книги из ГПНТБ / Большие системы и управление
..pdf
|
200 |
|
|
|
|
Если ввести в рассмотрение соотношения |
|
||||
dm-, |
dm у. |
dm 2- |
ir: |
||
dt Vi |
d t |
un |
d t |
||
|
|||||
то уравнение (I) можно записать в |
виде |
|
|
dl?i |
r e . rt , |
mi ¥ ~ Fl t F i + ctt
n)
?v.p (2)
^ »
где |
— - - |
эффективный секундный "расход” I -й точки; |
||
|
dt |
|
|
|
\уг= |
|
эффективная относительная скорость "отделения" |
||
L |
|
материальных частиц от |
с -й точки; |
|
|
а - - |
эффективная абсолютная скорость "отделения" мате |
||
|
|
риальных частиц |
от 6-й |
точки; |
|
- |
то же, что и в |
( I ) . |
|
Уравнения (2) выгодноотличаются от уравнений (I) - они проще по форме записи, хорошо изучены и в то же время удовлет воряют всем запросам практики*
В дальнейшем при изложении будем использовать уравнения (2). Допустим, что на рассматриваемую выше механическую систе
му переменной массы наложены голономные идеальные связи. Урав нения (2) в этом случае примут вид:
т; |
ЕЕ. - |
+ |
+ EEL 7yr |
+ RL |
i |
(3) |
|
' L ' 'L |
V-r |
|
|||
1a t |
dt " i |
|
|
|
( i - I, 2, . . . , n) f
где /?• - равнодействующая сил реакций, действующих на с -ю точку. Так как все связи идеальные, то будет иметь место сле дующее равенство:
|
Е |
=0. |
(4) |
|
1=1 |
|
|
Здесь |
- возможное перемещение |
i -й |
точки. |
Разрешая каждое из уравнений (3) относительно /?* , а за тем подставляя их в (4), получим
£( |
(5) |
|
|
|
201 |
|
где |
|
dmi - r |
|
|
- |
|
|
|
P- = |
U'r . |
|
|
* |
1 |
|
Перепишем выражение (5) следующим образом: |
|||
Е |
d ( - \ F e |
Б ^ m'L Г у |
SF- = 0 . |
1= 1 |
|
|
|
Так как |
|
|
|
|
<1 |
я - |
|
|
« |
8 r i = s n |
> |
то
где
s г = 5 Е f mi y f *
l = i
(6)
(7)
( 8)
(9)
Подставив |
(8) |
в |
(6), |
умножив результат |
на |
и проинтегри |
||||
ровав по ^ |
в |
пределах |
от |
£=£0до t = t 1 , |
получим |
|
||||
|
—р |
|
п |
— |
п dm- |
|
|
( Ю ) |
||
б Т + |
FL 8г; + Е Р,8г- + Е ттг У; 8 Г: ) Cf t |
= 0. |
||||||||
|
||||||||||
1=1 |
|
1 |
L |
i=, |
I |
I ;=, |
О |
|
|
Выражение (10) является принципом Остроградского - Гамиль тона для механических систем переменной массы.
Получим из него дифференциальные уравнения движения для рассматриваемой механической системы в форме уравнений Лагран жа второго рода и канонические уравнения Гамильтона. Пусть она
имеет s степеней свободы, a ^ ( J = I , 2 , |
s ) - лагранже- |
вы координаты. Тогда |
|
= / , 2 7 • . . |
/7 j ^ = / , 2 , . . . 7 s J |
|
|
|
|
202 |
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
б г • = Е р д q-t |
|
(II) |
||||
|
|
1 |
H i |
Н |
|
|
|
Перепишем уравнение |
(10), |
учитывая выражения |
(9) и (7): |
||||
Г ( е / 7 7 £ ^ - ~ 8г- + Е F* 6 г- + Е Р 8 г - + Е |
гл б г О < У £ = 0 . |
||||||
J Vi=i 1 4 ctt |
1 ы L |
1 |
ы |
l |
L |
z |
4/ |
*0 |
|
|
|
|
|
|
|
Затем, взяв интеграл от |
первой суммы по частям и заменив б г - |
||||||
согласно ( I I ) , |
получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 12) |
Здесь
% = Е |
^ |
е р |
и |
)p = £ p . ~ i |
' & |
L |
H i |
|
|
являются обобщенными силами.
Запишем сумму выражения (12) в виде
Д (1щ dr-L d Д - d r ; А - d [ дгЛ Д - др;
Ет. л - ц - л £ тл т К - £ т‘
Учитывая, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дгь |
и |
Лд |
- Д |
( dh |
| |
получим |
|
|
|
д% |
|
H i |
d t '\ H i J |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
d |
( § L |
) _ |
дТ |
d r * |
(13) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
~ dt |
1 |
|
H i " |
H i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
7- |
Д |
ml Vi |
- кинетическая |
энергия |
системы; |
|||
Г = |
|
— ~ |
203
Т*= у Y, кинетическая энергия переносного движения "отделяющихся" материальных ча стиц.
Подставим (13) в (12):
откуда, |
в |
силу |
произвольности независимых величин 6 ^(< j = |
I, |
||||
2, . . . , |
s |
), непосредственно и следуют уравнения Лагранжа вто |
||||||
рого рода: |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
d |
( дТ |
\ |
дТ |
р |
дт* |
|
|
|
^ |
|
|
д ^ ~ |
i + i + |
dqj ’ |
(15) |
|
|
|
|
Q |
= >’ 2, |
• • • , « ) |
|
|
Перейдем к выводу канонических уравнений Гамильтона из прин |
||||||||
ципа Остроградского - |
Гамильтона. Пусть |
|
|
|||||
|
|
|
|
* |
= - £ * |
- |
|
( к ) |
*d 4i
•Г |
d j f |
(17) |
Условие (16) справедливо для класса консервативных сил, а |
||
выполнения (17) можно добиться (так как |
Р L- зависит только от t)$ |
|
например, построив функцию |
|
|
ПР= Е Р; 8 Г; .
Введем в рассмотрение функцию Лагранжа
L= Г - П - П Р.
Вэтом случае принципу Остроградского - Гамильтона можно при дать вид
I |
д'ч- 4 )d*=0- |
(18) |
|
Затем введем в рассмотрение функцию Гамильтона
204
(19)
H= t P i b ~ L ’
<И> 4 ^
где p = 3L_ _
J " < V
Подставляя L из (19) в (18), заш сав
E R Si i=i «
и интегрируя по частям первое слагаемое правой части этого ра венства, получим
^ Г ? |
/ /1А/ |
- |
л г* \ |
« |
s / |
ни |
d t = 0, |
|
J |
£ |
L O L - p . t L ' |
|
дн |
||||
|
|
' |
дя.■и |
|
Е Л |
д Ъ |
|
откуда непосредственно следуют канонические уравнения Гамиль тона
• |
a |
w |
. а _ |
aw |
|
<эг* |
Ъ ~ |
dPj |
’ |
v |
а % |
а< ^ * |
(20) |
(i = i , 2 , . . . , s )
В заключение отметим, что из принципа Остроградского - Га мильтона методом, изложенным в работе [ i l , могут быть получены
дифференциальные уравнения движения механических систем пере менной мэссы в конкретно выбранных системах координат.
|
ЛИТЕРАТУРА |
|
I , |
С е м е н о в А.П., Об одном методе составления дифф |
|
ренциальных уравнений движения |
сложных механических систем, |
|
Труды ЛВИКА им. А.Ф.Можайского |
, вып.477, 1965. |
205
|
|
|
|
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
|
||
О методах анализа и синтеза больших систем, |
|
3 |
||||||
Р а з д е л |
I . |
Информационные модели больших систем |
|
|||||
1. |
Ч е р н е ц к и й |
В . И . |
- Принципы управления и |
7 |
||||
руководства комплексными разработками.......................... . . . |
. . . . |
|||||||
2. |
Ч е р н е ц к и й |
В . И ., Б а к у р а д з е |
ДЛВ. - |
|
||||
Модель информационной динамики сложной системы управления |
13 |
|||||||
с иерархической структурой |
.......................................................... |
|
|
|
||||
3. |
Б о р о д и н |
С.М. |
- |
Оценка сложности систем |
и |
26 |
||
процессов.................................... |
|
. |
.............................................................. |
|
|
|
||
4. Ч е р н е ц к и й В.И., |
М о н о г а р о в И.Ф. - |
31 |
||||||
О методах оценки эффективности ........................больших систем |
|
|||||||
Р а з д е л |
П. Управление |
запасами в больших системах |
|
|||||
1. |
Р ы ж и к о в |
Ю.И. - |
Об экономическом подходе |
39 |
||||
к оценке функционирования .......... .................больших систем |
•. |
|||||||
2. |
Р ы ж и к о в |
Ю.И. |
- |
Выбор оптимального ЗИП |
в |
43 |
||
случае |
приоритетной |
организации ..................... |
восстановления |
|
||||
3. |
Р ы ж и к о в |
Ю.И. |
- |
0 |
выборе распределения |
за |
|
|
держки поставок в задачах экономичного управления запа |
55 |
|||||||
сами....................................... |
|
|
..................................................................... . |
|
|
|
|
|
4. |
Р ы ж и к о в |
Ю.И. |
- |
Эшелонирование восстанавли |
|
|||
ваемого ЗИП................................................. |
|
............................................ . |
|
|
|
|
о б |
|
5 . |
Р ы ж и к о в |
Ю.И. |
- Расчет спроса на запасные |
72 |
||||
части для резервированных ............................ ...................... |
систем |
|
Ра з д е л Ш. Задачи распределения ресурсов
вбольших системах
I. Ч е р н е ц к и й |
В.И., С о б о л е в Ю.С., |
|
М о н о г а р о в |
И.Ф. - |
Математические'методы распре |
деления ресурсов |
.................................................................... |
78 |
|
|
|
206 |
|
|
|
|
2. |
Г р и г о р ь е в а |
Л.И. - 0 выборе критерия в |
101 |
||||
задачах |
планирования перевозок.................................................... |
|
|
|
|||
3. Г р и г о р ь е в , а Л.И ., |
А н т о н о в ВА - |
106 |
|||||
Методы отыскания всевозможных путей на сети........................ |
|
||||||
4 . |
Г р и г о р ь е в а |
Л.И. - Математическое опи |
|
||||
сание транспортной задачи по критерию "Минимум потерь |
115 |
||||||
груза в пути при доставке |
в заданные сроки"........................ |
|
|||||
5. |
Г р и г о р ь е в а |
Л.Р. - Транспортная задача |
|
||||
по критерию стоимости с учетом пропускной способности |
139 |
||||||
участков и узлов....................................................... |
|
|
|
. . . |
. ................ |
||
6 . |
Г р и г о р ь е в а |
Л.И. - Стохастический ме |
143 |
||||
тод решения задачи коммивояжера............................................... |
|
|
. |
||||
7 . Р ы ш к о в Ю.П., |
С м о л и ц к и й |
Х Л . - |
|
||||
Представимость процесса обслуживания вложенной цепы) |
160 |
||||||
М аркова.... ................... |
|
|
|
|
|
||
|
Р а з д е л |
1У. |
Некоторые вопросы |
теории |
|
||
|
автоматического |
управления |
|
|
|||
1. |
П о т а п е н к о |
А.А. - |
0 |
возможности автоном |
169 |
||
ного демпфирования инерциальных |
навигационных си стем .... |
||||||
2. |
П о т а п е н к о |
А.А. - |
0 |
пружинном устройст |
175 |
||
ве гирогоризонткомпаса |
|
|
|
|
|||
3. С о б о л е в |
Ю. С . - Об |
учете одного класса воз |
183 |
||||
мущений, действующих на системы |
управления......................... |
|
|||||
4. |
С е м е н о в |
А.П. |
- Анализ влияния принудитель |
|
|||
ного вращения карданова подвеса свободного гироскопа на |
192 |
||||||
его динамику.............................. |
|
|
|
|
|
||
5 . С е м е н о в |
А.П. |
- К теории движения тел пере |
199 |
||||
менной массы................... |
|
|
|
|
|