книги из ГПНТБ / Большие системы и управление
..pdfео
Для гамма-распределения
* Г { г + т ) |
(15) |
|
■г! Г(т) |
||
|
В последнем случае удобно пользоваться рекуррентной зависимо
стью: |
Л |
|
(16) |
|
т + ъ ~ 1 |
|
г |
(г= 1, 2 ,...)
Вслучае усеченного нормального распределения интеграла
(I)через элементарще функции не выражаются, и для их расчета было применено интегрирование по Гауссу с 16 узлами, Цри этом
верхний |
предел интегрирования |
|
заменялся на |
X -ь ^ |
~ ^ {1+ к к) |
|||||||||||||
В табл Л |
приводятся первые |
I I |
|
коэффициентов |
{ Д ^ д л я |
/с= |
0,5. |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 . |
РАСЧЕТ ФУНКЦИИ ЗАТРАТ |
|
|
|
|
|||||||
|
Подстановка |
вычисленных согласно рекомендации* пп. |
3 |
- 4 |
||||||||||||||
коэффициентов {д }в |
функцию |
|
(I) |
позволила |
проанализировать |
|||||||||||||
влияние |
|
высших моментов |
на |
величину ожидаемых затрат |
и вы |
|||||||||||||
бор |
оптимальных параметров |
у |
|
и |
q . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Рассмотрение |
графиков |
L(y)vi |
L ( y ) * |
показанных на рис.6 |
|||||||||||||
и 7, |
убеждает, |
что при |
одинаковых значениях |
средней |
задерж |
|||||||||||||
ки поставок |
X |
и |
коэффициенте |
вариации к положения оптиму- |
||||||||||||||
мов практически неизменны, а |
|
их |
абсолютные |
значения разнят |
||||||||||||||
ся несущественно. |
Рис.8 |
иллюстрирует близкое |
совпадение |
мини |
||||||||||||||
мальных |
затрат |
(при |
оптимальном выборе |
у |
и |
^ ) |
для разных |
|||||||||||
законов распределения |
в |
|
широком диапазоне |
коэффициентов ва |
||||||||||||||
риации |
|
от |
0 до |
I . |
В то |
же |
время он указывает на су |
|||||||||||
щественную |
зависимость достигаемого минимума |
от |
среднего |
|||||||||||||||
значения |
задержки |
поставок |
и |
|
коэффициента |
|
ее вариации. На |
|||||||||||
конец, рис. 9 подтверждает |
зависимость оптимальных параметров |
|||||||||||||||||
от коэффициента вариации. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
На |
|
основе |
результатов, |
полученных в п .5, можно сформули |
|||||||||||||
ровать |
следующие |
выводы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
I . |
Для аппроксимации статистического |
распределения задержки |
|||||||||||||||
61
Рис,6 , Графики L (и для равномерного ( I ) , усеченного нор, W ного (2) и гамма -распределений ( 7с = 2; к = 0 ,5 ;
поставок достаточно подобрать теоретическое распределение с те ми же средним значением и дисперсией.
2 . Из двухпараметрических распределений достаточно просто подбираются параметры равномерного и гамма-распределения. Для
62
этих распределений легко вычисляются и коэффициенты { А 3 . В связи с ограниченностью диапазона коэффициентов вари
ции,. допускаемых равномерным распределением, использование гам ма-распределения оказывается предпочтительным.
63
Рис.8* Влияние к, Х и вида распределения задержки поставок на минимум затрат ( у и q оптимальны)
Таким образом, для аппроксимации распределения задержки по ставок в задачах об управлении запасами целесообразно исполь зовать г а м м а - р а с п р е д е л е н и е .
64
Рис. 9
65
По-видимому, такой же вывод можно сделать и относительно аппроксимации распределения интервалов между требованиями в задачах с рекуррентным входящим потоком.
Можно предполагать, что высказанное утверждение окажется справедливым и в других задачах теории массового обслуживания, где критерием является математическое ожидание некоторой вели чины.
Рекомендация об использовании гамма-распределения получена на ограниченном числовом материале и не имеет строгого теорети ческого обоснования. Тем не менее возможность ее использования для практических задач представляется достаточно убедительной.
ЛИТЕРАТУРА
I . Р ы ж и к о в Ю.И., 0 задаче управления запасами для произвольно распределенной задержки поставок, "Известия АН
СССР, Техническая кибернетика , 1968, $ I .
2. Р ы ж и к о в Ю.И., К а л и н и н а Г.А ., Расчет пара метров усеченного нормального распределения по методу моментов,
Сб. Вопросы вычислительной техники и вычислительной математи ки , ЛЕЙКА им. А.Ф.Можайского, 1969.
66
|
Доктор |
технических наук |
|
||
|
Ю.И. РЫЖКОВ |
|
|
||
|
ЭШЕЛОНИРОВАНИЕ ВОССТАНАВЛИВАЕМОГО ЗИП |
|
|
||
Рассмотрим схему движения элементов ЗИП, изображенную на |
|||||
рис.10 в предположении, что все потоки пуассоновские. |
|
||||
Пусть |
у0 - запас в одиночном ЗИП, а |
уг - |
в групповом. |
Обо |
|
значим: |
|
|
|
|
|
Л р - |
интенсивность ремонта; |
|
|
|
|
Аг - |
интенсивность восполнения одиночного |
ЗИП |
за счет |
||
|
группового; |
|
|
|
|
п - |
вероятность наличия неполного комплекта одиночного |
||||
|
ЗИП; |
|
|
|
|
q - |
вероятность существования положительного |
запаса |
в |
||
Ггрупповом ЗИП;
а- вероятность наличия неисправных элементов в системе
?ремонта;
р- вероятность снижения одиночного ЗИП на величину х • Функцию затрат в единицу времени естественно определить
согласно формуле
|
|
L =5{пу0+ уг) + я п Ё (■х-у0) рх 1 |
(1) |
|
|
|
|
^=Уо^< |
|
где |
п - |
число комплектов одиночного ЗИП; |
|
|
|
S - |
стоимость хранения элемента ЗИП в единицу времени; |
||
|
ЗТ - |
цена штрафа за простой объекта в единицу времени. |
||
Весь исследуемый комплекс состоит из трех типов систем: |
||||
одиночного |
ЗИП ( |
/7 экзмепляров), группового ЗИП и системы ре |
||
монта |
(по |
одному |
экземпляру). Исследуем динамику |
каждой из них: |
|
67 |
s) О д и н о ч н ы й |
ЗИП |
Ро ~ ~ ^ Ро * Я г ^ г Р7 1
P x ~ ~ V Рх + \ * Рх ~1 * Я г ^ г Рх + 1
( х = л 2 , . . . ; .
Отсюда в стационарном режиме
|
р |
- |
1- |
— |
, |
|
|
^ |
“ |
' |
ЯГХГ |
|
|
б) С и с т е м а |
рх |
= р0 ( |
£ Г Х Г) |
(х =Ъ27: . ) ] { |
||
р е м о н т а |
|
J |
||||
&о —— |
|
+ Xр Gj 9 |
|
|
||
^х~~ ( |
* *^р) ^г"*" И п &Х-1 + |
^*х*7 |
||||
|
|
|
|
f x = |
; , 2 |
, . . . |
(2)
( 3)
(4)
Рис.10. Схеме движения восстанавливаемого ЗИП в эшелонированной системе
68
Из стационарных вероятностей ее состояний нас будет инте ресовать только
|
а 0 = 1- |
(5) |
в) Г р у п п о в о й |
ЗИП |
|
R o ~ ~ n -R r cl o R o + '^pcI p ^ i 9 |
|
|
= ~ ( П ' ^ г Я о * ^ р С1 р ) R X + ^ г Я о R X - 1 * ^ p Q p R X + 1 9 |
( 6) |
|
|
(jo — 7, 2 , . . . у у г ~ 1) |
|
R уj T ~ Яр Ryr + п ^ г Яо Ryr ~ 1 •
Для дальнейших выкладок необходима только вероятность пол ного исчерпания группового ЗИП:
л р Яр |
- / |
ЛАг Qo |
(7) |
R yr = ( Ьр Яр |
Уг+1 |
|
-1 |
Нетрудно видеть, что |
|
vO “О о II II
1 |
р |
— К |
|
|
‘ о |
~ |
-^г |
|
|
Яг |
|
1 |
|
Нп |
’ |
|
|
Л р |
(8)
(9)
“1 II |
1 |
(Ю) |
« « г '
Таким образом, величина q pопределяется независимо от про чих систем.
Из (8) можно получить
(II)
далее с помощью выражений (10) и (7) убеждаемся, что
Яо х г
69
откуда после несложных преобразований-следует итерационная
формула
1
_ Д р Чр |
( |
|
г ~~ н |
П Х Г |
( |
Яо^р |
_ |
|
\ |
п |
ч |
Рассмотрим способ выбора оптимального одиночного ЗИП. Счи тая штраф пропорциональным ожидаемой длине очереди, для суммы затрат в единицу времени в расчете на один объект имеем
^о(Уо) =sy0 + Ti£ {х-у0)Рх . |
(13) |
Ж=!/0+>
Можно показать, что
L0 (Уо + ’) = з(Уо+0 + я Е ( х - У о ) Ъ - я £ Ря -
я=у0+1
Записав аналогичное соотношение для L 0(y0-1)9 убеждаемся, что условия оптимальности одиночного ЗИП сводятся к неравен ствам
|
L0(yo + 1)- L0(y0) = s - X T . |
Рх * 0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Х =Уо+1 |
|
||
|
^о(Уо) |
- |
L (y0 - l ) = s |
|
- З Г Е |
Рх |
- о |
|
||
|
|
|
|
|
|
х =Уо |
|
|
||
или - |
в более компактной форме |
- |
к |
|
|
|
||||
|
|
|
|
S_ |
|
оо |
|
|
|
(14) |
|
|
L |
Я |
- |
Е |
Р- . |
|
|||
|
|
Jt |
|
|||||||
|
|
|
'ос |
|
*=Уо |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Обращаясь к формулам |
(3), |
имеем |
|
|
|
|||||
ею |
оо |
|
|
|
|
/ |
F |
\Уо |
1Уо |
|
|
\ Х |
|
|
\Яг |
|
г / |
/ у |
|||
|
|
|
}\ |
|
|
|
||||
|
|
|
Р Ш |
|
|
|
|
|||
х ~Уо |
х ~Уо |
|
■гл г / |
Г° |
|
7 _ |
Чг^г |
\Чг ^ г / |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, |
выражение |
(14) |
может быть |
переписано в виде |
||||||
Уо + 1 |
Уо |
|
Ч г * г |
Я |
Чг^г |