Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Справочник по элементарной математике, механике и физике.-1

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.10.2023

Размер:

4.21 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 215 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Алгебра

13. Возведение в степень

Произведение п одинаковых множителей: а • а . . .а называется п-й степенью числа а и обозначается символом ап (читается: «а в п-й степени»). Нахождение п-й степени числа называется возведением в степень.

П р и м е р : Возвести 2 в 5-ю степень. 25 = 2 - 2 - 2 -

• 2 ■2 = 32.

Число а, которое берется несколько раз множителем,

называется основанием степени, а число п, показывающее,

сколько раз повторяется основание, — показателем сте


пени.	Так, в данном примере (2б =				32) число 2 — основа
ние,	число 5 — показатель,			число 32 — степень.
2-я степень (а2) иначе				называется квадратом числа		а
(читается		«а	квадрат»); 3-я степень		(а3) — кубом числа	а
(читается		«а	куб»).

14. Извлечение корня

Извлечение корня есть действие, посредством которого по данной степени и данному показателю степени находится основание степени. Так, если 25 = 32, то извлечение корня 5-й степени из 32 есть действие, посредством которого по данной степени (32) и данному показателю степени (5) на ходится основание степени (2). Для обозначения действия

извлечения корня служит знак У , называемый знаком корня, или радикалом, а самое действие обозначается для

нашего примера так: У~32 = 2; при этом число 32 назы вается подкоренным числом, число 5 — показателем корня,

Алгебра	41
а результат действия (2) — корнем (корнем 5-й	степени
из 32).
Корень 2-й степени (j/~ а) иначе называется	квадрат

ным корнем из а\ корень 3-й степени (i/~ a)—кубическим

корнем из а. Вместо а всегда пишут просто У~а, опу ская показатель (2), который подразумевается.

15. Знак перед корнем

При извлечении корня нечетной степени из числа а по лученный корень имеет тот же знак, что и подкоренное

число. Так, j/ 125	= 5, у/~ — 32 = — 2.	При извлечении
же корня четной степени из положительного числа			полу
чаем два решения	с разными знаками.	Так, УТб =	+ 4 и

1^16 = — 4 (сокращенно записьшают]/Тб = ± 4). Корня же четной степени из отрицательного числа извлечь не возможно (в этом случае говорят, что значение' такого корня мнимое).

16. Действие со степенями и корнями

Действие

Степень произведения . .

Степень частного (дроби)

Умножение степеней с одинаковыми показателями

Правило

(обе...)" = ап Ьп сп...

- ( Л - \ п ап

ы —

ап Ьп сп ... = (abc...)n

Алгебра

Действие

Деление степеней с одина ковыми показателями . . . .

Умножение степеней с одинаковыми основаниями .

Деление степеней с одина ковыми основаниями . . . .

Возведение степени в сте

пень .............................................

Корень из произведения .

Корень из частного (дроби)

Умножение корней с оди наковыми показателями . . -

Деление корней с одинако выми показателями . . . .

Возведение корня в сте

пень .............................................

Извлечение корня из сте

пени .............................................

Извлечение корня из корня

Продолжение

Правило

а 1

/ _£_\ я

7Г ~ ( ь )

“

т 4-п

“

т .

т — п

-------— = а

<a m)n -

атп

п --------

П ----- и ----- Пг—

abc — у

у b у

У Т

V ь~ у т

Пг— Пг--- П,-----

f i r -----

*" у

obc

П/—

V T

(ут)р

V 7 -

< У Т У

				Алгебра							43
17.	Первая, нулевая, отрицательная н дробная степени
Для таких степеней приняты следующие условия:
а1 = а			(напр. З1 =	3).		число			в	нулевой
о0 =		1	(напр. 3° =	1. «Всякое		число			в	нулевой
степени дает единицу».)
			1	( напр. з ~ 2 = -^1
		аг~п ~ а"		( напр. з ~ 2 = -^1
		1	Я	( напр. 3 2		=. Y			3 )
		а /1	= / а	( напр. 3 2		=. Y			3 )
		т		/	2				\
		а п		1,напр. 3 5		= \|/ З1)
		т	1	(		2			1
		п	1	1 ...			—5		1
				1 напр. о			—5		г—
				\				/	з*.
	18.	Извлечение квадратного корня						из чисел
П р и м е р :			Извлечь квадратный		корень			из	123904
Р е ш е н и е :
У \2 '		3 9 '	04 = 3 5 2	Разбиваем		данное				число на
65	3 3'9			грани (справа,			по		две	цифры):
65	3 3'9			12'39'04. Из		первой			грани		(12)
5	3 2 5			извлекаем	корень				точно		или
70 2		1 4 0 '4		приближенно ( V				12	»	3);	полу
	2	14 0	4	ченное число		(3) есть 1-я цифра
				искомого корня.			Из 12			вычитаем


44		Алгебра
З2 и к остатку (3)		приписываем		следующую		грань	(39).
Затем	удвоенную	1-ю цифру (6) приписываем слева от по
лученного числа (339), оставляя				между	обоими числами
свободное место для еще			одной цифры;		оба	числа	отде
ляются	друг от	друга	вертикальной		черточкой.		Деля

число десятков (33) полученного числа (339) на 6, полу чаем 2-ю цифру (5) искомого корня (она может быть и ну

лем). Ее записывают		в трех	местах — в	ответе,	рядом
с цифрой 6 и ниже;	полученные слева от черты два числа
перемножаются (65-5	=	325) и складываются (65 +			5=70).
Произведение вычитаем		из 339	и к остатку	(14) приписы

ваем следующую грань (04). (Если окажется, что вычитае мое больше уменьшаемого, то вторую цифру корня берут на единицу меньше). Для нахождения третьей цифры де


лим число десятков (140)			полученного	числа	(1404)		на
предыдущую сумму (65 + 5 = 70); в данном примере							3-я
цифра — 2, а в	последнем		остатке мы	получили		нуль.
Таким образом,	число	352	является точным		значением
квадратного корня из		123 904. В других		примерах		корень

может заключать и больше цифр; нахождение дальнейших

цифр происходит подобным же образом.						нулю, то		это
Если бы получился остаток, не				равный
означало	бы, что подкоренное число не представляет
точного квадрата.			Так, если извлечь		квадратный корень
из 123 909, то получим остаток 5,				а	потому 352 будет не
точным,	а приближенным значением У 123 909,						что	запи
сывается	так:	У	123 909 яг 352.
19.	Извлечение квадратного корня с заданной
			точностью
П р и м е р :		Вычислить \| / 9511 956				с	точностью
до 0,01.

			Алгебра				45
Р е ш е н и е :
У 9' 5		1'	1	9' 5 6 =		3 0 8 4,1 4
9	5	1	1'	9
608	5	1	1'	9
8	4 8 6			4
61 64			2 5 5 5 ' 6
4			2 4 6 5		6
6 1 6 8	1			9 0 0 0' 0
	1			6 1 6 8		1
6 1 6 8 2 4				28 3 1 9 0 ' 0
		4		24	6 7 2.9		6
				3	6 4 6 0		4

20. Простой способ извлечения квадратного корня

Пусть требуется извлечь корень из какого-нибудь чис ла, например 10. Нетрудно видеть, что искомый кбрень будет больше 3. Так как подкоренное количество равно произведению двух своих квадратных корней, то если один из них х будет по недостатку, то другой у будет по избытку:

ху = 10,

Внашем случае х = 3, следовательно

Истинный корень заключается между обоими этими значениями; положим, что он будет равен среднему арифме

46	Алгебра
тическому от них; тогда:
к т о = -g-(* + л =		(з + 3 4 " ) = з 1 /в -
Если	мы хотим получить	еще более точное значение,

то поступаем с найденным значением точно так же:

У ~ м = ~2~(3_6 " + 3vr) = _2'(3-6- + Зтэ)==3-162-

Для инженерных расчетов первое приближение бывает, однако, вполне достаточным.

21.Квадратные уравнения

Квадратное уравнение с одним неизвестным после алгебраических преобразований может быть представлено в виде

ах2 -|- Ьх + с = О

или в так называемой приведенной форме (если а — 1):

хг + рх + q = 0.

Если коэффициенты Ь или с равны нулю, квадратное уравнение называется неполным.

Квадратное уравнение может иметь два решения, одно (в этом случае говорят, что оба решения совпадают) или — ни одного (в этом случае говорят, что решения мнимые).

Алгебра

22.Формулы решения квадратных уравнений

Вид уравнения

По л н ы е

кв а д р а т н ы е

ур а в н е н и я :

ахг + Ъх + с = 0 (общий вид)

д? + рх + q = 0

(приведенное уравне ние)

Н е п о л н ы е

кв а д р а т н ы е у р а в н е н и я :

ахг + с = 0

ах3 + Ьх = 0

Формула решения

„ — b ± W — 4ас 1 2а

или

- 4	* V ( 4 ) - -
*12 =	а

(Эту формулу удобно применять, если b — четное число).

f ± У Ш * - «

(Эту формулу удобно применять, если — четное число).

■*1,2= ± ) / " -----~

х. = 0. x, = - ±

Алгебра

23.Действительные и мнимые решения квадратных

			уравнений
а) Для полного			квадратного уравнения.						имеет
Если	Ь”— 4ас > 0,			то	квадратное		уравнение		имеет
два действительных различных решения.
Н а п р и м е р : 2х2 + х — 1 = 0;
	1 ± V 1 + 8				1 ± 3 .	_		1
					1 —	,ЛС1-	-	г ’ **”
Если	62 — 4ас =		0,	то	квадратное		уравнение		имеет
два действительных			одинаковых решения					(«два решения
совпадают»).
Н а п р и м е р : х2— 6х + 9 = 0;
	г	_	6 ±	у 36 - 36
Если	Ь2— 4ас < 0,			то	квадратное		уравнение		имеет
два мнимых решения.
Н а п р и м е р : Зх2— х + 5 = 0;
	* _ 1 ± ] /Г ^ б О _ 1 ± У ^ 5 Г
	-------------e—				;----------- 6—
б)	Для	неполного			квадратного		уравнения		1-го ро
(ах2-j- с = 0). Если			а и с разных знаков,					то оба решения,
действительные.
Н а п р и м е р :
4*2 — 9 =		0;	= ±		] / - \| - =		±	4 "

Если а и с одинаковых знаков, то оба решения мни мые.

					Алгебра					49
Н а п р и м е р :				4х2 +	9 =	0;	х из	— ±	у — -JL.
в)		Неполное квадратное					уравнение		2-го	рода (ад:2 +
+ Ьх = 0)		имеет		всегда	два		действительных			решения,
одно из них — нуль.
	24.	Свойства корней квадратного							уравнения
Если		х1	и	х« — корни			квадратного			уравнения
ах2 +	Ьх + с =		0,	то
				*1 +			Ъ
				*1 +	*2 — — д
				Xj • ха =		+	— .
В	частном		случае, если			а = 1		(приведенная форма
х2 +	рх +	q =	0),	то
и				1 + 2 =			— Р
и

*1■* 2 = + <7 -

Этими формулами удобно пользоваться для проверки решения квадратного уравнения, а также для составле ния квадратного уравнения по заданным его корням.

25. Разложение трехчлена 2-й степени на множители

Если х1 и х 2— корни трехчлена 2-й степени ах2 +

+	Ьх +	с	(т. е. корни квадратного уравнения ах2 + 6x 4 -
+	с =	0),	то
			ах2+ Ьх + с = а (х — х,) (х — Х+

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 215 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ