Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Справочник по элементарной математике, механике и физике.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.10.2023

Размер:

4.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2111 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

100	Тригонометрия

Если же угол больше 360°, то из его величины вычитается целое число «полных оборотов» по 360° и рас сматривается только величина остатка, меньшего 360°.

Н а п р и м е р :

sin 1000° = sin 280° = — sin 80° = — 0,9848 [1000° — 2-360° = 280°; 360° — 280° = 80°]

78. Основные формулы тригонометрии

а) Основные соотношения между тригонометричес кими функциями одного и того же угла:

sin2А + cos2А = 1, tg А =

■

б) Свойство дополнительных углов (дающих в сумме

90°):

sin (90° — о) = cos a; cos (90° — а) = sin а.

в) Формулы суммы и разности углов:

sin (х + у) = sin х cos у + cos х sin у, sin (х — у) = sin х cos у — cos х sin у, cos (х + у) = cos х cos у — sin х sin у, cos (х — у) — cos х cos у + sin х sin у,

. , . , tgx-ftgy tg(x+ !/) = T^ tgxt-y,

tg x — t gy

Т ригонометрия

101

г) Формулы двойных углов:

sin 2х — 2 sin a: cos х, cos 2jc= cosI2 х — sin 2 x,

[или: cos 2x =			1 — 2 sin 2 x,
	cos 2 a; =• 2 cos2 x — 1 ].
	■	2 tg x
	tg 2 * = T —
д) Формулы половинных углов:
sin	— ±
cos		'p / ' 1 + COS X
cos
%	- T -	V	— COS X
%	- T -	V	t + 2
			COS JC
(знак + или — определяется			по таблице на стр. 99).
Употребительны также формулы:
	■х	1 — cos х
	tg -o -		Sin X
			sin x
		I	+ cos x '

e)Формулы преобразования алгебраических сумм триго

нометрических функций в	произведения		(«приведение
к виду, удобному для логарифмирования»):
sin х + sin у = 2 sin	х + у	х — У
	cos	2	•

102	Тригонометрия
	х-\- у	х — у
	sin х — sin у = 2 cos — g—	sin — 2— ’

Х + У	cos
COS X + COS у — 2 COS ---- 2----

	л: -+• у	sin
cos x — cos у = 2 sin — g—		sin
	„ . х	+ У
= — 2 sin — n —
	sin (x +	2
tg X + tg у =	sin (x +	y)
tg X + tg у =	cos x cos у
	cos x cos у

sin (x — 11)

tg X — tg у =

COS X COS 1/

х — У

у — х

. x — y

sin — о— >

ж) Формулы преобразования произведений тригоно метрических функций в алгебраические суммы:

sin д: • cos у = - g - |sin (х + у) + sin (х — у)\,

cos х • cos у — -у - |cos (х + у) + cos (х — {/)],

sin х ■sin у = — -jj- |cos (x + у) — cos (x — y)\

79. Формулы косоугольных треугольников

а)	a	b	с
	Теорема синусов: sjn ^	sin S	sin C
б)	Теорема косинусов: cos Л =	b" +	c2— a2
		-------g ^ ------ ■

			Тригономепгрия					103
					а-\- Ь		tg	А + в
в)	Теорема тангенсов:				а-\- Ь		tg	2
в)	Теорема тангенсов:				а — b ~		tg	A - в -
								A - в -
								2
г)	Выражение			углов		треугольника через его сто
роны-1):
	.	А		1 / (р — Ь)(р — с)
	s п ~2~ ~			V ----------- Ьс---------’
	„ „ . А			ч / Р ( Р ~ а)
	cos 2			V		be	’
		А _ l / (Р — Ь)(р — с)
	g 2			V		р(р — а)
д)	Выражение радиуса					описанного круга через стороны
и углы треугольника:
			а_______Ь				■с
	° — 2 sin А ~~ 2 sin В						2 sin G'
	о __________д +					Ь +	с_______
	^	— 2 (sin А +				sin В +		sin С)
или
	Л =		_________Р_________
	Л =				А	В	С
			4 cos -g- cos -g" cos -g-
’>	p — здесь и	дальше — полупернметр						треугольника

д+fr+gj

■(P =

104	Тригонометрия

е) Выражение радиуса вписанного круга через сторон

нуглы треугольника:

/(Р — “) (Р — Ь) (р — с)

		Р
или
.	В	с
a sin “ 2" Sin —ГГ
	cos	А
	cos	2
площади		треугольника
стороны и углы:
s = V T W -	а)(Р — Ь) (р — с),
1			аа sin В sin С
S = ~2 ~ аЬ sin С и S :			2 sin А
			2 sin А
80. Решение косоугольных треугольников
Данные		Решение

а, Ь, с		А	7 / (Р — ь) (р — с)
а, Ь, с	tg	2	— Г	р (р — а)	’
	tg	2	— Г	р (р — а)	’
	,	В	7 / (Р — с) (р — а)
	tg	2	- К	p ip — b)	'

С7 / (р — а) (р — Ь)

tg 2 - V

р(р — с)

а, 6. С

а. В, С

а, Ь. А

Тригонометрия								105
							П р о д о л ж е н и е
А + В		_			С	А — В
2	— 90 —				2 ’	tg	2	—
а — b	*8	А + В		(п0 найденным зна-
— а _\|_ ь	*8	2		(п0 найденным зна-
А + В		и	А — В
чениям	2	и	2		вычисляем углы
					a sin С
	А и В)•		с -		sin А
А =		180° — (В +				Су,
Ь --		a sin В			С ---	a sin С
Ь --		.	А \		С ---	•	А
		sin	A			sin Л
Ь sin А		»); С =			180° — (Л +			By,
sin В = — —		»); С =			180° — (Л +			By,
			a sin С
		с =		sin А

*) Если а >. Ь,	то В		имеет одно		значение, меньшее 90°.
Если а < Ь, но а		>	Ъ sin	А , то	В имеет два значения: В, < 90°
п В , = 180° — В,,	и	каждое		из них дает свое значение для С и с.

В этом случае задача допускает два решения (остроугольный и тупо угольный тр-ки).

Если а	<	Ь и а =		b	sin	А ,	то В =	90°	(треугольник прямоуголь
ный).	<		и а	<		sin	Л, то	sin	В > 1, что невозможно,
Если а		Ь			b
и треугольника,			удовлетворяющего условиям задачи, не существует.

106

МЕХАНИКА

1.Предмет механики и ее части

Механика — наука о движении и силах. Она разде ляется на: 1) кинематику, изучающую только само движение, не интересуясь силами, которые его вызывают; 2) статику, изучающую силы, действующие так, что они

не производят		движения	(«взаимно уравновешиваются»),
и 3) динамику,		занимающуюся изучением взаимной связи
между силами и производимыми ими движениями.
Кроме	того,	механика	разделяется	на:	1) механику
абсолютно	твердого тела,		т. е. такого	тела,	которое ни

при каких условиях не деформируется; 2) механику изменяемого твердого тела (сопротивление материалов)

и3) механику жидкого и газообразного тела.

I.КИНЕМАТИКА

	2.	Поступательное движение
Движение тела называется поступательным, если				все
его точки движутся совершенно одинаково, так				что
Еполне достаточно изучить движение одной точки				для
того,	чтобы знать и движение		всего тела. В поступатель
ном	движении	всякая прямая,	соединяющая любые	две

Кинематика

107

точки тела, во все время движения остается параллельной самой себе (см. рис. 37).

3, Траектория

Линия, которую описывает движущаяся точка, назы вается ее траекторией. Движения точки разделяются на прямолинейные и криволинейные в зависимости от вида траектории.

4. Закон движения

Движение точки вполне определяется, если известна траектория движущейся точки и задан закон ее движе ния. дающий в зависимости от времени расстояние движу щейся точки от некоторой неподвижной начальной точки на траектории, причем расстояние измеряется по траекто рии Это • может быть сделано при помощи таблицы' (например расписание поездов), формулы или графика.

108	Кинематика
	5. Равномерное	движение
Движение называется равномерным, если в			любые
равные	промежутки времени	точка проходит	одина

ковые отрезки траектории. Скорость равномерного движе

ния является постоянной и		измеряется	отношением прой
денного	пути s к тому времени /, в		течение которого
путь был пройден:
		S	(1)
	v =	—	(1)
откуда	следует
	s — vt		(1а)

(закон равномерного движения).

За единицу скорости принимается скорость такого равномерного движения, в котором в единицу времени про ходится единица расстояния (метр в секунду — м/сек, километр в час — км/час и т. д.). В системе CGS1) единица скорости 1 см/сек.

6. Вращательное движение

Вращательным движением или вращением назы вается такое движение твердого тела, при котором две его точки остаются во все время движения неподвижными;

эти	две	неподвижные	точки определяют проходящую
через	них	прямую — ось	вращения. Вращение наз. равно
мерным, если в равные			промежутки времени тело пово
рачивается		вокруг оси на равные углы. Отношение угла

') См. стр. 20.

Кинематика

109

поворота к соответствующему

времени

измеряет

угловую

скорость вращения.

скорости

на практике принимают

За единицу угловой

оборот в секунду или оборот

в минуту,

т.

е.

угловую

скорость такого

равномерного

вращения,

котором тело

за единицу времени (секунду

или минуту)

делает

один

полный оборот вокруг оси.

системе

CGS

единицей

угловой скорости является

радиан

секунду

(1/сек).

Она представляет угловую скорость,

при которой каждая

точка тела за

секунду

проходит путь,

равный

ее

рас

стоянию от оси вращения. При этом

все тело поворачи

вается на угол,

равный

приблизительно

57°17' (один

радиан).

выражающие

угловую

скорость

вращения:

Формулы,

о)

— 2т

(2),

<о =

—до— и

0,1 N,

2а)

где ш — угловая скорость

1/сек,

п — число

оборотов

в секунду, N — число оборотов в минуту.

которое

тело

Если Т — период вращения

(время,

за

совершает полный оборот), то

Т =

и формула

(2)

при

нимает вид:

(3)

7. Линейная скорость при вращении

Скорость, с которой движемся отдельная точка вра щающегося тела, называется ее линейной скоростью. Она выражается формулами:

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2111 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ