книги из ГПНТБ / Березанцев В.Г. Расчет прочности оснований сооружений

Из этой формулы следует, что давление, при котором «неустой­ чивые» области только начинают зарождаться в виде двух то­

Формула (25), принадлежащая Н. П. Пузыревскому, дает величину так называемого совершенно безопасного давления.

Во всех остальных формулах, полученных из выражения

(24) или подобных ему (формулы И. В. Яропольского, С. П. Ше-

ляпина, Н. Н. Маслова и др.), задается некоторая произвольная

глубина распространения «неустойчивых» зон; определенное для заданной глубины давление рх считается в той или иной сте­ пени критическим. Так, например, формула И. В. Яропольского

формулой С. П. Шеляпина [45], соответствует моменту перво­

начального касания «неустойчивых» зон на оси ох (значение Хтах получается близким при этом к принятому И. В. Ярополь­ ским). Выражение же (24) дает формулу Н. Н. Маслова [20]

при Xmax = big'-o, что предполагает ограничение распространения

«неустойчивых» зон только за пределами области, находящей­

ся под фундаментом между вертикальными плоскостями, про­ веденными через краевые точки фундамента (рис. 19).

Давления, полученные при слиянии «неустойчивых» зон на оси ох, рекомендуется считать предельными по условию проч­ ности основания. Определяемое формулой Н. Н. Маслова дав­ ление предлагается принимать за допускаемое.

Последовательность развития «неустойчивых» зон не только при допущении гидростатического закона распределения напря­ жений от собственного веса грунта, но и при различных значе­

М. И. Горбуновым-Посадовым.

М. И. Горбунов-Посадов исследовал также влияние жестко­ сти фундамента на форму «неустойчивых» зон. *

Все указанные предложения по определению предельного состояния основания с помощью зависимостей теории линейнодеформируемой среды имеют следующий общий недостаток. Очертание так называемых «неустойчивых» зон нельзя считать определенным правильно, поскольку метод построения границы

* М. И. Горбунов-Посадов, Пластические деформации в грунте под жестким фундаментом, Сб. НИИ оснований и фундаментов, вып. 13, Машстройиздат, 1949.

31

их базируется на произвольном допущении линейной зависимо­

сти между деформациями и напряжениями, тогда как наличие «неустойчивых» зон исключает возможность существования та­ кой зависимости. Очевидно, что погрешность в построении зон возрастает с увеличением их объема, ввиду чего предельное состояние, определенное по той или иной степени развития та­ ких «неустойчивых» зон, не может считаться достоверно уста­

новленным.

Указанное основное противоречие между исходным допуще­ нием и методикой расчета проявляется в том, что условие пре­ дельного равновесия, т. е. равенство касательного напряжения

Предложение

ILВЯропольского

Рис. 19

и сопротивления грунта сдвигу, существует только на границе

«неустойчивых» областей; внутри этих областей касательное на­ пряжение превышает величину сопротивления сдвигу. Таким образом, получается, что внутри рассматриваемых областей предельное состояние грунта оказывается превзойденным. Очер­ тание поверхностей скольжения и характер взаимодействия «не­ устойчивых» областей с окружающими устойчивыми областями грунта не могут быть установлены.

Поскольку критерий достижения предельного состояния в данных методах является весьма неопределенным и в принципе определения этого критерия имеются допущения, вызывающие

32

серьезные возражения, вряд ли целесообразно рекомендовать для расчетов прочности оснований методы, основанные на ис­ пользовании теории линейно-деформируемой среды.

§ 7. Основы теории предельного равновесия для грунтов, обладающих внутренним трением и сцеплением

или только внутренним трением

Выше было показано, что для установления предельного по прочности состояния основания необходимо рассматривать пре­ дельное равновесие грунта. В некоторых случаях области пре­ дельного равновесия распространяются до поверхности грунта и охватывают значительную зону под подошвой фундамента, в

других случаях эти области взаимодействуют с областями уплотнения. Состояние предельного .равновесия предполагает наличие в каждой точке области условия равенства касатель­ ного напряжения, действующего по площадке скольжения, ве­

личине суммарного сопротивления грунта сдвигу (3) на той же

площадке. При этом условие предельного равновесия опреде­ ляет также положение площадок скольжения, т. е. позволяет найти очертание поверхностей скольжения, которое не может

задаваться произвольно.

Кёттер [16] впервые составил дифференциальные уравнения предельного равновесия грунтов для случая плоской задачи. Решение уравнений позволяет определить предельное напря­ женное состояние и очертание линий скольжения. Однако общего метода решения этих уравнений дано не было. Первона­ чально оказались решенными только частные задачи предель­ ного равновесия основания, в которых не учитывался собствен­ ный вес грунта, являющийся объемной силой. При наличии'

объемных сил в уравнениях Кёттера исключается возможность получения. решения в замкнутой форме во всех случаях, кроме случаев простейшего предельного напряженного' состояния (при прямолинейных линиях скольжения), рассмотренного еще Реп­ киным [32]. Решение для упомянутого частного случая при вер­

тикальной нагрузке было получено Прандтлем [31] в виде:

схемы составляются из трех частей: в пределах треугольной

области I — линии скольжения представляют собою отрезки прямых, наклоненных к вертикали под углом ------ (про­

стейшее предельное напряженное состояние), в секторе II — отрезки логарифмических спиралей, имеющих полюс в краевой точке фундамента, и уравнение r=cets,f (другое семейство

линий скольжения представляет собою радиусы—векторы спи­

ралей), в треугольной области III—отрезки прямых, накло-

В. И. Новоторцев [261 развил решение Прандтля на случай наклонного давления также для «невесомого» основания. Нали-

пользующие очертание линий скольжения, полученное без учета собственного веса грунта в виде объемной силы. Эти методы обычно учитывают вес грунта в сдвигаемых областях различ­

ными приближенными приемами без изменения вида принятых линий скольжения.

К. Терцаги [37] полу­ чил таким путем’формулу для предельного верти­

кального центрального

давления под жесткими малозаглубленными фун­

даментами с учетом об­

наклоненные к подошве фундамента под углом ф (рис. 22).

Формула имеет вид:

для прямоугольных фундаментов

(27)

. ля квадратных фундаментов

Рк = Р (1,ЗгАс + ^hNq -J- 0,4iWVT),

где Рп и PY—полная предельная нагрузка на фундамент, Nc, Pq и —расчетные коэффициенты, определяемые по

графикам в зависимости от ® (рис. 22).

А. Како и Ж. Керизель [14], также исходя из решения Прандтля, при другой форме уплотненного клина под фунда­

34

ментом получили для условий плоской задачи и несвязного грунта формулу в виде:

ментов, полученных при решении задач для «невесомого» осно­ вания (отрезки прямых и логарифмических спиралей), Г. Мей­ ергоф [21], [22] вывел формулы для определения предельного

-давления под фундаментами, имеющими различное заглубле­ ние, центральную, внецентренную и наклонную нагрузки. Для песчаных оснований и центральной нагрузки в условиях плоской задачи формула Г. Мейергофа имеет следующий вид:

Входящий в формулу коэффициент, вычисленный Г. Мейер­ гофом [22], приводится на графиках (рис. 23).

Известны также способы П. Д. Евдокимова [12] и Г. А. Ду­ брова [11], основанные на использовании очертания линий скольдкения, полученного для «невесомого» грунта.

пряжений получаются в результате решения дифференциальных уравнений .предельного равновесия, выводимых на основании условия (3), характеризующего физико-механические свойства грунта, и уравнений .статики.

Таким образом, только с появлением уравнений Кёттера по-

•становка задачи об определении предельной (по условию проч­ ности) нагрузки на основание стала строгой. Для того чтобы получить строгие решения поставленной задачи, потребовалось разработать общий метод интегрирования уравнений. Такой об­ щий метод решения дифференциальных уравнений предельного равновесия для случая плоской деформации был разработан и применен к разнообразным задачам теории предельного рав­

С появлением работ В. В. Соколовского различные задачи

;36

о предельном •равновесии грунтов были действительно объеди­ нены стройной теорией, которая в настоящее время является1

базой расчетов прочности грунтов.

Ниже рассматриваются основы методики определения пре­ дельного давления на основания для случая плоской задачи (по' В. В. Соколовскому [36]) и 'Случая осесимметричной задач» (по- В. Г. Березанцеву [53]).

Плоская задача теории предельного равновесия

Воспользуемся прямоугольной системой координат хоу и? направим ось ох по направлению действия собственного веса

грунтам Положительными будем считать напряжения, имеющие направления, показанные на рис. 24. Как известно [38], условия:

статики дают для элементарного параллелепипеда два уравне­ ния равновесия в напряжениях. Для наиболее часто встречаю­ щегося случая, когда объемный вес грунта является единствен­ ной объемной силой, эти уравнения имеют вид:

дх "т" ду

(30?

I д^у

дх ду

Присоединим к ним условие предельного равновесия в форме

(18):

Данные три уравнения с тремя неизвестными для каждых кон-

которые Од., ау и выражаются следующими формулами:

Формулы (31) составлены на основании общих зависимостей

(4) таким образом, чтобы условие предельного равновесия (18) было удовлетворено. Действительно, если выражения (31) подставить в (18), то получится тождество.

После внесения выражения (31) в уравнения (30) послед­

ние дают основную систему уравнений предельного равновесия:

Рис. 24

sin ( 9— р), затем на sin (9 + р), а второго —сначала на —cos (9 —р), затем на —cos (9 + р), ив сложении полученных пар уравнений, после введения новых переменных g и р, основная си­ стема приводится к виду:

38

Здесь'

мерность напряжения, которая может быть выбрана равной, например, 1 т/м2 или 1 кг/см2.

Известными в теории дифференциальных уравнений прие­ мами нетрудно показать [36], что' уравнения (33) имеют два раз­ личных семейства характеристик (см. § 2), совпадающих с ли­

ниями скольжения и определяемых следующими уравнениями:

В. В. Соколовский показал, что полученные уравнения в

общем случае следует решать численным методом., заменяя

отыскание функций, определяющих напряженное состояние и форму линий скольжения, последовательным приближенным 'вычислением значений этих функций в точках пересечения ли­ ний скольжения различных семейств, проведенных достаточно близко друг от друга.

Для этого необходимо привести уравнения характеристик к так называемому каноническому виду, приняв сетку характери­ стик за криволинейную систему координат на плоскости ху.

Если обозначить а = а(х, у) и р==р(х, у)—уравнения пер­ вого и второго семейства характеристик, то каноническая систе­ ма будет иметь вид (по [36]):

39

вычислить Л, тух, у в каждой последующей точке (являющейся пересечением линий скольжения, проведенных через две близ­ кие точки, в которых уже известны значения этих величин) по­ лучаются следующим способом. Обозначим точку, -в которой должны -быть определены i, д], х, у, двойным -индексом k, I. Эта точка находится на пересечении линии скольжения первого се­ мейства, -проведенной через точку с индексом k, I—1, -с линией скольжения -второго семейства, -проведенной -через точку k—1,-/.

Известны значения:

Замена частны-х производных -в уравнениях (36) соответствую­

Ук-1, 1~Ук, 1-1 + хк, Z-1 tg (°k, Z-l+H-)—;tg (6fe-l, l-p)

*g Z-1 + Iх) ~■ *g (fyi—1, I — P-) ’

(37)

ak i-i и *b k_i i вычисляются по выражениям (3-5) п-ри подставке -в них величин с соответствующими индексами. Переход от по­

давления под фундаментом и построения сетки линий скольже­ ния в основании с помощью формул (37). Пусть на горизон­ тальной плоскости, -проведеиной на уровне подошвы -фундамен­ та шириной b имеется вертикальная равномерно распределен­ ная пригрузка интенсивностью q (от веса грунта в пределах глубины заложения малозаглубленного фундамента); давление фундамента на грунт ввиду наличия горизонтальных сил от­ клонено от вертикали -на угол 8. Указанных граничных условий

достаточно для того, чтобы построить сетку линий скольжения и определить ординаты эпюры предельного давления. Физико-

механические характеристики грунта основания у, <? и с изве­

стны.

Исходными для вычислений являются точки, расположенные на поверхности (вне фундамента), на которой действует при-

40