = Ge		,	а второго
		X = AsinXx + BcosXx
Следовательно, частным			решением	уравнения (III. 2) будет
произведение		этих двух функций (постоянную				G объединяем
с А и	В):
		С = (AslnXx + BcosXx) е			— PDt
		С = (AslnXx + BcosXx) е
Величина X,		находясь под знаком тригонометрической функ
ции, должна, будучи умноженной на х,					иметь	характер дуги.
При этом необходимо также учесть,					что функции Sin z и
Cos z	периодичны. Поэтому, стремясь удовлетворить задан
ным граничным условиям, положим					ие	где п — целое
ным граничным условиям, положим				X = — ,		где п — целое
число.	Подставляем эту величину в				частное	решение при

условиях х = h, t = 0.

0 = Ап	пл		пл
0 = Ап	sin	h 4- Вп cos -т- h
П	h	11	h

Отсюда в нашем случае Вп = 0 и частное решение приобрета ет вид:

n^Dt

пл ь2 Cn = Ansiny хе

	Механизм миграции газов		41
Такое решение	может быть написано для любого п.		Общее
решение будет	очевидно суммой	всех возможных	частных
при п = 1....ОО.
	ОО	n2Tt2Dt
	ОО
	С= ZjAnSin-т-x • е
	п
	и = 1
Вдумаемся в	это выражение.	При t = 0 оно представляет

собой распределение концентраций внутри пластинки и имеет

форму ряда Фурье, в который в интервале 0	х h можно-
разложить любую функцию распределения С0(х).
Следовательно ап представляют собой	коэффициенты
Фурье, которые, как известно, определяются	по соотношению

				h	пях
			2 *(		пях
			An = yJ Со (х) sin-fo—dx
				о
Решение приобретает вид:
со			n2K2Dt		h	пкх
	П7ГХ		-- —Г-Л----			пкх	5)
	sin -т—-		. е	h'	C0(x)sin-jp dx (III.		5)
У h					о
п = 1					о
В нашем случае С0(х) равно постоянной величине Со
		h		2С0		h
	2С0	р	пях	2С0	птсх	4С0
Ап = -т— I			sin -т— dx =----		—cos -г— — —=——гт—
	hj		h	шт	h	(2v+ l)rc
		о			о
				(v = 0,1,2....)
(III. 5)	перепишется в			виде:
					• (2v + lh
4C0“		1	(2v + lhx			Dt
—-----	у .		sin---------------			h	5a>
—-----	у .		sin---------------			(III.
л	2v + 1			h		(III.
v=0.

' Реально мы не можем знать распределение концентрации радиогенного газа внутри минерала. Доступной измерению является только средняя концентрация

42	Механизм миграции газов
1 С	8COV1	1	—	-—-—— Dt
С = v	Cdx = —- У	.. 2	е \	h / (III. 6)
nJ	тс2	(2v + I)2		' '
О	v = о

Для случая, когда требуется вычислить диффузию не из пластинки, а внутрь пластинки при постоянной концентрации

во внешнем		пространстве, действует соотношение:
		8		1			(2v 4- 1)к	V
		8		1			2—й-------	Dt
С=С0	1 — т:2		(2v 4-1)2				h	/	(III. 7).
		v = 0
Часто при измерениях диффузии отбрасывают все									члены v > О
и получают первое			линейное приближение
				_	8 е“		u2Dt		(Ш- 8>-
				С	8 е“		1С		(Ш- 8>-
				р	г -	V
				^0	К
Результаты измерений удобно представлять графически,
прологарифмировав			обе сторонь) этого соотношения:
		/ С\		= in	/8\		T2Dt		(Ш 9)
		In ( АМ		= in	(	2 )	-		(Ш 9)
		\С0/			V2/		Т2”
Чтобы установить допустимость подобных упрбщений, за
дадимся конкретным				численным			примером.	Пусть радиоген
ный газ	диффундирует из				пластинки минерала толщиной 50
микрон	(5.1С73 см)			при		постоянной диффузии, равной
10-11 см2/сек.		Опыт ставится				путем прогрева			образца при

определенной температуре (которой свойственна заданная

величина D) в течение 16	часов. Результаты представлены
на рис. 7.
Мы видим, что в условиях данной задачи, очень		близких
к лабораторным, линейное	приближение по формуле	(Ш. 9)

(прямая А на рис. 7) дает значительное расхождение с точ ным решением (кривая ОВ). Если бы мы пожелали, как это

делает Рейнольдс в работе	И 51,	найти постоянную диффузии
по одной точке, например,	после	прогрева образца в течение

8 часов (ОС рис. 7), то получили бы значительное расхожде ние с истиной. D определялось бы соотношением

it2D

Лр“

Механизм миграции газов	43
В нашем случае она равнялась бы 2,45.10-“ см2/сек.	Это.

расходится с истинным значением в 2,5 раза. Мы увидим, что если при таких расхождениях определять теплоту активации, то можно получить еще более высокие погрешности.

Случай плоской диффузии является математически наи более простым. Однако, практически его трудно увязать с условиями эксперимента, в частности, с размерами исследуе мых зерен образца.

Рис. 7. Линейное приближение кривой диффузии.

Случай 2. Более реальным является случай сферически симметричной диффузии, к рассмотрению которого мы сейчас перейдем. Здесь имеется возможность отождествить средний ситовой размер зерен с некоим эквивалентным радиусом сфе ры. При дальнейшем рассмотрении предполагается, что диф фузия изотропна, т. е. что D имеет одинаковое значение по всем направлениям. Современные экспериментальные средст ва едва ли разрешают констатировать направления преобла дающих потоков частиц, покидающих зерна минералов. К тому же последние в большинстве случаев нельзя назвать мо нокристаллическими. Поэтому мы все пространственные структуры, как например полевые шпаты, сильвины и др. от носим к сферическому случаю.

44 Механизм миграции газов

Пусть имеется сфера радиуса а, концентрация радиогенно го газа в которой в начальный момент времени постоянна и равна Со. Концентрация радиогенного газа во внешнем про странстве равна нулю в любой момент времени. Так как у нас нет привилегированного направления, концентрация на

любых концентрических		сферических	поверхностях будет за
висеть только от времени.				задачи следующие:
Итак, начальные и		краевые условия
С = Со	при	0 < г <^а	в	момент t = О
С = 0	при	г > а в любой момент времени
				{рис. 8).

Рис 8.1 К сферической диффузии.

Для решения задачи воспользуемся уравнением (III. 3). Произведем подстановку

U = Cr

Тогда имеем:

U		дС 1		dU
г ’	dt		г	dt
дС	1	dU	U
дг	г	дг	г2	’

Механизм миграции газов							45
d2C		1 d’U		2 dU г		2
dr2		г	dr2	г2	dr
Подстановка в	(III.		3) даёт:
		dU	=D	d2U			(III. 10)
		dt	=D				(III. 10)
Оно тождественно	с	уравнением			(III. 2)	для случая	плоской

диффузии. Граничные и начальные условия будут иметь вид:

U = 0	при	г = 0 и г = а для всех t
U = гСо	при 0 < г	при t = О

Эти условия также тождественны тем, с которыми мы имели дело при рассмотрении плоского случая. Следователь но, общим решением будет:

СО	ПКГ	n2K2Dt			2С0 *(		пкг
	ПКГ				2С0 *(		пкг		(III. 11)
и» 2 sin---- е					•----- I г sin----- dr				(III. 11)
	а				a	J	а
	а		пкг
Интеграл	*[		пкг		берется		по частям
Интеграл	u sin —dr				берется		по частям
r = u:	dr=du;			пкг			а		пкг
r = u:	dr=du;			sin---- dr = dv;--------cos------=v
’				а			пк		a
	p				га	пкг	Г	a	пкг
udv = uv — I		vdu =------ cos--------H I						— cos---- dr =
	J				пк	a	J	пк	a
		a1		sin	ПКГ	га	пкг
		п2к2		sin	a	— cos----
		п2к2			a	пк	a
Переходя к определенному интегралу,							получим
						а
	а1	ПКГ		га	пкг
п2к2		sin----------- cos------
п2к2		а		пк	а

46	Механизм миграции газов
Подставим это в (III.			11):
	2аС0	СО (-1)п		ПСТ	nVDf
	2аС0	СО (-1)п		ПСТ	““а2
	и=		---------sin----- е		““а2
			п	а
	п = 1
Переходя обратно к концентрациям, получаем
	2аС0^(—1)п			пст'	n'^Dt
	2аС0^(—1)п			пст'	a2	(III. 12)
	С =--------- 2 >---------			sin-----е	a2	(III. 12)
	ст		п	а
	п = 1
Это выражение дает мгновенное распределение концентра
ции	газа внутри сферы для любого момента времени t > 0.
Как и в предыдущем случае, оно не				имеет большого практичес

кого' смысла. Поэтому снова определим среднюю концентра цию. Для этого выделим тонкую сферическую оболочку

радиуса г и толщины dr (рис. 8). Её объём будет 4~r2dr. Так как концентрация в такой оболочке в силу свойств симметрии будет всюду одинаковой, то в ней будет содержаться коли чество газа равное 4кг2Сбг. Отсюда вытекает условие для оп

ределения средней концентрации:

				а
		4		Г	или
		3~стгС = 4п		r2Cdr	или
				о
—	3	а		nVDt	пст
—	3	Г	6С0 -г,-------------		пст
C = -,		rCdr =------- °>е		а	г sin-----dr
	а> J		стг		а
		о	п = 1		о
	В этом выражении под знак интеграла собраны все величи
ны,	зависящие от		г. Сам интеграл известен уже из предыду-
щего. Воспользовавшись его				значением — (	а2
щего. Воспользовавшись его				значением — (	— 1) п — , по

лучим окончательно:

00 n2K2Dt

— (Ш. 13>

П= 1

Механизм миграции газов

Для первого приближения имеем:

Tt2Dt

-6----------г

С~~2~ Сое «

Случай 3. Перейдем теперь к случаю диффузии, происхо^ дящей в плоскости и отсутствующей в перпендикулярном ей направлении. Это имеет место при резкой анизотропии и пло ской спайности материала. Типичным материалом такого вида

является слюда. Здесь очевидно удобно			рассмотреть задачу
в	плоской	полярной системе координат для пластинки радиуса
а	(рис. 9).	В основу положим уравнение	(III. 4.

Р и с. 9, К радиально-симметричной диффузии.

Пусть концентрация радиогенного газа в отдельных пло скостях в начальный момент времени t = 0 постоянна и равна Со. Концентрация газа в окружающем пространстве равна нулю в любой момент времени. В силу аксиальной симметрии концентрация в любом тонком концентрическом кольце будет

постоянной.		Сформулируем начальные и граничные условия
математически.
С = Со	при	0 < г < а в момент t = О
С = О	при	г О а в любой момент времени.

Применим, как и в случае плоской диффузии, перпендику лярной спайности, метод разделения переменных. Предполо жим, что решение уравнения (III. 4) имеет вид произведения

48 Механизм миграции газов

двух функций R(r) и Т(t), из которых первая зависит только от г, а вторая только от t:

C = R(r) -T(t)

Продифференцировав, подставим это выражение в (III. 4):

1	Т'	D	1
RT'= D (R"T + — R'T), или	I	= -5-(R/zH-	- R')
Г	I	r\	Г
Здесь мы видим снова, что левая	часть зависит		только от t,
а правая только от г. Это может		иметь место только тогда,

когда левая и правая части порознь равны некоей константе X2D. Система распадается на два обыкновенных дифферен циальных уравнения:

T' + k2DT = 0

R" + — R'4-X2R = O

Как известно, решением первого из этих двух уравнений является функция

— /.2Dt

X = Ge

Второе же уравнение не имеет простого решения. Оно яв ляется нелинейным дифференциальным уравнением Бесселя. Его решениями являются функции Бесселя первого вида ну

левого	порядка J0(Xr),	имеющиеся в таблицах специальных
функций (напр. [17]).		Следовательно,	частное решение
(III. 4)	будет иметь вид:

-VDt

С= Aj0(Xr)e

Аналогично плоскому случаю общее решение будет бесконеч ной суммой всех частных решений

ОО	—X2Dt
■V	—X2Dt
С =ZAm J0(Xr)e
m = l

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 215 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ