книги из ГПНТБ / Основы автоматического управления
..pdf280 г л . 7. М ЕТО ДЫ И ССЛЕДО ВА Н И Я ТОЧН О СТИ Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ
называется коэффициентом статической ошибки или коэффициен том ошибки по положению. Системы, для которых с0 ф 0 , отра батывают постоянный сигнал с установившейся постоянной ошиб кой, отличной от нуля. В самом деле, при тх (t) = х0 = const формула (7.3.12) дает е = СоХ0.
Системы, для которых с0 = 0, называются астатическими. Астатические системы отрабатывают любой постоянный сигнал
вустановившемся режиме без систематической ошибки. • Величина
сІ = |
ф '(0 )-Ф ;(0 ) |
(7.3.14) |
называется коэффициентом |
ошибки по скорости. |
Если с0 = 0, |
Cj ф 0, то система отрабатывает сигнал, изменяющийся с постоян ной скоростью, с постоянной установившейся ошибкой. Действи тельно, при тх (і) = х 0 + vt, с0 — 0 , Сі Ф 0 установившаяся систематическая ошибка системы согласно (7.3.12) равна е = с4і;.
Наконец, |
величина |
|
|
с2 = 1[Ф "(0)-Ф И 0)] |
(7.3.15) |
называется |
коэффициентом ошибки по ускорению. |
Если с0 = |
= Сі = 0, с2 |
Ф 0, то система отрабатывает сигнал, изменяющийся |
|
с постоянным ускорением, с постоянной установившейся ошиб-
кой, так как при тх (t) = х0 + vt-\- at2, с0 = су = 0 , с2 фО
установившаяся систематическая ошибка системы согласно (7.3.12) равна е = с2а.
Для следящей системы Фт (s) = 1 и формулы (7.3.13), (7.3.14),
(7.3.15) |
и (7.3.11) для коэффициентов ошибок принимают вид |
|||||
|
с0 = Ф(0) —1, |
сг = ^ Ф 'г'(0) |
(г = 1,2, ...). |
(7.3.16) |
||
Отсюда |
видно, |
что для |
астатической |
следящей |
системы |
всегда |
должно быть выполнено условие Ф (0) |
= 1, т. е. |
значение переда |
||||
точной функции |
(а следовательно, и |
частотной |
характеристики) |
|||
в начале координат должно быть равно единице.
Формула (7.3.12) показывает, что если первые к + 1 коэф фициентов ошибок равны нулю: с0 = = . . . = Ck = 0 , то систе ма отрабатывает без установившейся ошибки любые входные сигналы, представляющие собой полиномы не выше чем к-й сте пени. Чем большее количество первых коэффициентов ошибок равно нулю, тем более разнообразные полезные сигналы система отрабатывает без установившейся ошибки, т. е. тем совершеннее система с точки зрения передачи полезных сигналов при отсут ствии помех. Поэтому среди астатических систем различают астатические системы различных порядков.
§ 7.3. УСТАНОВИВШ И ЕСЯ СИСТЕМ АТИЧЕСКИЕ ОШ И БКИ |
28t |
Астатической системой первого порядка называется система, для которой с0 = 0, с, ф і . Астатической системой второго порядка называется система, для которой с0 = = 0 , с2 =5^=0 .
И вообще астатической системой к-го порядка называется система,
для которой с0 = Сі = . . . = ch_I = 0, cs ф. 0. Астатические системы первого порядка отрабатывают без установившейся ошибки любые постоянные сигналы. Астатические системы второго порядка отрабатывают без установившейся ошибки любые постоянные сигналы и любые линейные функции времени. Вообще астатиче ские системы /і -го порядка отрабатывают без установившейся ошибки любые сигналы, представляющие собой постоянные или полиномы относительно времени не выше к — 1 -й степени.
П р и м е р 7.3.1. Фильтр RC с постоянной времени RC = Т предна значен для отфильтровывания от помехи различных полезных сигналов, представляющих собой постоянные величины, или линейные функции вре мени, или квадратные трехчлены относительно времени. Найти коэффициенты
ошибок фильтра и установившиеся систематические ошибки. Передаточная функция фильтра определяется формулой
ф (‘) = т і г 7 - |
(7.3.17) |
Дифференцируя эту формулу и полагая после этого s = 0, получим Ф (0) = 1, Ф' (0) = —Т, Ф" (0) = 2Т2.
По своему назначению рассматриваемый фильтр является следящей системой.
Поэтому коэффициенты ошибок определяются для него по формулам (7.3.16). В результате находим
с0 = Ф(0) —1 = 0, Сі= ф '( 0 ) = - 7 ’, с2 = і ф '( 0 ) = Г2. |
(7.3.18) |
Таким образом, рассматриваемый фильтр является астатической системой первого порядка. Для случая полезных сигналов, представляющих собой квадратные полиномы относительно времени:
тх (0 = х0 + vt + - у at2, |
(7.3.19) |
где величины х0, ѵ и а представляют собой соответственно начальное значе ние, начальную скорость (т. е. начальное значение первой производной) и начальное ускорение (т. е. вторую производную) полезного сигнала, фор мула (7.3.12) дает следующее выражение установившейся систематической ошибки фильтра:
е (г) = — Т (ѵ + at) + аТ2. |
(7.3.20) |
Пр и м е р 7.3.2. Найти коэффициенты ошибок по положению, скорости
иускорению для следящей системы, исполнительное устройство которой представляет собой двигатель постоянного тока с электромеханической
постоянной времени Т2, а корректирующее дифференцирующее устройство включено в прямую цепь. В этом случае система состоит из последовательно соединенных дифференцирующего звена с передаточной функцией
1 -[- TtS
Ф і («) = * ! 1 + 7V ’
282 г л . 7. М ЕТО ДЫ И ССЛЕДО ВА Н И Я ТО ЧН О СТИ Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ
апериодического звена с передаточной функцией
°2(s)= r f e
иинтегрирующего звена, охваченных жесткой отрицательной обратной связью (рис. 7.3.1). Первое из этих звеньев преобразует параметр управления следящей системы, представляющий собой разность между входной и выход ной переменными системы. Второе вырабатывает скорость изменения выход ной переменной по данному преобразованному (скорректированному) пара
метру управления. Третье звено вырабатывает выходной сигнал следящей
Рис. 7.3.1.
системы путем интегрирования скорости его изменения. Само собой разу меется, второе и третье звенья физически представляют собой одно целое — исполнительное устройство следящей системы.
Передаточная функция рассматриваемой следящей системы, согласно формулам § 4.6, равна
Ф(*) = |
________ к\к2(1ҢHs)_________ |
(7.3.21) |
||
h h |
(1+ Ti») + s (1 + 7 » (1 + TV) |
|||
|
||||
Дифференцируя эту формулу дважды, полагая s = 0 и пользуясь форму лами (7.3.16), находим коэффициенты ошибок рассматриваемой следящей системы:
с0= 0 , ct = - |
1 |
1 |
. |
кік2 |
ті— |
||
|
|
|
Наконец, пользуясь формулой (7.3.12), находим установившуюся системати ческую ошибку рассматриваемой следящей системы для случая входного полезного сигнала, представляющего собой квадратный трехчлен (7.3.19) относительно времени t:
е (<) |
v-\-at |
(7.3.22) |
|
кік2 |
|||
|
|
Легко видеть, что для того, чтобы замкнутая следящая система была астатической к-то порядка, достаточно, чтобы передаточная функция разомкнутой системы Ф4 (s) имела в начале координат полюс к-го порядка:
ф 1(*) = ^ - т 1(*), Т 4 (0 )^ 0 . |
(7.3.23) |
Действительно, из (4.6.8) следует, что передаточная функция замкнутой следящей системы в данном случае выражается фор мулой
Ъ («) |
1 |
( 7 .3 .2 4 ) |
Ф ( * ) = sM-'Ms) |
sh |
|
|
1+ |
|
§ 7.3. УСТА Н О ВИ ВШ И ЕСЯ СИСТЕМ АТИЧЕСКИЕ ОШ И БКИ |
283 |
Так как Tj (s) — аналитическая функция в окрестности начала координат и Т"і (0 ) =^=0 , то при достаточно малых s правая часть формулы (7.3.24) может быть представлена в виде сходящейся геометрической прогрессии
s2 h
Ф (*) = 1 |
Ті (») |
|
Дифференцируя эту формулу к раз и полагая в полученных фор мулах и в (7.3.24) s = 0, убеждаемся в том, что
Ф (0) = |
1, Ф'(0) = |
. . . = Ф < й- 1 >(0) = |
0, Ф,к,(0) = - ^ |5Г. |
||
Подставляя |
эти |
выражения в |
(7.3.16), |
убеждаемся в том, что |
|
в данном случае |
с0 = с4 |
= . . . |
= cfe_t = |
0, ch ф 0 , что и доказы |
|
вает высказанное утверждение.
Заметим, что для справедливости формул (7.3.8) и (7.3.10) необходимо, чтобы входной полезный сигнал тх (t) мог быть ■представлен рядом Тейлора (7.3.2), сходящимся при всех значе ниях Поэтому практически формулы (7.3.8) и (7.3.10) приме нимы только для сигналов, представляющих собой полиномы относительно времени. При этом ввиду того, что для сложных систем частотные характеристики обычно определяются прибли женными методами, чаще всего графически, точное определение производных передаточной функции по существу невозможно. Вследствие этого практическое применение формул (7.3.8) и (7.3.10) обычно ограничивается случаями постоянных полезных сигналов или сигналов, представляющих собой полиномы первой или второй степени относительно времени.
Установившиеся систематические ошибки стационарной линей ной системы можно вычислить также другим методом, если извест
на частотная характеристика системы. |
можно |
|
Предположим, что |
входной полезный сигнал тх (t) |
|
приближенно представить тригонометрическим полиномом |
|
|
|
П |
|
тх (t) = |
а„ + 2 («г cos согг+ Ьг sin соTt). |
(7.3.25) |
|
Г = 1 |
|
Тогда на основании принципа суперпозиции установившееся значение математического ожидания выходной переменной систе мы определится формулой
ту (г) = ф (0) а0+ 2 1Ф (icor) I {агcos [cor£ + arg Ф (ісог)] +
г = 1
+ Ьгsin [cür£-f-arg Ф (шг)]). (7.3.26)
Таким образом, зная амплитудную и фазовую частотные характе ристики стационарной линейной системы, можно весьма просто
284 ГЛ . 7. М ЕТО ДЫ И ССЛЕДО ВА Н И Я ТОЧН О СТИ Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ
находить ее установившиеся систематические ошибки для любых входных полезных сигналов, которые могут быть приближенно представлены тригонометрическими полиномами.
Формула (7.3.26) легко обобщается на случай сигналов, кото рые можно с достаточной точностью представить суммой синусоид
с амплитудами, изменяющимися по показательному |
закону. |
|
В этом случае |
|
|
П |
|
|
тх (t) = 0 0 ^°*+ S |
е>1'1(агcos ®rt + Ьтsin (£>rt) |
(7.3.27) |
r = |
l |
|
и на основании принципа суперпозиции установившееся значение математического ожидания выходной переменной системы опре делится формулой
ГПу (t) = |
П |
|
|
|
{атcos [cor<+ arg Ф (рг+ |
|
|
= Ф (По) |
+ 2 I ф (Нт+ гюг) I |
icor)] -f |
|
|
-J- br sin [o)rt + arg Ф (pr + гсог)]}. |
(7.3.28) |
|
Для практического вычисления установившихся систематических ошибок стационарных линейных систем формулы (7.3.26) и (7.3.28) во многих случаях оказываются удобнее, чем формула (7.3.8).
§ 7.4. Определение установившейся дисперсии выходной переменной стационарной линейной системы
Из теории случайных функций известно, что любая стационар ная случайная функция X (t) выражается интегральным канони ческим представлением, координатными функциями которого являются функции еш , описывающие гармонические колебания всех возможных частот:
оо
X(t) = mx+ j V (а>) da, |
(7.4.1) |
—оо
где V (со) — белый шум (т. е. случайная функция ю с некоррели рованными значениями при различных значениях (о), интенсив ность которого равна спектральной плотности sx (со) случайной функции X (t) (см. [54], §§ 5.2, 5.3 и 6.5 пли [53], § 76). Вследствие этого для исследования точности стационарной линейной системы, работающей в установившемся режиме под действием входного возмущения, представляющего собой стационарную случайную функцию времени, естественно воспользоваться методом инте гральных канонических представлений и методом частотных характеристик.
§ 7.4. О П Р Е Д Е Л Е Н И Е УСТА Н О ВИ ВШ ЕЙ СЯ Д И СП ЕРС И И |
285 |
Координатная функция у (t, со) выходной переменной, как установившаяся реакция стационарной линейной системы на гар монические колебания еш , определяется формулой
у (іt, со) = Ф (гео) еш , |
(7.4.2) |
где Ф (гео) — частотная характеристика системы. Подставляя выражение (7.4.2) в формулы (7.2.39) и (7.2.40) и принимая во вни мание, что интенсивность G (со) белого шума V (со) в данном слу чае равна спектральной плотности sx (со) стационарной случайной функции X (t), получим следующие формулы для корреляцион ной функции и дисперсии выходной переменной стационарной линейной системы:
|
ОО |
|
|
Ky(t,t')— ^ |
sx (со) Ф (гео) еіи*Ф (гео) е~ш ' da — |
|
|
|
— ОО |
|
|
|
ОО |
|
|
= |
j |
Мсо)ІФ(йо) |2 *<»<«-*'> d(o, |
(7.4.3) |
|
— ОО |
|
|
|
ОО |
|
|
Dy (t) = |
f |
sx (со) 1Ф (гео) I2 den. |
(7.4.4) |
—ОО
Эти формулы показывают, что при неограниченно долгом дей ствии стационарного случайного возмущения на стационарную линейную систему дисперсия ее выходной переменной постоянна, а корреляционная функция зависит только от разности аргументов. Следовательно, выходная переменная стационарной линейной системы, работающей неограниченно долго под действием стацио нарного случайного возмущения, является стационарной случайной функцией времени. Из формул (7.4.3) и (7.4.4) следует, что спек тральная плотность выходной переменной стационарной линейной системы равна произведению квадрата модуля ее частотной харак теристики и спектральной плотности входного стационарного случайного возмущения:
Sy (о) = s* (со) I Ф (гео) I2. |
(7.4.5) |
Для вычисления установившихся дисперсий выходных сигна лов стационарных линейных систем по формуле (7 .4 .4 ) в случае рациональных функций sx («в) и Ф (s) удобно пользоваться фор мулой
00
Г Ь о ( г ю ) 2 п ~ 2 + Ь і ( і ( о ) 2 п ~ 4 + - . . + Ь п - 2 ( і й ) ) 2 + Ь п - і , |
, |
» |
Р п |
1 I ао(1ш)п+ аі (ко) 7 1 - 1 + .. • + °п-і (ссо)-)-ап р аш |
\ 1) |
а0 |
Ап ’ |
(7.4.6)
286 ГЛ . 7. М ЕТО ДЫ И СС ЛЕДО ВА Н И Я ТОЧН О СТИ Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ
где
С ц |
Cf2 |
■ |
* |
^ І п |
bo |
С1 2 |
• • • |
C in |
|
|
А » = C21 |
с 22 |
• |
• |
С2п I |
D n = b f |
С22 |
• • • |
^2 п |
(7.4.7) |
|
Сп 1 |
£ п 2 • |
• С пп |
b n - 1 |
Сп2 |
* • ■ |
Спп |
|
|||
C p q = a2p-q |
при |
0 < 2 p — q*Cn, |
|
|
|
(7.4.8) |
||||
Срд = 0 |
приТ;2 р — g< 0 |
и при |
2 р — q > n . |
|||||||
|
||||||||||
Для применения формулы (7.4.6) следует представить знаменатель дроби sx (со) I Ф (гео) I3 в виде квадрата модуля полинома относи тельно гсо с неотрицательным» коэффициентами (см. § 7.6), а числитель в виде полинома отно сительно гео (который всегда содержит только четные степени гео). При этом определятся коэф
фициенты а0, Uff |
. . ., ап, Ь0, |
|
bf, . . ., |
1 , после чего можно |
|
будет |
применить |
формулы |
(7.4.6)—(7.4.8). |
|
|
В задачах практики стацио нарная линейная система часто имеет полосу пропускания, уз кую по сравнению с полосой
частот входного возмущения. В таких случаях часто оказывается возможным считать спектральную плотность входного возмущения sx (со) постоянной в пределах полосы пропускания системы и равной,
например, ее значению sx (сор) |
при |
резонансной частоте системы |
|
Юр. Для иллюстрации на рис. |
7.4.1 |
приведены графики функций |
|
I Ф (гео) I2 и sx (о) для этого случая. |
В этом случае формула (7.4.4) |
||
может быть заменена приближенной формулой |
|
||
Dy |
sx ((Op) Aw, |
(7.4.9) |
|
00 |
|
|
|
Дсо= [ |
1Ф (іоо) |2 cZ(o. |
(7.4.10) |
|
Эта величина обычно называется эффективной полосой пропускания
стационарной линейной системы. Таким образом, во многих зада чах исследование точности стационарной линейной системы прак тически сводится к определению ее эффективной полосы пропу скания А со. I» и )-■
Заметим, что применение формулы (7.4.9) по существу равно ценно замене действующего на систему стационарного случайного возмущения белым шумом с постоянной спектральной плот
§ 7.4. |
О П РЕ Д Е Л Е Н И Е У СТАНОВИВШ ЕЙСЯ ДИ СП ЕРС И И |
287 |
ностью sx (сор) |
и интенсивностью 2nsх (а»р) *). Таким |
образом, |
при исследовании действия широкополосного шума на узкополос ную стационарную линейную систему можно с достаточной для практики точностью считать широкополосный шум белым.
Заметим, что формула (7.4.2) справедлива только для случая бесконечно долгого действия гармонических колебаний ега>і на устойчивую стационарную линейную систему. Поэтому и фор мулы (7.4.3), (7.4.4) и (7.4.9) применимы только к случаю беско нечно долгого действия стационарного случайного возмущения на устойчивую стационарную линейную систему. Практически это означает, что формулы (7.4.2), (7.4.3), (7.4.4) и (7.4.9) можно применять только к устойчивым стационарным линейным систе мам, проработавшим под действием ■стационарных случайных возмущений достаточно долго (в течение времени, превосходящего время переходного процесса). К неустойчивым системам, а также к устойчивым стационарным линейным системам, работающим в переходных режимах, формулы (7.4.2), (7.4.3), (7.4.4) и (7.4.9)
неприменимы. Во всех подобных случаях следует пользоваться общими методами, изложенными и проиллюстрированными при мерами в § 7.2. При этом, если поведение стационарной линейной системы описывается дифференциальными уравнениями, то и коор динатные функции выходной переменной у (t, со) будут представ лять собой интегралы дифференциальных уравнений, полученных путем замены входного возмущения в уравнениях системы гармо ническими колебаниями еш , удовлетворяющие нулевым началь ным условиям. Эти интегралы будут представлять собой не чистые гармонические колебания, а результат наложения свободных колебаний на соответствующие гармонические колебания. При этом выходная переменная рассматриваемой системы, как мы видели на примерах § 7.2, уже не будет стационарной случайной функцией. Поэтому теория стационарных случайных функций принципиально недостаточна для исследования точности стацио нарных линейных систем, работающих под действием стационар ных случайных возмущений. Это принципиальное ограничение теории стационарных случайных функций является ее существен ным недостатком и вызывает необходимость изучения и практиче
ского применения теории |
нестационарных случайных функций. |
|
П р и м е р 7.4.1. Решить |
задачу, рассмотренную в примерах |
7.2.1 |
и 7.2.4, для случая неограниченно долгого действия возмущения (<0 = |
—оо). |
|
Подставляя в формулу (7.4.4) выражение (2.6.4) частотной характеристики апериодического звена и выражение (7.2.42) спектральной плотности sx (ш),
*) Из теории случайных функций известно, что стационарная случайная Функция с постоянной спектральной плотностью, равной s0, является ста ционарным белым шумом времени і, интенсивность которого равна 2пч0
(см. [54], § 5.4 или [53], § 76, пример 1).
288 г л . 7. М ЕТО ДЫ И ССЛЕДО ВА Н И Я ТО ЧН О СТИ Л И Н Е Й Н Ы Х СИСТЕМ
получим |
|
|
|
|
n |
№Da |
f |
das |
(7.4.11) |
|
Ѵ~ ~ П ~ |
J |
( « 2 + 0)2) ( l + 7 2 w 2) |
|
|
|
Применим для вычисления интеграла формулу (7.4.6). Для этого представим
(7.4.11) в |
виде |
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к2Da |
dm |
|
|
|
|||
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|||
|
|
Uy~ я |
J |
|Г(іш)2 + (1+ а7’)іо) + а |2 - |
||||||
Отсюда видно, что в данном случае п — 2, |
а0 = |
Т, |
= |
1 + аТ, а2 = а, |
||||||
Ьо = 0, Ьі |
= 1. |
Формулы |
(7.4.8) дают |
|
|
|
|
|||
си — “і = 1 + О.Т, с12 — а0 = Т, с2і = О, С22 |
а2 = а. |
|||||||||
После этого по |
формулам |
(7.4.7) находим |
|
|
|
|
||||
|
Ао = |
1 +«Г т |
= а(1 + а7’), |
D2-- |
0 Г |
Г. |
||||
|
|
|
О |
а |
|
|
|
1 |
а |
|
Подставив |
эти |
выражения |
в |
(7.4.6), |
получим |
окончательно |
||||
|
|
n |
fr2Da / |
л ч я |
— Г |
_ |
k2D |
|
(7.4.12) |
|
|
|
Ѵу = ~іхГ'(' ~ 1)1г a ( i + a T ) ~ l + aT ' |
||||||||
Формулу (7.4.12), конечно, можно получить при Т > |
0 из более общей |
|||||||||
формулы (7.2.14), полагая в ней t0 = |
—оо. Однако в случае неустойчивой |
|||||||||
системы, когда Т < 0, формула (7.2.14) дает при t0 = —оо бесконечную дисперсию выходной переменной. Этот факт иллюстрирует высказанное выше утверждение о неприменимости формул (7.4.3) и (7.4.4) к неустойчивым системам.
Формулы (7.2.14) и (7.2.51) могут также служить иллюстрацией нашего утверждения, что выходная переменная стационарной линейной системы, работающей под действием стационарного случайного возмущения в пере ходном режиме, является нестационарной случайной функцией, так как ее дисперсия зависит от времени t. Дисперсия выходной переменной практи
чески становится |
постоянной только при достаточно больших значениях |
t — t0 и при Т > |
0, когда показательная функция ехр | ---- ^ Іо | мала |
по сравнению с единицей. В этом случае дисперсия выходной переменной может быть приближенно вычислена по формуле (7.4.11) или (7.4.12). Прак тически формулы (7.4.11) и (7.4.12) дают достаточную точность при t — t0+ 37.
Приведенный пример показывает, что изложенная в § 7.2 теория дает общие методы исследования точности линейных систем, в результате применения которых получаются точные формулы, применимые к любым линейным системам, работающим как в установившихся, так и в переходных режимах. В частном случае для устойчивых стационарных линейных систем, работающих под действием стационарных случайных возмущений в установившемся режиме, изложенная теория дает простые формулы (7.4.3) и (7.4.4). Эти формулы определяют точное значение дисперсии выходной переменной системы для случая бесконечно долгого действия возмущения и могут служить для приближенного определения