книги из ГПНТБ / Большие системы и управление

т*е. описанная процедура повторяется. Через конечное число ша­ гов приходим к оптимальному плану.

143

Кандидат технических наук О . ГРИГОРЬЕВА

СТОХАСТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОММИВОЯЖЕРА

Задача коммивояжера формулируется следующим образом# Имеет­ ся п пунктов (городов) и задана матрица || || = 7 , 2 , . . л) кратчайших расстояний между каждой парой пунктов. Коммивояжер должен посетить каждый пункт и вернуться в исходный таким об­ разом, чтобы путь (порядок посещения пунктов) имел минимальную общую протяженность. Задача имеет многочисленные приложения в

компонент, если заданы времена (или стоимости) переходов для всевозможных упорядоченных пар компонент при равных частотах осмотров (задача выбора оптимального маршрута передвижения ре­ монтной бригады) [25];

-составление учебных планов и отыскание оптимальной после­ довательности предметов обучения;

-инспектирование;

-оптимизация, возникающая в программировании (минимизация числа передач управления [13]).

Приведенный перечень задач, разумеется, не является исчер­

пывающим.

Задаче коммивояжера уделяется большое внимание как в зару­ бежной, так и в отечественной научно-технической литературе

них не должен проходить через начальную точку. Произвольная

мум, выражению (I) соответствует гамильтонов контур кратчайшей длины. Для нахождения целочисленных решений по г ц можно ис­ пользовать алгоритм Гомори |17, 18]. Однако этот метод неудо­ бен в практике вычислений и обладает неопределенностыо [19]. Так, для многих задач оптимальное решение не удается получить даже после многих тысяч операций, в то время как другие реша­ лись за несколько десятков операций.

Приложение к реальным задачам целочисленных моделей сви­ детельствует об их малой эффективности. Практика расчетов по­ казывает, как следует из работы [18], что большинство числен­ ных экспериментов, связанных с решением целочисленной задачи линейного программирования, эквивалентной задачи коммивояжера, оказывались неудачными. Кроме того, методы целочисленного ли­ нейного программирования представляют известные трудности при расчетах. Применение же общих методов линейного программирова­ ния приводит к тому, что в большинстве случаев они дают дроб­ ные решения. Округление результатов полученных нецелочисленных решений до ближайших целых чисел часто не только уводит от оп­ тимального целочисленного решения, но может вывести за пределы допустимых решений. Поэтому прием округления можно рекомендо­ вать лишь для практических задач, у которых компоненты решения достаточно велики. Если компоненты невелики (в особенности, ес­ ли переменные могут принимать лишь значения 0 и I , как в рас­ сматриваемой задаче), то такой подход недопустим*

Рассмотрим подход к построению оптимального решения задачи коммивояжера с позиций динамического программирования [15] .В осно-

^ о ’фл{‘о})= "НП [гкмк+/к-тО>фЛ'о><(})]'

алгоритм решения задачи коммивояжера методом динамического про­ граммирования в общем виде.

Практические расчеты [15]] показывают, что метод динамиче­ ского программирования обладает большой трудоемкостью, быстро возрастающей с ростом числа пунктов. Кроме того, предъявляются жесткие требования к общему объему памяти при реализации на ЦВМ*

Поэтому в настоящее время ведутся разработки [22] построения эффективных алгоритмов решения задачи коммивояжера. Хорошие ре­ зультаты получаются при использовании метода случайного поиска. При применении случайного поиска не накладывается ограничений

149

на целевую функцию, поэтому метод практически применим к реше­ нию любых задач оптимизации. Значительно снижаются по сравне­ нию с другими методами требования к объему памяти при реализа­ ции на ЦВМ. Программы просты с преобладанием логических опера­ ций (что увеличивает среднее быстродействие машины при реали­ зации метода). Однако, чтобы получить решение с любой наперед заданной точностно, необходимо провести значительное число ис­ пытаний, что часто служит серьезным препятствием для примене­ ния метода. Тем не менее метод случайного поиска успешно при­ меняется к решению многих задач. Рассмотрим применение его к получению решения задачи коммивояжера. Остановимся вначале на случае, когда информация об исходных данных для построения ап­ риорного распределения не задается. Считается, что из начального пункта в любой другой пункт можно попасть с одинаковой вероят­

(Г7)

) = V- аь1рь(!\, + аЬ<’>Ь:

S L - 2 L ь-М Л L 0

Затем производится следующее испытание и результаты срав­ ниваются. Оставляется маршрут обхода того испытания, которое доставляет выражению (17) меньшее значение. Число испытаний считается заданным заранее. После проведения N испытаний полу­ чаем некоторый маршрут у*(Л^и его протяженность ) , что

с некоторой вероятностью, зависящей от А/ # является оптималь­ ным решением задачи коммивояжера.

Заметим, что вблизи случайной выборки, соответствующей не­ которому маршруту, можно организовать поиск локального миниму­ ма детермированнш путем, организуя некоторые перестановки эле­

десятичной системы счисления в двоичную., На рис.27 и 28 обозна-