книги из ГПНТБ / Большие системы и управление

181

Непосредственно

из первого

уравнения системы

(8)

и уравнения

(13)

видно,

что

начальные

tfp

и

d*p

зависят

значения —

——-

eft

t=t0

o t

t = t0

от

( t 0)

$ а

так как коэффициенты в

уравнении

(18) при лю-

.

-

не зависят

от

о

,

.то можем утверждать,

бом постоянном

о

со^

что если при этом момент

N определить равенством (6),

а

/У7~

равенством

( I I ) ,

то координата

р

на

промежутке \_t09

не

за­

висит от закона

изменения

oojj

из

Л

, но зависит от соу

( t 0)

Это

значит,

что

в рассматриваемом случае при любом постоянном

b

малые колебания гирорамы

около невозмущенного движения не

зависят

от

закона

изменения

соу на

интервале

[ t 0,

t7)t

а

за­

висят лишь от значения соу

(t 0)

. Заметим, что известный закон

образования момента N согласно равенству (5) совпадает с точ­

ностью до малых второго порядка

относительно

6 = е, ~е° с

зако­

ном,

определяемым равенством

(6),

если

положить 6 = —Цг

и вос-

пользоваться выражениями

(4)

и

( I I ) ,

ибо в

этом

mlR

случае

..

4-Б sine°cose

~

c o s

2 s .

N = --------------- г --------- о

ml R

m l R

Если оо°ф0

в интервале

но

удовлетворяет

урав-

нению,1)

соо d zU°z _

1+ZmlRb (

(М )

ъ d t z

7 + mlRb \

то, умножая первое уравнение системы

(8),

а

также

уравнения

(12) и (13) на соответствующие

определители

и

проводя

аналогичные

преобразования,

получим линейное дифференциальное

уравнение 3-го поредка относительно

р

, которое

можно

запи­

сать

в

виде

^

Интегрирование уравнения

(19)

подстановкой

= */(со£)

сводится к интегрированию линейного неоднородного уоавнения

1-го

порядка

/+

Z m l R b

i

2

-------------

2(1+ m l R b )

/+

ml Rb

fl

182

р

< 4

0

0

“ 5

0

р

0 % % 0 + т т )

3

о

mlR {HmlRb)

3 ._о

3

3 о

3

р

аг ссу

а3

а г

извольной на интервале [ £ 0 ,

функции сo \ ( t ) , непрерывной

2. Г л

е б о в Е.П., П о т а п е н к о

А.А., Некоторые

вопросы теории

гирогоризонткомпаса, "Известия ВУЗов, Приборо­

строение",

т.У

1, % 4, 1963.

185

Система координат

0хр ур ър жестко скреплена с качающимся

основанием,

9кр-

орты этой системы.

Система

Ох У9

- абсолютная система координат. На­

стабилизируемой массы. Получена из системы

Охрур ^поворотом

на угол

вокруг оси 0ур.

I f

орты системы Ох1у1г 1 . Оси

0ур и 0у1 совпа­

дают.

Рис.42. Системы координат 0 x f y? 2.? к

Система

О х у ъ

(рис.41) жестко связана со стабилизируе­

мой массой,

одновременно являющейся внутренней рамой подвеса.

Ось

Ох совпадает

с ее продольной

осью. Система Оху г получена

из

системы

Oxj у1г 1путем поворота

вокруг оси

Оъ^на угол oi ♦

Положение системы

Ох у г

относительно системы

0 л^Удг^ харак­

теризуется

углами

S , б

и

(рис.43).

b - c o s e c o s 8 c o s t f coscp +sin e s

i n

+ c o s e sin ficosi?' s in cp.

При нахождении стабилизируемой массы в кардановом

подвесе

рассматриваемого типа, кроме углов

о/,

р , по которым

произво­

кость, перпендикулярная продольной оси устройстве,не

стабили­

зирована. Такой координатой является угол

р -

угол абсолют­

ного поворота перпендикулярной плоскости вокруг

оси & г , назы­

ваемой обычно углом скручивания:

р = a r c t g

c o s p c o s t f ' s i n j ' - s i n p s i n i ? '

cosdcosfrcosj'-sLnoicospsLntf-slndsLnp cos ftsinfl'*

Найдем

ol 7 f> • Абсолютная угловая скорость поворота внутрен­

него

карданова колызд

сды определяется равенством

соы =

со + со1,

(2)

где

со

-

абсолютная угловая скорость

поворота

основания.В ра­

боте

[ i ]

приведены формулы, связывающие

проекции со

с

углами

<рДгг:

_

“

= соо * 1р +ш0Ур1р + О>0грк р ,

.

.

.

if +

1

(

3 )

со0Хр= у +

<х>оур=

( f c o s t f c o s у-, г

co0 x

= ‘i S ' c o s y -

c ^ c o s 'd 's l n j T ,

а з 1-

угловая скорость поворота

стабилизируемой массы от-

носительно

основания,

обусловленная действием механических

связей:

co0ir= p s l n o t ;

~ Р c o s d ;

со’^ г = o l .

(4)

Из уравнения (2)

очевидно,

что для

того

чтобы плоскость

проекции вектора

соы на оси 0у и 0 г

были равны нулю.

Спроектируем равенство (2) на оси

Ох , Оу и Оъ. Проек­

ции на эти оси с

учетом матрицы ||£ || имеют вид:

мента, действующих по осям 0yj9 0 z; ,

стабилизируемой массы в

самом общем виде. При этом будем считать

оси О х , Оу, Oz

вну­

треннего карданова кольца,

а

также

оси

0 x f 9 0yJ70zfpQмы подве­

са главными центральными осями инерции.

Составим выражение для кинетической энергии

Т

стабилизи­

руемой массы вместе с рамой подвеса:

Т = | - | л ( с о 0х+ psLnot)^

pcosQ/^2^ С(co0z+6t)V

+ а о 4 с ; + в(а>0д + р)2+ с ш ог j

,

где А, В, С -

главные центральные моменты инерции внутреннего

карданова кольца (стабилизируемой массы) относи­

тельно

осей 0xv 0yj9 OZj

соответственно;

а, $ , с

-

главные центральные моменты инерции рамы карда­

нова

подвеса

относительно

осей

0 х )9 0у]9 OZj

со­

ответственно.

Угловые

скорости

а)~

, соЛ/, , сол« выражаются формулами:

uccj

uyj

utj

^ o y r ^ o y ^ \

(9)

^ s i

n

p

+ COo, pC0S

p.

Воспользуемся уравнениями Лагранжа 2-го рода. Обобщенными

координатами являются & и

р .

Дифференцируя равенства (5) и (9),

получим:

дсо Ох

со

доооу __

^

д&оъ __ dcOozj

1 ь Г

~ " 0301 ’

ар -

~ “ а р "

= “ л у

°у ’

> ( Ю )

д&осс

e o s d

додои

доо0х

дойои

------- = -<ол

------k

a f

l f

, = 0 *

^

c o s d ’ ~ J f

=c0^ stnd’

Инерционный момент,

действующий по оси 0 г.

,

равен

4(<Л0г + с1)

■(В-А)

(со0х-*- psind)(w

+pcosoi)(i:i:)

" о г Г

С

dt

Инерционный момент,

действующий по оси

0у1

,

равен: