книги из ГПНТБ / Бирюков Н.Е. Основы электронной вычислительной техники

§8. к о д ы ДВОИЧНЫХ ЧИСЕЛ

ВЭЦВМ схемы, реализующие операцию сложения, получаются гораздо проще и компактнее схем, выполняющих операцию вычи­ тания. Поэтому обычно в цифровых машинах применяются только схемы сложения, а операцию вычитания заменяют сложением со­ ответствующих кодов чисел.

Вцифровых вычислительных машинах различными кодами изображаются только двоичные числа, выраженные правильными дробями. Применяются следующие коды чисел: прямой, обратный, дополнительный, обратный модифицированный и дополнительный модифнцированиый.

Прямой код используют при умножении н делении, а осталь­ ные— для замены операции вычитания операцией сложения.

Изображения положительных чисел совпадают во всех кодах, а изображения отрицательных чисел в обратном и дополнительном кодах, а также в их модификациях —- различны.

Таким образом, прямой код двоичного числа совпадает по изо­ бражению с записью самого числа, но в разряде знака стоит 0 или 1 соответственно для положительного пли отрицательного числа.

Обратный код. Обратный код числа х обозначается (х)0бр. Обратный код положительного числа совпадает с его прямым ко­ дом. Поэтому, если х > 0, то (х) 0бр = (х) Г1„ = х.

Для отрицательного числа обратный код получается но сле­ дующему правилу: в знаковый разряд числа вписывается единица, а в цифровых разрядах пули заменяются единицами, а единицы — нулями.

Дополнительный код. Дополнительный код числа х обозна­ чается (х)доп. При х > 0; (х) доп = (х)пр = х, т. е. дополнительный код положительного числа совпадает с его прямым кодом.

Дополнительный код отрицательного числа получается по сле­ дующему правилу. В знаковый разряд числа вписывается единица,

20

а во всех цифровых разрядах нули заменяются единицами, а еди­

Пример.

jc= —0,101011; (х)дои= 1,010100 + 0,000001 = 1,010101.

Дополнительный код отрицательного двоичного числа есть до­ полнение этого числа до двух (10 в двоичной системе), т. е.

(*)дои=10 + *- Если х = - 0,101011, то (х) чоп= 10—0,101011 = = 1,010101.

При сложении дополнительных кодов по соответствующим пра­ вилам в машине получают дополнительный код суммы.

Модифицированный обратный код. Модифицированный обрат­ ный код х обозначается (х)”б . Правильные двоичные дроби пере­

водятся в модифицированный обратный код по правилам, которые применяются для перевода в обратный код. Отличие лишь в том, что в модифицированном обратном коде па изображение знака отводятся два разряда.

Модифицированный дополнительный код. Число х в модифици­ рованном дополнительном коде обозначается (х)“011. Числа пере­

водятся в этот код так же, как и в дополнительный, но на изобра­ жения знака отводятся два разряда.

Пример.

х= 0,101011; (jc)"on = 00,101011.

*= —0,101011; (х) дОП= 11,010101.

§9. СЛОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ В МАШИНАХ

1.Сложение чисел в машинах с фиксированной запятой

Вмашинах с фиксированной запятой числа складываются в од­ ном из рассмотренных выше кодов. При сложении обязательно должно выполняться условие, чтобы каждое из слагаемых и их

сумма были меньше единицы.

1) Сложение чисел в дополнительном коде

Числа в дополнительном коде складываются поразрядно, при­ чем знаковые разряды складываются как разряды целых чисел. Особенность сложения дополнительных кодов заключается в том, что единица переноса, образующаяся при сложении знаковых раз­ рядов, отбрасывается.

21

Данный случай не выявляет особенностей сложения в дополни­ тельном коде, потому что слагаемые положительны, н их изобра­ жения в дополнительном и прямом кодах совпадают,

Единица переноса, получившаяся в разрезе целых чисел после сложения в дополнительном коде, отбрасывается,

Сложение чисел в дополнительном коде дает сумму чисел в до­ полнительном коде, если полученная сумма отрицательная.

2) Сложение чисел в обратном коде

Обратные коды чисел складываются так же, как и дополнитель­ ные коды, поразрядно, причем знаковые разряды складываются как разряды целых чисел. Особенность сложения обратных кодов состоит в том, что если получается единица переноса из знакового разряда, она прибавляется к младшему разряду суммы кодов, т. е. осуществляется так называемый циклический перенос:

а) х > 0; у > 0; х+г/ > 0.

Так как слагаемые положительны, то изображения их в обрат­ ном и прямом кодах совпадают;

б) х > 0; у < 0; х-\-у < 0:

прямой код обратный код

В данном примере возникает циклический перенос. Единица переноса, получившаяся в разряде целых чисел, прибавляется к младшему разряду суммы обратных кодов;

3) Признаки переполнения разрядной сетки при сложении чисел в дополнительном и обратном кодах

Если при сложении в дополнительном пли обратном кодах сумма превышает единицу по абсолютному значению, то происхо­ дит переполнение разрядной сетки суммирующего устройства. Эго приводит к искажению результата вычислений.

П р и м е р Е

Переполнение разрядной сетки при сложении дополнительных кодов чисел:

В результате сложения получился дополнительный код положи­ тельного числа, в то время как действительная сумма числа отри­ цательная и равна - 1,100000. Произошло переполнение разряд­ ной сетки.

П р и м е р 2.

Переполнение разрядной сетки при сложении обратных кодов:

прямой код дополнительный код

В результате сложения получился обратный код положитель­ ного числа, в то время как действительная сумма отрицательная.

Результат сложения в обратном коде не соответствует действи­ тельности.

Переполнение разрядной сетки происходит в тех случаях, когда слагаемые х и у имеют одинаковые знаки. Из приведенных приме­ ров видно, что признаком переполнения может служить противо­ положность знака полученной суммы знакам слагаемых. Если целые части складываемых дополнительных или обратных кодов были единицами, то в целой части суммы получается нуль, и на­ оборот, если целые части складываемых кодов содержат нули, то в целой части суммы получается единица. Следовательно, чтобы зафиксировать момент переполнения разрядной сетки, необходимо устройство, сравнивающее целую часть полученной суммы с це­ лыми частями обоих слагаемых. Если эти части не совпадают, устройство должно выработать управляющий сигнал для оста­ новки машины.

При сложении чисел в дополнительном или обратном кодах, устройства, которые обнаруживают переполнение разрядной сетки получаются довольно сложными.

Удобнее и проще обнаруживать переполнение разрядной сетки, если применять модифицированные коды.

4)Сложение чисел в модифицированном дополнительном коде

Вмодифицированном дополнительном коде числа склады­ ваются так же, как и в дополнительном коде. При сложении воз­ можны четыре случая:

24

Единица переноса, получившаяся в разряде целых чисел послед сложения в модифицированном дополнительном коде, отбрасы­ вается.

5)Сложение чисел в модифицированном обратном коде

Вмодифицированном обратном коде числа складываются та­ ким же образом, как и в обычном обратном коде. В случае возник­ новения циклического переноса в разряде целых чисел единица переноса прибавляется к младшему разряду суммы обратных

кодов:

6) Переполнение разрядной сетки при сложении модифицированных кодов

Переполнение разрядной сетки при сложении модифицирован­ ных кодов наступает в том случае, если сумма по абсолютной ве­ личине превышает единицу. Переполнение разрядной сетки проис­ ходит, когда слагаемые имеют одинаковые знаки.

Рассмотрим примеры переполнения разрядной сетки.

1. Переполнение при сложении модифицированных дополни­ тельных кодов:

25

Результат сложения 10,100011 в модифицированном дополни­

ном коде не существует.

Из приведенных примеров видно, что переполнение разрядной сетки при сложении модифицированных кодов выражается в том, что результат, полученный при сложении, нельзя назвать ни одним из модифицированных кодов.

Признаком переполнения является несовпадение цифр, полу­ чающихся в двух знаковых разрядах. Чтобы обнаружить момент переполнения, необходимо сравнить цифры в этих разрядах с по­ мощью специальных устройств.

При несовпадении цифр устройство должно вырабатывать со­ ответствующий сигнал. Устройство контроля за переполнением раз­ рядной сетки, применяемое при сложении в модифицированных кодах, может быть значительно проще, чем аналогичное устрой­ ство, используемое при сложении в дополнительном и обратном кодах.

2. Сложение чисел в машинах с плавающей запятой

При сложении чисел в машинах с плавающей запятой сначала уравниваются порядки слагаемых чисел, а затем складываются их мантиссы. Уравнивание порядков заключается в том, что меньший порядок числа увеличивается до большего п при этом соответ­ ственно изменяется (денормализуется) мантисса. После этого ман­ тиссы складываются в одном из модифицированных кодов.

Порядком суммы является общий порядок слагаемых чисел.

Рассмотрим пример действия с нормализованными числами, выполняемого при помощи операций сдвига и сложения, т. е. так, как это осуществляется в машине с плавающей запятой.

Сложение производится в следующем порядке:

1. Слагаемое х сдвигается вправо на два знака с тем, чтобы уравнять его порядок 011 с порядком 101 слагаемого у. После сдвига запись слагаемого х будет иметь вид

* = 1,001011001 0101.

26

2. Перевод мантисс х и у в обратный модифицированный код:

х+ у = 0,101010100.

5.Запись результата:

х + у = 0,101010100 0101.

Результат сложения после перевода в прямой код мог оказаться и ненормализованным, т. е. после знакового разряда цифровой разряд мантиссы начинался бы не с единицы, а с нуля. В этом слу­ чае перед записью в ячейку памяти ЗУ необходимо нормализовать мантиссу, т. е. произвести сдвиг числа влево на один знак. Соответ­ ственно нужно уравнять порядок, т. е. уменьшить его на единицу.

При сложении двух чисел могут быть случаи переполнения раз­

цифр в знаковых разрядах, причем комбинация 01 указывает, что сумма положительна, а комбинация 10 — на то, что сумма отрица­ тельна. Следовательно, по левому из двух знаковых разрядов можно установить знак суммы (0 ы «+ »; 1 « —»). Исходя из этих обозначений, можно сразу получить сумму, не делая повтор­ ных вычислений. Для этого нужно сдвинуть результат сложения на один разряд вправо, во второй знаковый разряд занести цифру, стоящую в левой части знакового разряда и увеличить порядок на единицу. Эти операции машина выполняет автоматически, после того, как устройство сравнения выработает сигнал, свидетель­ ствующий о наличии разных цифр в знаковых разрядах.

Переполнение разрядной сетки в машинах с плавающей запя­ той принято называть нарушением нормализации влево.

Предположим, что после сложения в модифицированном обрат­ ном коде получили сумму х + у = 10,101011110 0110, т. е. произошло нарушение нормализации влево.

Для осуществления нормализации числа необходимо: 1. Сдвинуть результат вправо:

11010101111.

2. Преобразовать в прямой код:

1101010000.

27

3.Увеличить порядок 0110 на единицу:

,ОНО

■_ 1

0111

§ 10. УМНОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ В МАШИНАХ

Умножение чисел в ЭЦВМ сводится к определению знака и чис­ ловой величины произведения.

Знак произведения определяется суммой знаков сомножителей:

0+ 0= 0; 0+1 = 1; 1+ 0= 1; 1+ 1= 0.

Результат, получающийся при таком сложении, полностью со­ ответствует правилу алгебры о знаках произведения:

( + ) • ( + ) = ( + ); ( + ) • ( - ) = ( - ) ; ( - ) ■ ( + ) = ( - ) ;

( - ) • ( - ) = ( + )•

После определения знака произведения перемножаются сами числа. Численная величина произведения получается путем после­ довательного перемножения множимого на все разряды множи­ теля.

1. Умножение чисел в машинах с фиксированной запятой

Числа в ЭЦВМ с фиксированной запятой умножаются по обыч­ ным правилам арифметики двоичных чисел. Процесс умножения может осуществляться со сдвигом множимого как влево, так и вправо. В первом случае умножение начинается с младшей цифры множителя, во втором — со старшей.

Произведение множимого на какой-либо разряд множителя называется частным произведением. При умножении двоичных чи­ сел частное произведение может быть равно или множимому, при умножении на единицу, или нулю, при умножении на нуль. Таким образом, весь процесс умножения в машинах сводится к сдвигам множимого влево или вправо и сложению частных произведений.

28

2. Умножение чисел в машинах с плавающей запятой

В машинах с плавающей запятой умножение осуществляется в следующем порядке:

1.Определяется знак произведения мантисс;

2.Определяется порядок произведения путем алгебраического

сложения порядков сомножителей;

3.Перемножаются мантиссы сомножителей;

4.Осуществляется нормализация порядка (если необходимо).

Пример.

В нормальной форме в ячейках машины сомножители должны быть записаны в следующем виде:

1. Определение знака произведения:

0+1 = 1.

2. Определение порядка произведения:

(—010) + ( + 101) = + 011.

3. Перемножение мантисс сомножителей:

0,110101

0,100101

110101

110101

__________ 110101

0,011110101001.

Если ячейка памяти запоминающего устройства рассчитана, например, на 10 разрядов, то результат перемножения запишется в следующем виде:

10111101010 ООП.

4. Нормализация результата произведения:

11111010100 0010.

§ 11. ДЕЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В МАШИНАХ

Операция деления в ЭЦВМ выполняется значительно реже, чем сложение и умножение.

Деление — это процесс, обратный умножению. Если процесс умножения в двоичной системе счисления сводится к сдвигам мно­ жимого и сложению частных произведений, то деление чисел можно осуществить методом многократных сдвигов и вычитания делимого, остатков и делителя.

29