Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Справочник по элементарной математике, механике и физике.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.10.2023

Размер:

4.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 216 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

50	Алгебра
П р и м е р : Разложить на множители				трехчлен	Зх2	—
— 5х — 2.	Находим корни данного			трехчлена,	т.	е.
Р е ш е н и е .	Находим корни данного			трехчлена,	т.	е.
корни квадратного уравнения		Зх2 — 5х — 2 = 0:
_ 5 ±	1/52+ 4 • 3	• 2,	= 2, х2= —
	2 • 3		= 2, х2= —
	2 • 3

Представляем данный трехчлен в виде произведения:

Зх2 — 5х — 2 = 3 (х — 2)
Теперь результат можно упростить:
Зх2 — 5х — 2 = (х — 2) (Зх + 1 ).
26. Комплексные числа
а) Мнимые числа. Мнимым числом	называется корень
четной степени из отрицательного числа.		Если взять
отрицательное число — т, то У — т	будет	мнимое чи
сло, которое можно представить так:
У И п = У ( — 1)т =	• V~in.

Введем новое число: i = У — 1. Это число i назовем мнимой единицей. Числу i приписываем свойство, выра жаемое равенством: <2 = — 1. Теперь мнимое число

У— т представим так:

У— т = У — 1. У т = / У т ■

Действия над мнимыми числами производятся по тем же правилам, что и над числами вещественными.

Алгебра

б) Степени числа г. При производстве действий над мнимыми числами приходится иметь* дело с различными степенями числа г. Находим эти степени:

г1 = г; р = — 1; г3 =	г'2 • г = — <;
г4 = д о _ ( _ 1) ( _ 1) = 1;

,•5 =

/ 4 + 1 =

= / 4 + 2 =

г-2 = _

г7 = г'41!-3 =

г3 =

—

и т. д.

Вообще, если

показатель

степени

числа г есть

целое

число п,

большее 4,

то

его

можно

представить

так:

л =

или

же

я =

4k -)- р,

где

может равняться

1, 2,

3 Если л =

4й, тогда

in =

г'4* =

1. Если л =

4А +

р,

то гя =

ЛН-Р =

iP.

П р и м е р ы :

г'3б —	/4 • 9 _ 1 ; /23	_ /4	• 5 + 3 =	/ з = _ /■
(2г)4 = 16г'4	- 16; (2г)3 =	8г3 =	— 8г;	(Зг) (5г) = — 15.

в) Понятие о комплексных числах. Числа вида а 4 -Ы

называются комплексными. Такие числа могут получиться при решении квадратных уравнений. Возьмем в качестве примера уравнение:

х2 — 2х + 10 = 0.

Решаем это уравнение:

х = 1 ± / 1 — 1 0 = 1 ± Зг; * ! = 1 + Зг; х2 = 1 — Зг.

г) Алгебраическая форма комплексного числа. Комп лексное число вида a -f- Ы представляет алгебраическую форму комплексного числа. Число а называется веще ственной частью комплексного числа, а Ы — его мнимой

52	Алгебра
частью. Два	комплексных числа а + bi,		а — Ы,	отличаю
щиеся лишь знаком мнимой		части, называются сопряжен-
ными,		считаются	равными	между
Два комплексных числа

собою, если отдельно равны вещественные части и отдель

но равны коэффициенты при г, так,

если а +

Ы — с 4- di,

то а •— с; b =

d. Отсюда следует,

что

комплексное

число

равняется нулю тогда, когда равны

нулю его

веществен

ная часть

коэффициент

при г. Так,

если

х -+- yi = О,

то х =

О и у =

0. Вещественные

и мнимые

числа являют

ся

частными

случаями

чисел

комплексных.

Так,

если

6 = 0,

то получим вещественное число

а;

если

а = 0, то

получим мнимое число Ы.

комплексными

числами.

Действи

д)

Действия■над

над комплексными числами

производятся

по тем же пра

вилам, что и над алгебраическими двучленами.

27.

Сложение комплексных чисел

Возьмем два комплексных числа: т =

а +

Ы, п = с +

di.

Находим

их

сумму: т +

п — а + Ы +

с -f di =

(а +

с) +

(6 +

d) i,

т. е. сумма

есть

число комплексное.

28.

Вычитание комплексных чисел

Пусть т =

а + Ы\

п =

с +

di.

Находим

разность:

т — п = а +

Ы — c — di =

(а — с) + (6 — d)i,

т. е.

раз

ность есть

число комплексное.

29.

Умножение комплексных чисел

Перемножим

два

комплексных

числа:

т = а + Ы,

п = с +

di.

Находим: тп =

(а +

Ы) (с +

di) =

ас +

cbi +

adi +

bdi2 =

(ас — bd) +

(cb +

ad) i,

т.

произведе

		Алгебра				53
ние есть число комплексное.			Перемножим		два сопряжен
ных	комплексных	числа	а +	Ы и а — Ы,		находим:
(а +	Ы) (а — Ы) =	а" — (Ы)2 =		а2 — б2/2 =	а2 +	62, т. е.
произведение двух сопряженных				комплексных чисел есть
число вещественное и положительное.

30. Деление комплексных чисел

Найдем частное двух комплексных чисел т — а + Ы и

та-{-Ы (а + Ы ) ( с — di)

п = с + dt; — = c + di = (c + d iy (с — d i ) ~

	ас + bci — adi — bdi2		(ас + bd) + (be — ad) i
=	W + d?	=	c2 + d2	=
		ас + bd	_ be — ad
	= ca + d 2 + c2 + d2 г*

т. e. частное есть число комплексное.

31. Геометрическое представление комплексного числа

Возьмем прямую MN и на ней определенную точку О.

В О	А	N
--------/— / _ / _ / -----	/--- /--- /--- /-------	N

Точки, соответствующие положительным числам, рас положены на прямой направо от точки О; точки же, соот

Алгебра

ветствующие'

отрицательным

числам,

расположены

нале

во от точки О. Так,

чтобы

найти на

этой прямой точку,

соответствующую

числу 4,

откладываем

направо от точ

ки О 4 раза

отрезок,

принятый

за

единицу

Точка А и

будет

являться

изображением

числа

Как

видно

из

чертежа,

точка

соответствует

числу — 3.

Пря

мая

называется

числовой

осью.

Аналогично

этому

можно показать,

что

всякому

комплексному числу

а +

Ы соответствует

определенная

точка плоскости.

Для

этого возьмем

две взаимно

перпендикулярные

прямые Ох

и Оу,

называемые осями.

Пусть а и Ь положительны. На оси Ох от точки О откладываем отрезок ОА, численно равный а; из точки А перпендикулярно к оси Ох проводим отрезок AM, чис ленно равный Ъ. Точка М и является изображением комплексного числа а + Ы.

Алгебра		55
32. Тригонометрическая	форма комплексного числа
Число, выражающее	длину отрезка	ОМ, обо

значается через г; число г, называется модулем

комплексного	числа	а + bi.		Как видно из чертежа,
г = У а2+ ft2.	Угол		хОМ	обозначается через ?; этот
. угол отсчитывается		от	оси	Ох против часовой стрелки;

угол (р называется аргументом или амплитудой комплекс

ного числа. Из		чертежа		определяем а и ft:
		a=rcos<p, 6 =			г sin?.		(1)
Отсюда:
а +	Ы =	г cos ? -(- ri sin ? =			г (cos ? +	i sin ?).	• (2)
Выражение (2) и есть				тригонометрическая форма комп
лексного	числа.		от	алгебраической формы а +			Ы к
Чтобы	перейти
тригонометрической,			надо по заданным а			и ft определить

г и ?. Имеем: г — Y а2 4- Ь2; из формул (1) находим:

а	Ъ	(3)
cos ? = — ; sin ? — — .		(3)
Из формул (3) определяем	?; к ?	можно прибавить

2fcc, где k — целое число.

П р и м е р ы : Представить в тригонометрической форме числа:

4 + 4/, 1, L

1) 4 + 4 i \ r = Y 1 6 + 16 = 4 Т / Т ;

' “ ’ “ T jh r

Алгебра

откуда:

те

; 4 +

,—

(

те

? = —

Ai = 4 J /T ^

cos —

+ i sin —

2) 1;

1 =

1 +

Oi;

r =

] A T + 0 =

1; cos 9 =

- j - =

sin cp =

•

—j—— 0,

откуда:

9 =

0 +

2йте;

1 =

(cos

2йте +

i sin 2kiz).

i; i = 0 +

r —

,_____

1 =

1; cos 9 =

0 +

—

sin ? =

= 1,

—

откуда:

<р =

те

t = 1

(

те

-rf-;

cos ~2

sin - у

33.Действия над комплексными числами, выраженными

втригонометрической форме1


1.	Умножение. Даны		числа: т — rx (cos 91 +	Lsin 9^,
п — r2 (cos 92 + i sin 92).			Перемножим их:
т н =	ггг 2(cos 9 j cos 92 +		i sin 9 j cos 92 + i cos 9 t sin 9a +
+	г2 sin 9 X sin 92) = rtr2 [cos 92 cos 9» — sin 9X sin 9» +
+ i (sin 9Xcos 92 +		cos 9t sin 92)] = rxr2[cos (<pi +		92) +
	+	i sin (9x + 92)]-

	Алгебра		57
вообще:
гу (cos ?! + / sin tfi) r2(cos ? 2 +		i sin <p2)-- rn (cos ?n +
+ i sin <p„) =	ГуГ2 ... r„ [cos (?! + 92+		- + ?n) +
+	' sin (9x + 92 +	... ?„)].	(4)

т. e. при перемножении нескольких комплексных чисел модули перемножаются, а аргументы складываются.

2) Возвышение в степень. При возвышении комплекс ного числа в степень воспользуемся формулой (4):

			П		П
[г (cos 9 + i		sin 9)]л =	гг ...’г [cos (9 +	9 +	- + 9) +
			п
+	i sin (9 +	9 + ... +	9)] = rn (cos n? +		l sin n?).	(5)
3)	Формула	Моавра.	Положив в	формуле. (5) r =		1,
получим формулу Моавра:
	(cos 9 + / sin 9)" = cos л 9 +			i sin n 9.		(6)

При' помощи формулы Моавра легко получить выра жения синусов и косинусов кратных углов. Для примера найдем cos 3 9 и sin 3 9. Положив в формуле (6) п = 3, получим:

(cos 9 + г sin 9)3 = cos3 9 +	3 cos3 9 - i sin 9 —
— 3 cos 9 sin39 — l sin3 9 =	cos 3 9 + i sin 3 9.	(7)

58	Алгебра
Приравняв в	равенстве	(7) отдельно вещественные
части н коэффициенты при i,		получим:

cos 3 <р = cos3<р — 3 cos <р sin2tp,

sin 3 tp = 3 cos2tp sin ip — sin3 <p.

4) Деление. Исходя из правила умножения, получим

т	rx (cos tpt +	i sin уг)У*
n	~ r3(cos <f2 +	i sin ic,)

COS (if! — If,) + i sin (if! — tp2) .

'г

5) Извлечение корня. Положим, что:

>/ г (cos <f +	i sin if) = R		(cos ф	i sin ф).
Возвышаем обе	части	этого	равенства в п-ю		сте
пень:
г (cos if -f i sin if) =		Rn (cos n ф +		/ sin n ф).	(8)

У равных комплексных чисел модули должны быть равны, а аргументы могут отличаться на 2kx, где k — целое число.

Следовательно:

Rn = г, лф = ip + 2Атс,

откуда:

ip + 2kx

Алгебра

Получим:

У r cos <р+

i sin <р =

п , ----------- Г

ф +

2 f e j c

+ t

tp +

2 A n

(9>

= V

[

cos- —- —

s i

-----J-

А =

Для

получения л

различных

значений

корня

полагаем,

2, ... л — 1.

При

помощи формулы (9)

легко ре

шаются

двучленные уравнения

П р и м е р : Решить уравнение

ж3 — 5 = 0 .

Находим: х3=

х =

;

5 = 5

(cos 2 fen +

i sin 2kny,

x =

|/ 5

(cos 2 foe -j- t sin 2 An) =

ЗЛ-=- (

2An

2&rc

= у 5

cos — g— +

l sin — g— I ;

k =

0, 1,

жх =

3/-----/

cos - g - + i

sin -g-1 =

(cos

0 -J- i

sin 0) =

У~ -5}

2it

- g - - M

S in -y

+ m 2 Г

V 5

( _ l + </ 3 );

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 216 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ