Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Большие системы и управление

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.10.2023

Размер:

11.27 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 218 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

			70
откуда оптимальный	y Q определяется как			целая часть
	У =	I		(15)
	У =

Найдем более удобное выражение для функции затрат. Очевидно,
оо		оо		оо
Т. {х-у)Р^, =Р0 Т. x v - уР0 £ S)
х=у + г		х=у+г		х=5+;
U	• Применяя формулу суммы членов арифметико
где	• Применяя формулу суммы членов арифметико
геометрической прогрессии		[ i ] ,	для первой суммы имеем выраже
ние
S' _ P ° 7-v>		^	+1 + Г Т )

Вторая сумма - обычная геометрическая прогрессия:

,У+1

Алгебраически	сложив эти результаты,					получаем
			,	У +1
	S1	S Z - Р0	(7.
Поскольку Р =	I- \) ,	окончательно			имеем выражение
			/	Р		\ У + ’
		_	\ Ч г	*	г )	(16)
х = у +1	1-V		1 -
х = у +1			1 -		Яг
					Яг
которое должно подставляться в (13) или в ( I ) .
Условием справедливости всех произведенных выкладок явля
ются:	[Д
	Яг*г
	н п					(17)
						(17)

п Х г С10

Ар fyp <=1.

Анализ и оптимизация модели должны выполняться в следующем порядке:

I . По формуле (9) найти ц .

				71
2.	Задаться величиной		у г .
3.	Выбрать начальное	значение			q n из условия
						(18)
4.	Итерационным счетом		по формуле (12) получить y Qo тре
буемой точностью.
5.	Согласно формуле	(II)		вычислить
6.	Найти оптимальный		у0 по формуле (15).
7.	С помощью формул	(16)		и (I)	определить общие расходы.
8.	Повторить расчет для нескольких значений					у г и графически
(или направленным перебором)				найти	окончательное	решение.

Предложенная методика без труда обобщается на случай много канальной системы ремонта. Пусть число таких каналов равно т , причем интенсивность восстановления на каждом равна Л р . Тогда стационарное распределение вероятностей системы ремонта дается формулами

к	п - /
+
( т - 1 ) !	( т Х р - \ х п )
( л ~ 1 121	■)• • •1 т ) 1

Полная интенсивность восстановления равна:

нулю при		х	-	О,
Х Х	р ПРИ	X	=	1,2,..., / 7 7 - 1 ,
/77	Лр при	х = т, т + / 7 . . .
Следовательно,				средняя интенсивность потока восстановлений

Остальные этапы вычислений это изменение не затрагивает.

	ЛИТЕРАТУРА
I . Р ы ж и к	И.М., Г р а д ш т е	й‘и	И.Ф.,	Таблицы ин
тегралов, сумм,	рядов и произведений,	Физматгиз,		1962.

Доктор технических наук Ю.И. РЬШИКОВ

РАСЧЕТ СПРОСА НА ЗАПАСНЫЕ ЧАСТИ ДЛЯ РЕЗЕРВИРОВАННЫХ СИСТЕМ

Резервирование технических систем по существу эквивалентно введению в них встроенного запаса, который расходуется и время от времени восполняется в процессе эксплуатации* Внешним про явлением выхода из строя резервных элементов с точки зрения теории запасов является с п р о с на запасные элементы, на блюдаемый только в моменты контроля исправности системы. Харак теристики спроса, определяются тремя факторами;

-типом резерва ("холодный" или "горячий");

-глубиной контроля (полный или частичный);

-организацией контроля (периодический или непрерывный), которые могут,сочетаться в различных комбинациях.

Рассмотрим влияние каждого из них порознь.

		I . Тип резерва
	Тип резерва определяет фактическую (в отличие от в н		е ш-
н е	проявляемого спроса) скорость расхода резервных элементов.
При	х о л о д н о м	резерве эта скорость постоянна и не	за

висит от начального состояния системы. При экспоненциальном за коне распределения времени наработки на отказ вероятность сни

жения числа резервных элементов на х			единиц за время t состав
ляет
рх	-У*	( х -	0 , 1 , . . . , к +1),	(I)
рх	х !			(I)

где к - кратность резервирования,

На основе этих результатов легко получаются формулы для вероятностей переходов между состояниями системы за время t

а) для холодного резерва

при

* ч =0

г И*

73
Скорость исчерпания г о р я ч е г о	резерва в каждый

момент времени пропорциональна числу работоспособных элементов. Динамика изменения резерва в этом случае описывается схемой "гибели" с дифференциальными уравнениями

P0 (t) = - \i( k + l) P0 (jt),
Px (t) = - p(k + 1 - x )	Px (t) + [i(k + Z- x)Px .,			(t) i
	( x	=1, 2	, . .	( 2)
	( x	=1, 2	, . .	. ,k),
h . i (t) = ? p K ( t ) ’
имеющими решения вида
( к * 1)1	-(/с + 7-л?;ц*		-ut	jc
	e	(f - e r )
px ( t ) = x ! (k+ i - х ) !				(3)
	( x = 0,7,	. . . ,	k + j).

Для расчета вероятностей удобно воспользоваться рекуррент ными соотношениями

r , ( t )			И*
Р, <t! --	k + Z - x	,	И*	- о
Р, <t! --	— =- - -	С е		- о
	( х =	1, 2,		, к+ }).

% i , i = в		.	.		. ,
	u i	.	.		. ,
чЪ	чь _ г -Ц-	j = c 4 ,	L+zf ...,		k+f
б) для горячего резерва		(t = 0, и .		к+	1).
б) для горячего резерва
J сL’J	0 при	I
n i,l	11xt
n i,l	= *
71;i,i	J			г,...,к+1
	J	(£= 0,7,		, к+1)
		(£= 0,7,		, к+1)

(4)

(5)

(в)

		2. Глубина контроля
Под глубиной		контроля здесь понимается степень его полноты,
которую мы будем рассматривать в двух			вариантах.		Назовем	п о л
н ы м	контролем	поэлементную проверку	системы,	а	ч а с т и ч
н ы м	- проверку на функционирование		системы	в целом.		При

полном контроле выявляемый в момент проверки спрос равен числу отказавших элементов. При частичном контроле спрос равен нулю, если система в целом исправна, и числу отказавших элементов, если неисправна.

3. Организация контроля

Непрерывный контроль приводит к тому, что момент предъяв ления спроса на запасный элемент (несколько элементов) совпа дает с моментом отказа очередного элемента или системы в целом. При периодическом контроле спрос накапливается в течение перио да и предъявляется в момент очередной проверки.

4. Некоторые комплексные варианты

Сочетание перечисленных факторов порождает специфические способы расчета спроса. Так, при непрерывном и полном контроле поток требований совпадает с потоком отказов: для холодного ре зерва это будет пуассоновский поток с интенсивностью р ,~а для горячего - с интенсивностью (к + I) р . Ограничение полноты контроля при сохранении его непрерывности существенно меняет структуру потока требований. При холодном резерве поток "проре живается” и становится эрланговским (к + . 1)-го порядка с группо выми требованиями объема (к + I ) . При горячем резерве имеем ре куррентный поток с временем между последовательными групповыми требованиями, определяемым временем расходования ( к+ I) эле мента в схеме "гибели" . Очевидно, что в этом случае плотность распределения интервала между последовательными требованиями есть

[см. формулу (3)J, откуда

f(t ) =	г	Н* \ к	е	- и *	(7)
	(к + l) [л (/- е	^ )

(в предположении, что 1/|д значительно больше времени замены). При полном периодическом контроле спрос за период t в точ

ности равен расходу элементов за тот же срок и для холодного резерва распределен согласно выражению ( I), а для горячего ре зерва - в соответствии с формулой (3).

Наиболее сложен для расчета случай частичного периодическо го контроля. При этом расход элементов за период подсчитывается так же, как и в предыдущем варианте, но восполнение производит ся лишь при снижении резерва до уровня, обнаруживаемого систе мой контроля. Естественно, что вероятность этого события зави сит от начального запаса. Распределение спроса за период, сле довательно, будет определяться стационарным распределением на чального запаса.

Обозначим:

у- максимальный запас;

у- пороговый уровень, достижение которого обнаруживает ся системой контроля; стационарная вероятность начального состояния запа

	са	ъ { ъ ~ О, X, . . . , Y);
L’£	вероятность изменения запаса за период от уровня					L
L’£	до	уровня ^ .	а	Л		а
Запас	ъ	к началу очередного периода для	ъ - у + 7, у +
может образоваться в двух случаях:
а) к началу предыдущего периода был запас, дменьший					или
равный у , так что запас восполнили до уровня У ; в течение
периода запас изменился с Y до Y- ъ , т .е . спрос составил						ъ
единиц;
б) к началу предыдущего периода был запас			х ^	ъ *	так	что

восполнение не производилось; в течение периода запас изменил

ся с х	до	ъ .
Для	ъ =	0,1, . . . , у	первый случай аналогичен, а второй
допускаетначальный запас			х = у + 1, у■-+2 , . . . , Y .
Суммируя вероятности			соответствующих событий и считая рас

пределение вероятностей начальных состояний независящим от но мера периода, приходим к системе уравнений

А	Л	Л
У	Y	Л

Рг К У , У - г \| / * +	( г = у > 1, у +г , .	л	(8)
	( г = у > 1, у +г , .		(8)
У	Y		>
	х = г / + 7

0 = 0 , / , . . - У ) -

Рис.11. Вероятности реализаций спроса при пуассоновском потоке требований {:£,<} и для резервированной системы с неполным пе

риодическим контролем { # * } ( < / = 2, Y = 5)

В частности, при холодном резерве J tx ^ = ft (х- ъ) » и си стема (8) переходит в систему

Уу

Р_ = 5г (■г) £ Р- + £ К ( х - г ) Р х

®	^ • О	/Г —*3
		( г = у + 1, у + 2 , . . . , Y ) ,				(9)
	*/	у				(9)
	*/	у
Ръ = 5Т( 7) Е /^ + Е Лf t { ос - ъ ) Рх
	Х-0	X- у+1
		(г = 0, 1 , . . у ).
Полученные системы уравнений являются линейными относитель-
н 0{^}* в пРактических ситуациях имеют малую размерность						и лег
ко могут быть решены на ЭВМ.
Распределение спроса Q за			период имеет		следующий вид:
у
г=у +i
	( г =У- у		,	Y - y + 1,..., Y),		(Ю)
	( г =У- у		,	Y - y + 1,..., Y),
РУ-
Q - О		U = 1,г		, Y- у 1) .
На р и с .II	приведены графики			штриховые линии		и
^сплошные для диапазона				р £ = 0,2	2,0 и мажоритарной
схемы с у = 2,	Y = 5	(система работает, если			исправны не	менее

трех элементов). Обращает на себя внимание значительное расхож

дение между вероятностями	и	во всем исследованном диа
пазоне. Принятие зг = Q2 ( ъ=	0,1 ,	. . . , Y ) , эквивалентное	в
нашем случае предположению о полноте		контроля, существенно иска
жает распределение потребности в запасных частях за период			и
может привести к грубым просчетам в определении необходимого
ЗИП.

Р А З Д Е Л Ш ЗАДАЧИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСОВ В БОЛЫШХ СИСТЕМАХ

Доктор технических наук, профессор В.И. ЧЕРНЕЦКИЙ,

кандидат технических наук

^ Н З .С . СОБОЛЕВ,

ИЛЯДНПГЙна

МАТаДАТИЧВСКИЕ МЕТОДЫ ра сп ре:намодаI РЕСУРСОВ

В различных областях человеческой деятельности часто воз никают задачи оптимального распределения сил и средств* Любую из этих задач в конечном счете можно свести к следующей.

Пусть имеется п работ и п рабочих групп (или производ ственных агрегатов)*, Пусть с i • - производительность труда ра бочей группы при выполнении работы J * Требуется распределить рабочие группы по работам так, чтобы достигалась максимальная

производительность труда*		найти
Математически эту задачу можно сформулировать так:		найти
матрицу Х= \|\|<г [\| , L = 1,2, . . . , п ;	J = 1,2, ... ,	п	I»
если L-я группа назначена на работу j	• х ч я 0 в противном

случае), удовлетворяющую следующим условиям

%	л т	- условию максимальной суьшар-
1) С	= max Е Е	- условию максимальной суьшар-
	{А} 1 - 1 ^ *	*

ной производительности труда;

2)	п		I	(	,	п )	-	условию полной занято-
2)	Е х--=		I	(	i = 1,2,..*,	п )	-	условию полной занято-
	« И	L*
сти всех групп работами;
3)	Е	x . s	I	(	i = 1 ,2 , * .* ,	п )	-	условию обязательного
	l=i	Я

выполнения всех работ.

Заметам, что общее число возможных различных вариантов пла нов распределения (матриц X , удовлетворяющих второму и третье му условиям), равно п! .

Бели перебрать все п t планов, вычисляя для них величину

	п	п
	С = X -	£	i j JClj,	ч
	i=7	i=i	*
то можно выбрать оптимальный план,			т.е.	план, для которого ве
личина	С наибольшая*)• Однако даже в случае не очень больших
величин	С при таком способе действий необходимо проделать гро

мадную вычислительную работу, а при достаточно больших С , что обычно, встречается в приложениях, объем работы возрастает до таких размеров, что на существующих электронно-вычислительных машинах ее возможно было бы выполнить лишь за десятки и сотни лет непрерывной работы. Именно поэтому возникает необходимость применения методов организованного поиска оптимальных планов.

Известные методы организованного поиска оптимальных планов могут быть условно разделены на два типа:

1. Методы решения транспортной задачи. Эти методы являются производными от симплекс-метода.

2, Венгерский метод.

Несмотря на то, что указанные методы существенно сокращают время поиска, они имеют ряд недостатков. Так, для большинства известных методов не найдены простые и удобные алгоритмы для проведения вычислений на ЦВМ. Кроме того, даже при применении этих методов время решения отдельных задач часто во много раз превышает допустимое.

В связи е этим был разработан также ряд методов приближен ного решения рассматриваемой задачи. К ним относятся метод ап проксимации Фогеля и др. Основные достоинства этой группы ме тодов - возможность еще более значительного сокращения време ни вычислений. Главными недостатками этих методов являются от сутствие уверенности получения оптимального плана и невозмож ность оценки степени отличия полученного плана от оптимального. Кроме того, большинство предложенных методов не имеет никакого математического обоснования.

х) В данной работе, за исключением ее последней часта, под оптимальным решением (планом) подразумевается решение, для ко торого величина С максимальна.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 218 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ