книги из ГПНТБ / Бирюков Н.Е. Основы электронной вычислительной техники

I этап. Выполнение отдельной вычислительной операции начи­ нается с поступления команды из ЗУ по каналу связи 1 в управ­ ляющее устройство. В управляющем устройстве команда деши­ фруется (расшифровывается), в результате чего из УУ в различ­ ные узлы машины поступают соответствующие инструкции (сиг­ налы). Например, по каналу 2 в запоминающее устройство посту­ пает команда передать числа, находящиеся по адресу /1, и Л2, че­ рез канал 4 в арифметическое устройство. Одновременно из устройства управления по каналу 3 дается команда в арифметиче­ ское устройство (АУ) произвести с числами А\ и Л2 соответствую­ щую арифметическую операцию.

П этап. АУ выполняет требуемую арифметическую операцию. Этот этап занимает 50 - 7 0 всего рабочего такта машины.

Ill этап. Результат вычислений поступает из арифметического устройства по каналу 5 в ячейку Ал запоминающего устройства.

По окончании каждого отдельного такта вычислений произво­ дится подача следующей команды из ЗУ в УУ, и процесс вычисле­ ний повторяется.

10

Г Л А В А 2

АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОННЫХ ЦИФРОВЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН

§ I. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Системой счисления называется совокупность названий и зна­ ков, позволяющих выразить устно ^или письменно любое число. В настоящее время широко применяются десятичная и римская системы счисления; первая из них является позиционной, вторая — непозиционная.

Система счисления называется позиционной, если значение каждой входящей в запись числа цифры зависит от ее положения (позиции) в ряду цифр, изображающих число. Например, в числе 555 первая слева пятерка означает количество сотен, содержа­ щихся в числе, вторая — количество десятков и третья —■количе­ ство единиц.

Непозиционной называется такая система счисления, в которой значение цифры не зависит от ее положения в ряду цифр. Напри­ мер, в римской системе счисления в числе XXX цифра X в любом месте записи означает число X.

Вцифровых вычислительных машинах используется только по­ зиционная система счисления.

Внастоящее время общепринятой является десятичная система счисления. Названа она так потому, что для записи чисел в ней используется десять различных цифр; 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Число десять является основанием системы и изображается двумя циф­ рами в виде 10. Основанием системы называется число, определяю­ щее количество цифр в применяемой системе. Название позицион­ ной системы определяет ее основание.

Всякое число в позиционной системе записывается в виде по­ следовательности цифр, разделенных запятой на целую и дробную части. Возьмем, например, число двести тридцать пять и шесть десятых и раскроем его значение:

235,6 = 2- 102+ 3- 104-5 - 10°+ 6 - 10 1.

Итак, всякое десятичное число представляет собой сумму раз­ личных степеней десяти с соответствующими коэффициентами. Эти

11

коэффициенты обычно и изображают число 235,6 в виде сокращен­ ной записи.

Существуют также другие позиционные системы счисления. Принимая за основание системы различные числа: два, три, пять, восемь, двенадцать, шестьдесят и т. д., можно получить соответ­ ственно двоичную, троичную, пятеричную, восьмеричную и другие системы счисления. При этом в любой из них число будет пред­ ставлять собой сумму степеней основания системы с соответствую­ щими коэффициентами.

зуются восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Основанием этой системы является число восемь, которое в восьмеричной системе записы­

Основанием системы является цифра 2, которая в двоичной си­ стеме тоже записывается как 10.

12

Таким образом,

73(ю) = 1001001(2).

Отличительная особенность записи чисел в двоичной системе счисления та, что запись числа длинная, но знаков в ней мало, всего 0 и 1. В табл. 1 приводятся записи чисел от 0 до 10 в различ­ ных системах счисления.

Таблица 1

в другую, его нужно последовательно делить на основание той си­ стемы, в которую оно переводится, до тех пор, пока не получится частное меньше основания q. Число в новой системе запишется из остатков деления, начиная с последнего. Последнее частное дает старший разряд числа. Для примера переведем число 43 в двоич­ ную систему.

последнее частное (1) — старший разряд числа. Итак, 43 в деся­ тичной системе равно 101011, в двоичной, т. е. 43(ю>= 10101 Да).

§ 5. АРИФМЕТИКА ДВОИЧНЫХ ЧИСЕЛ

Преимущество двоичной системы по сравнению с другими си­ стемами счисления состоит в том, что в ней арифметические дей­ ствия наиболее просты.

Сложение двоичных чисел. Таблица сложения выглядит сле­ дующим образом:

1+ 1= 10

Пользуясь данной таблицей, можно выполнить сложение двоич­

ных чисел:

1101(13)

1111(15)

11100(28)

13

При сложении необходимо помнить, что 1+ 1 дают нуль в данном разряде и единицу переноса в следующий разряд.

Вычитание двоичных чисел. Таблица вычитания выглядит сле­ дующим образом:

0 - 0 = 0

1-..0=1

Пользуясь данной таблицей, можно выполнить вычитание двоич­ ных чисел. Определим разность двух чисел:

11100(28)

1101(13)

1111(15)

При вычитании необходимо помнить, что занятая в ближайшем старшем разряде единица дает две единицы младшего разряда и единицу промежуточного разряда.

Умножение двоичных чисел. Таблица умножения выглядит сле­ дующим образом:

Умножаются двоичные числа по тем же правилам, что п десятич­ ные. Умножение двоичных чисел можно производить, сдвигая мно­ жимое как влево, так и вправо:

Легко заметить, что частные произведения представляют собой сдвинутое на определенное количество разрядов множимое. Таким образом, действие умножения сводится в большинстве ЭЦВМ к сдвигу и сложению.

Деление двоичных чисел. При деленн и двоичных чисел используются двоичные таблицы умножения и вычитания.

1010

Тою

1010

dodo'

14

Делятся двоичные числа по тем же правилам, что и десятичные. Из приведенных примеров можно сделать вывод, что .ариф­

метические действия в десятичной и двоичной системах одинаковы, только в двоичной системе счисления более громоздкая запись чи­ сел и действии, зато проще арифметические операции.

§(>. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ. ПРИМЕНЯЕМЫЕ В ЭЦВМ

Вэлектронных цифровых вычислительных машинах элемен­ тами, при помощи которых изображаются цифры, служат полупро­ водниковые приборы, . ферромагнитные материалы, электронные лампы, конденсаторы, реле и т. д. Эти элементы могут находиться только в одном из двух резко выраженных устойчивых состояний.

Электронная лампа может быть отперта или заперта, конден­ сатор— заряжен или разряжен, ферромагнитный сердечник — на­ магничен или размагничен, реле ■■включено или выключено пт.д.

Элементы, которые могут находиться в одном из двух устойчи­ вых состояний, называются двухпозиционными.

Двухпозициопные элементы работают по наиболее простому и падежному принципу действия — «да» или «нет» (включено или выключено). С их помощью очень легко изображать разряды двоичного числа. Одно из устойчивых состояний элемента прини­ мается за изображение цифры 0, а другое — за изображение циф­ ры 1. При использовании двоичной) системы счисления, для изобра­ жения цифр применяются наиболее простые элементы.

Двоичная система счисления обладает большими достоинства­ ми и при выполнении арифметических действий, что дает возмож­ ность упростить конструкции вычислительных устройств. Двоич­ ная система является в настоящее время основной) системой счис­ ления, применяемой в электронных цифровых вычислительных ма­ шинах. Весь вычислительный процесс осуществляется в ЭЦВМ в двоичной системе счисления.

Однако использование двоичной системы связано с некоторыми неудобствами, так как числа, представляющие исходные данные, необходимо переводить из десятичной системы в двоичную и обрат­ но (когда получают из машины результаты решения задачи).

Основная трудность применения десятичной системы в том, что для изображения десяти цифр требуется десять устойчивых состоя­ ний какой-либо физической системы. Выполнить арифметические действия в десятичной системе физическими элементами значи­ тельно труднее, чем в двоичной.

Чтобы сохранить преимущества двоичной системы и удобство десятичной, в ЭЦВМ в большинстве случаев используют двоично­ десятичный или двоично-восьмеричный код. Некоторые машины работают в этих кодах, некоторые используют их лишь при вводе исходных данных, переводя затем эти коды в двоичную систему.

15

что для такой записи потребуется не более четырех двоичных раз­ рядов.

Четырехразрядное двоичное число, изображающее десятичную цифру, называется тетродой.

Число 2568,39 запишется в двоично-десятичной системе счисле­ ния в следующем виде:

Таким образом, десятичное число 2568,39 равно двоично-десятич­ ному числу 0010010101101000,00111001.

Наиболее часто в ЭЦВМ применяется двоично-восьмеричная система, в которой цифры восьмеричной системы заменяются тре­ мя разрядами двоичного эквивалента. Число 2567,34.»запмшется в двоично-восьмеричной системе счисления в виде

Следовательно, двоично-восьмеричная система счисления является менее громоздкой, чем двоично-десятичная.

Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоично­ десятичную и из восьмеричной в двоично-восьмеричную не связан

свычислениями и может производиться механически.

Вэлектронных цифровых вычислительных машинах количество разрядов, представляющих число, определяется, с одной стороны,

необходимой точностью вычислений, с другой,— габаритами ЭЦВМ.

§7. ФОРМЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЧИСЕЛ В ЭЦВМ

Вцифровых вычислительных машинах в зависимости от их конструкции применяются две формы представления (записи) чисел:

— естественная, или с фиксированной запятой;

— нормальная, или с плавающей запятой.

Всоответствии с этим машины называются машинами с фик­ сированной или машинами с плавающей запятой.

Рассмотрим отдельно каждую из этих форм записи.

Запись с фиксированной запятой. При таком виде записи запя­ тая всегда ставится в одном и том же месте для всех чисел с це­ лой и дробной частью, с которыми работает машина. При кон­ струировании машины заранее устанавливают определенное коли­ чество разрядов отдельно для целой и дробной части числа.

Допустим, ЭЦВМ рассчитана на представление шестиразряд­ ного десятичного числа, причем три разряда отводится на целую

16

часть к три — на дробную. В этом случае в машине могут быть представлены числа в следующем диапазоне:

+999,999

+000,001

000,000

—000,001

—999,999

На основании анализа этих чисел нетрудно установить, что диа­ пазон представления чисел у машин сравнительно невелик (в на­ шем примере от —999,999 до +999,999). Всякое число, которое по абсолютной величине меньше минимального, записывается в виде нуля. Число, полученное в результате вычисления, не должно пре­ вышать по абсолютной величине максимального числа, иначе стар­ шие разряды числа будут потеряны.

Потеря старших разрядов называется переполнением разряд­ ной сетки. Чтобы избежать переполнения разрядной сетки, исход­ ные данные нужно предварительно перемножить на соответствую­ щие масштабные коэффициенты.

Обычно в ЭЦВМ с фиксированной запятой, запятая фикси­ руется перед первым, старшим цифровым разрядом, который ра­ вен нулю, т. е. числа, с которыми оперирует машина, по модулю меньше единицы. Такая фиксация запятой несколько облегчает подбор масштабных коэффициентов.

Запись с плавающей запятой. При таком виде записи любое число изображается в виде двух групп цифр — мантиссы и поряд­ ка — по формуле

N — m-qP,

где т — дробная часть числа, называемая мантиссой;

р— целое положительное или отрицательное число, называе­ мое порядком;

q — основание системы счисления.

Число 325,786 для представления в нормальной форме необхо­ димо записать следующим образом:

325,786 = 0,325786103.

Если в цифровой машине для изображения мантиссы отведено шесть цифровых разрядов, а для изображения порядка — два раз­ ряда, то в нормальной форме 325,786 будет записано так:

+ 325786 + 03.

Порядок числа может быть не только положительным, но н от­ рицательным. Так, число 0,000325786 можно представить как О1,32578610~3. Запись числа в нормальной форме будет иметь вид

+325786—03.

Порядок числа показывает положение запятой, если число изо­ бражать набором цифр мантиссы.

Все сказанное выше в полной мере можно отнести и к пред­ ставлению чисел в любой системе счисления. Двоичное число 1011,01 можно представить следующим образом:

1011,0 1 = 0,101101 • 101"".

(Здесь 10 — основание системы 2, а 100 — показатель степени 4), Это число в нормальной форме запишется так:

+ 101101 + 100.

При выполнении в машине арифметических действий над чис­ лами, записанными с плавающей запятой, эти числа должны быть

сетки, а также нормализация в ЭЦВМ с плавающей запятой осу­ ществляется автоматически. Одновременно при этом автоматически меняется и порядок.

Достоинство машин с плавающей запятой в том, что они обес­ печивают достаточно широкий диапазон представления чисел, не

Сравнивая обе формы представления чисел в машине, можно прийти к выводу, что для универсальных ЭЦВМ, которые пред­ назначаются для решения с большой точностью сложных задач, более удобной является форма представления чисел с плавающей запятой.

Для специализированных машин, которые решают однотип­ ные задачи и для которых порядок величин и точность вычислений обычно устанавливаются заранее, более удобной является форма представления чисел с фиксированной запятой.

В настоящее время в универсальных ЭЦВМ могут применяться обе формы представления чисел, но используется обычно та из них, которая более рациональна для данной задачи.

При вычислениях приходится оперировать и с положи тельными и с отрицательными двоичными числами. Так как записи их долж­ ны различаться, то для изображения знаков чисел вводятся спе­ циальные обозначения: положительный знак изображается нулем,

18

отрицательный — единицей. Для изображения знаков чисел отвбдится специальный двоичный знаковый разряд, который распола­ гается перед разрядами самого числа. Например, двоичные числа Д-0,010101 и —0,010101 в естественной форме записываются так:

0,010101 и 1,010101.

В машинах с плавающей запятой для изображения знаков от­ водятся два разряда: один для знака мантиссы, другой — для знака порядка. Допустим, в машине отведено шесть разрядов для представления мантиссы и три разряда для представления поряд­ ка. Тогда двоичное число +0,0010101 = +0,10101 • 10~10 запишется следующим образом:

ных элементов, количество которых определяется необходимым ко­ личеством разрядов числа. Таким образом, количество разрядов, которое может храниться в ячейке, зависит от назначения и кон­ струкции машины. Ячейки универсальных цифровых машин имеют до 40 двоичных разрядов. Ячейка памяти машины с фиксирован­ ной запятой имеет знаковый разряд и цифровые разряды. В боль­ шинстве машин с фиксированной запятой запятая фиксируется перед первым цифровым разрядом ячейки сразу после знакового. Схема такой ячейки с записью числа —0,1011 . . . . 1011 изобра­ жена на рис. 2.

Знаковый

Ячейка памяти машины с плавающей запятой состоит из двух частей: одной — для записи мантиссы, другой — для записи поряд­ ка. Схема такой ячейки с записью числа —0,101 . . . 1 • Ю-100101 показана на рис. 3. Эта ячейка имеет знаковый разряд и цифровые разряды мантиссы, а также знаковый разряд и цифровые разряды

порядка. В действительности в универсальных ЭЦВМ с плаваю­ щей запятой для изображения мантиссы отводится 30—36 разря­ дов, а для изображения порядка — 6—7 разрядов.

19