книги из ГПНТБ / Большие системы и управление
..pdf40
мера. В частности, затраты времени могут быть сведены к упущен ной за это время "выгоде” в широком смысле слова, а численность
персонала - |
к расходам на его подготовку и содержание. |
С другой |
стороны, в целевую функцию должен входить полез |
ный эффект от работы системы при заданной сумме затрат.В прак тике исследования операций широко используются критерии типа отношения эффекта к затратам, избавляющие от необходимости при ведения последних к общей мере. Такие критерии приводят к мак симальному выигрышу на единицу затрат. Однако при этом упуска ется возможность дальнейшего увеличения абсолютного выигрыша за счет дальнейшего роста затрат, хотя и с меньшей относитель ной эффективное тыо.
Более удачными представляются критерии, в которых эффект функционирования выражается в стоимостной мере и сопоставля ется с затратами на его достижение. К сожалению, "общая нечет кость постановки эконсалических вопросов привела к тому, что и
вобласти технической кибернетики вопросам учета экономических факторов долгое время не уделялось необходимого внимания" ( [i] , CTp.IOl). В настоящее время все большее число исследователей убеждается в том, что "для современных сложных систем (являгощихоя обычно многофункциональными или многоцелевыми) не всегда применимы общепринятые в теории надежности критерии. Основной упор в данном, направлении научных работ должен быть сделан на изучении конкретных особенностей отдельных систем и построении
вкаждом случае своего частного критерия оптимальности, который целесообразно формулировать на основании экономических сообра жений" (там же, стр .68).
Возможным вариантом такого критерия является разность между стоимостным выражением эффекта и затратами, которую нужно сде лать максимальной. Однако общеизвестна трудность отыскания де нежного эквивалента нормального функционирования системы. На против, ущерб от снижения качества ее работы относительно но
минального |
("штраф") |
сравнительно легко выражается в деньгах |
и сводится |
к подсчету |
стоимости мероприятий по восстановлению |
Нормальной работы системы (экстренные поставки материалов и оборудования, вызов аварийных бригад, сверхурочные работы) плюс упущенная за время восстановления "выгода". В результате мы при ходим к целевой функции, представляющей собой сумму затрат на создание и эксплуатацию системы и "штрафов" за снижение каче ства ее функционирования относительно номинального (или макси мального достижимого).
41
Дополнительным достоинством данного критерия является то, что сумма штрафов, по-видимому, может быть определена с боль шей точностью, чем выигрыш от нормального функционирования.
Это повышает чувствительность критерия и позволяет более точно выбрать оптимальный уровень затрат.
Из существующих математических методов исследования опера ций сформулированный критерий наиболее давно, решительно и по
следовательно реализуется |
т е о р и е й |
у п р а в л е н и й ' |
|
з а п а с а м и |
[ 2 ,3 j . |
Предметом теории |
управления запасами |
является отыскание такой |
организации поставок, при которой сум |
||
марные затраты на хранение запаса, его восполнение и "штрафы" за неполную (несвоевременную) обеспеченность потребителей ми нимальны. Характерная черта этой теории - устойчивость крите рия качества решения и широкое привлечение расчетных методов из-смежных областей исследований операций - линейного програм мирования, динамического программирования, теории массового об служивания. Заметим, кстати, что задачи управления запасами обогатили теорию массового обслуживания рядом новых постановок, а динамическое программирование обязано им своим возникнове нием.
Проблемы оптимального управления запасами теснейшим обра
зом связаны с |
задачами операционной деятельности больших си |
|
стем. В работе |
[i] |
приведен перечень таких задач: |
1. Собственно управление запасами. |
||
2. Планирование |
проведения сложных комплексов операций. |
|
3. Поддержание работоспособности системы. |
||
4. Наилучшее использование ресурсов. |
||
5. Управление перевозками и потоками информации.
6 . Совершенствование структуры.
7. Выбор вариантов при проектировании.
8. Минимизация простоев.
9. Выбор решений в конфликтных ситуациях..
10.Управление распределением.
11.Организация труда и зарплаты.
Из |
этих задач |
по |
крайней мере |
семь (I - 4, |
8, 10, I I) |
до |
пускают использование критерия указанного выше |
типа в явной |
|||||
форме. |
При этом I, |
4 |
и 10-я задачи |
прямо формулируются как |
про |
|
блемы управления |
запасами, 3-я |
и 8-я непосредственно примыкают |
|
к ним с точки |
зрения обеспечения материалами и ремонтными сред |
||
ствами, а 11- |
я - |
с точки зрения |
подготовки и найма кадров. На |
42
конец, решение задач управления запасами дает исходные данные для планирования перевозок и расчета потоков информации по снабжению (5 -я задача).
Отмеченные обстоятельства позволяют надеяться на широкое применение идей (структуры критерия) и расчетных методов теории управления запасами в самых различных областях теории и практи ки больших систем.
Изложенное выше позволяет сделать следующие выводы:
1. Оценка качества функционирования большой системы требует сопоставления полезного эффекта с затраченными средствами.
2. Наиболее удобным критерием качества является сумма за трат на создание и эксплуатацию системы и "штрафов” за неидеальность ее работы.
3. Ввиду сходства названного критерия с используемым в мате матической теории управления запасами следует ожидать продук тивного применения методов последней при исследовании самых различных систем и сторон их деятельности,
ЛИТЕРАТУРА
1. Техническая кибернетика. Проблемы управления и информа ции (вопросы советской науки). "Наука", 1966.
2. Х э н с с м е н Ф., Применение математических методов в управлении производством и запасами (перевод с английского), "Прогресс", 1966.
3. |
Б у к а |
н Дж., К е н и г с б е р г |
Э., |
Научное управ |
ление |
запасами |
(перевод с английского), "Наука", |
1967. |
|
43
Доктор технических наук Ю.И. РЫЖИКОВ
ВЫБОР ОПТИМАЛЬНОГО ЗИП В СЛУЧАЕ ПРИОРИТЕТНОЙ ОРГАНИЗАЦИИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ
В настоящей статье предлагается метод выбора оптимального многономенклатурного ЗИП для ЭВМ в случае, когда элементы ЗИП, запас по которым исчерпан, восстанавливаются в первую очередь.
|
|
|
I . ПОСТАНОВКА |
ЗАДАЧИ |
|
|
|
|
|
В статье [i] |
было показано, что оптимальный размер |
</* за |
|||||
паса резервных ячеек для ЭВМ должен выбираться из условия |
||||||||
|
|
|
- |
1 Г |
~ ру* . |
|
|
(!) |
где |
s - |
стоимость хранения |
элемента данного |
вида |
1в |
единицу |
||
|
зт - |
цена простоя агрегата |
|
|
j времени; |
|||
|
Рх - вероятность снижения текущего запаса на х |
|
||||||
|
|
единиц ( х = 0,1, |
. . . ) . |
|
|
|
||
|
При расчете |
вероятностей {Я*} |
в работах |
[ i ] и |
[2 ] |
пред |
||
полагалось, что восстановление ячеек осуществляется в порядке общей очереди.
Поскольку штраф за простой агрегата выплачивается при не достаче элементов любого типа, очевидна экономическая целесо образность введения экстренного восстановления по типам ячеек, резервы которых исчерпаны. Если считать, что вероятности дефи цита по различным ячейкам приблизительно равны между собой и достаточно малы, чтобы пренебречь их произведениями, то введе ние приоритетного восстановления не изменит методику и резуль таты анализа системы р е м о н т а , а систему з а п а с а
44
по каждой номенклатуре вновь можно будет анализировать неза висимо*
В данной статье предлагается методика определения вероятно стей состояний система запаса с учетом первоочередного восста новления дефицитных ячеек*
2. ВЫВОД РАСЧЕТНЫХ СООТНОШЕНИЙ
Рассмотрим методику такого анализа для одного из типов яче ек. Обозначим:
ух - интенсивность пуассоновского потока отказов; ср(£) - плотность распределения времени ремонта ячейки дан
ного вида с учетом общей очереди;
f( t)~ плотность распределения времени чистого ремонта элемента данного вида;
ф ( £ д - соответствующие дополнительные интегральные функ-
F ( t ) J ции.
Предположим, что экстренное восстановление начинается при снижении запаса ячеек данного типа до нуля (более высокие по роговые уровни ослабляют справедливость сделанных выше допу щений). Будем характеризовать состояние системы снижением х текущего запаса относительно максимального и временем X нахож дения в нем. При этом динамика системы запасов может быть опи
сана диаграммой, |
приведенной в статье |
[2] , но вероятности окон |
чания ремонта для |
состояний (х,Х) при |
у претерпевают сущест |
венные изменения, |
так как связаны с другой функцией распределе |
|
ния. Проводя рассуждения, аналогичные |
сделанным в статье [2 ], |
|
можно получить для вероятностей P^(t) и плотностей вероятностей состояний системы на момент t + A t систему разностных
t+м |
Ф(т)~Ф(х+ At) |
tft + ОШ), |
|
P0(t+&t)=P0(i)(l-\iAt)+$ |
^ ----- |
|
|
О |
|
|
|
р,(£ + Д£,'с + At) = p1( t, et) (l-p&t) ^ |
+ 0Ш)> |
7(2). |
|
p J t + A t r ^ A i ^ p J i r i i h p A i ) + ? x - № VA t * - ^ + m ) ,
(х=г,з,...,у-1)
45
?ft+At,z+At)^t,r)(i- |
Ф(с+а) |
|
+py4(t)X)pAt™ |
^ l +Q(Ai); |
|
р1( ^ Д ^ т +д*)=рх ( ^ ( ; - и Л 4 ) ^ ^ + £ г ^ , г ) р Д |
4 ^ ^ + 0 (Д ^ K2> |
|
|
(x = y+1, y-hZ,...,R-1) |
|
pR(t+Дt ,T +A t) = f> It, Z)pAt
Обозначим
P*(.t,z)
Ф(т)
рх (£’ т)
Px ( t ’V
v ( x )
FiT+A t) + Q ( A t ) .
F f r )
( x = / , z , . . . , y - i ) ,
(3)
( x = i/, y + l , . . . , R ) ,
$(*£•) |
(4) |
■ F ( r ) |
' |
Перегруппировав члены в системе (2), после элементарных преобразований имеем
P0(i + At) - P0 (t)
|
A t |
= - LlR(t) + I D /t.77)—:--- |
|
At |
|
" |
A t |
0 (At) |
---------------- = ~ V P , ( t , t ) + A{. |
px (t + At,Z + At) - p x (t,Z)
At |
= - p p x ( t , t ) ^ P x - ; ( ^ ) + ^ |
’ |
( x = 2 , 3 , . . . , J / - / , y+1,..., R~l)
Py (i + A t,‘t+ A tb p s (£ ,‘C.)
At |
РРу( ^ ) + р}у-М^)1}(г)+ °-^~t, |
|
|
|
|
pRlt*At,Z + A t ) - f R(t,X) |
^ |
0(ht) |
-------------- At--------------- |
= F P « - ,( ^ ) + д* * |
|
Устремив At к нулю, а £ - к бесконечности, для стационар- * ных плотностей и вероятностей состояний получаем систему ин- тегро-дифференциальных уравнений
46
оо
О = - ц Р 0 + J р ,( г ) <? ( z ) d ei
dfift) |
_ _ |
^ |
’ |
|
|
||
$ |
Г |
= |
~ |
|
|
||
? ! |
| ^ |
= - |
и ? |
;вс с ) + ц р * - | ( ‘1:)» |
(5) |
||
|
|
{x = 2,3,...,y-1,y+Uy+2,...,R-l), |
|
||||
|
|
= - Н Ру ( т ) + И р у » W « W , |
|
||||
d.?R (%) = |
up |
Ccj. |
|
|
|||
tf'c |
|
r r A- t v |
7 |
|
|
||
Решая эти уравнения, начиная |
с р у ( f ) |
, имеем |
|||||
р * М = « " р т 1 < 5 |
U r i J /* |
|
|
||||
|
|
|
<и |
|
|
|
|
Перепишем уравнение |
для р ^ (т ,)в |
виде |
|
||||
+ Н Р / г ) = ИРу-г (* ) V с е ) .
Это уравнение является линейным, и его общий интеграл находит ся согласно формуле
|
|
- f a d l |
Jppy_7(^J ir(z)e |
frd4 |
|
Ру & ) = е |
dz + Cy = |
||||
= е |
|
|
у-1 |
(ит ) |
|
|
|
^ ^ |
а ^ + |
||
|
K V " ? C,' ( У - 1 - 4 ) ! |
УА |
|||
г у -'1 |
‘ |
„-» |
|
, — * ( * ) < * * + ся |
|
- е |
|
И J Е с; |
|
||
|
|
<»=’ |
|
|
|
Для всех |
последующих состояний |
|
|||
рх (ъ) = е |
^ |
Рд;..; |
(х = </+ U y+2,...,R-1). |
||
В частности,
47
y-i |
(uz)^ |
(J f £ |
C: ------------ y(rjrfT+C, d Z + C y+i( |
- Д \|Ч Я тЙ ? |
|
• |
|||
|
& 1 |
|
|
|
|
Продолжая последовательные подстановки, |
убеждаемся, |
что |
|||
P . W ' |
|
|
(Иг ) |
ОС+ 1~у |
|
|
|
|
I Z |
+ |
|
|
|
|
х* г-у |
|
|
+ £ Ci |
(х-i)! |
I |
(х = у, у + 1 ,. . . , R-1) . |
(7) |
|
|
|
||||
А-У |
*' J |
|
|
|
|
Для упрощения полученной зависимости применим формулу Ко |
|||||
ши ([3] , стрв154-156), |
|
согласно которой |
|
|
|
] / • • - f f ^ d x n = L0 ,
Вг , нашем случае
J J . . |
. J (^ Г ~ |
x Qx 0 |
jcq (у- i - j ) ! |
у |
’ |
jc+ 1-у
Обозначим
] ( х - ъ ) п V ( z j c f 2 .
х'у т ) ' ^
7 7 j f r - * ) с т ' * ' * »
(х-у)!
(9)
Теперь уравнение (7) может быть записано в более компактной форме:
- / , - pz |
У~1 |
х |
С: |
~ |
Т Г |
|
px(tj = e |
ЕС;Л |
(г) + £ |
( Ю ) |
|||
|
;=, |
x ’<f w J7V |
(*-<)).' |
|
||
|
|
j=v |
|
|
|
|
|
|
(x |
= y, |
y + 1, ... , |
R-1) |
|
Найдем выражение для р Л (z) . Очевидно,
48
Pr (?) = P J Pr-i W d z + CR =
■s -и * 2;' J , . *-i-y
|
^ |
, , |
— т е " и |
crt |
+ c - . |
|
|
|
j V |
Jo |
( a - W ) . ' |
|
|
|
(II ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Двойной интеграл, |
входящий в формулу |
( I I ) , |
может быть све |
|||
ден |
к однократному: |
|
|
|
|
|
|
|
г)*~"У f — |
»(%)didt = |
^ |
у-J~j |
ц(и+г) R-i-y |
||
f J |
j ^ ) ^ |
р |
(° % ' d u d i z |
||||
о о |
|
(у-Н)! |
о |
W -0 |
|
||
Здесь внутренний интеграл является табличным |[4_(,
и равен
. (R~1-У )! J . - М(^- г)Я^ |
У СИ(г_ а3' |
I |
|
7,= —«ту— 1 7 -е |
L |
П |
(• |
|
<г° |
У |
|
К такому же табличному интегралу сводится и второй интеграл из формулы ( II ): .
№ * ) " , v |
е |
„ -И ‘ |
, |
= |
_ |
У\ |
• |
п _ г iL _ i------- |
^ d t |
|
------------- |
||||
U* - 3( R- l- i) ! |
|
|
|
|
Н |
Ь о к[ |
|
Таким образом, соотношение |
(II) преобразуется в |
||||||
у -1 и у ~ы |
|
? -и'г |
, У -1 - i l . |
-мС^- г) ^ О(о- г)]*) Аг/ |
|||
b it 16 |
|
т>г |
Ь |
£ |
|||
,т *-т |
|
*-’V ( ^ ) |
|
- e ' l“ E c |
j E |
т г |
|
• |
* |
Г £ |
A! |
i=y |
|
к-0 |
|
*с , - R
(12)
49
Объединение формул (6), (10) и (12) дает систему уравнений для условных плотностей вероятностей.
Перейдем к расчету вероятностей состояний. Обозначим |
|
|||||||
|
ОО |
%Ъ |
|
|
(. |
|
|
|
/Ц = |
J |
( р г ) |
- |
е |
|
(ъ = 0, |
( |
13) |
■у [ |
tf W d z |
|||||||
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
B % s J |
S |
^ |
e- ^ |
H z ) d z |
(%=0,l,...)f |
(14) |
||
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
С О |
г - |
|
|
|
|
|
|
|
HX)j = J |
e |
V ''hx j |
|
(Г) |
f ('С)оГ'(Г |
(х = y,y+1,...,R-1),( 15) |
||
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
•у ' ^ |
- -ц г |
|
У-г-^Г |
£ “ |
г !Л-116’ |
|||
|
|
|
|
|
V' |
|||
Поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
| р х (г)Ф (г)с/г |
|
( х = 1, г , . . . , у - 1), |
|
|
||||
г* = < |
|
|
|
|
|
|
|
(17) |
F^ dr |
|
= y + l , . . . , R ) |
|
|
||||
ОО |
|
|
|
|||||
J Рх |
|
|
|
|||||
искомые вероятности могут быть выражены через постоянные интег
рирования и характеристические коэффициенты |
»{в^}и |
-{д |в |
|
•*v |
|
|
|
н Е Cf (/- Е aJ |
( х - 1, 2, ... , у |
1)> |
|
/с=о |
|
|
|
&=£ Е сД/- Е вк) + Е |
я*,; (х=у, у+1,..., r -1), ^ |
(is) |
|
Ря = с ^ ~
Здесь х - математическое ожидание чистого времени ремонта ячей ки данного типа.