книги из ГПНТБ / Регулирование качества продукции средствами активного контроля

ной настройки). Для Мт

(р,

q)

будет справедливо

следующее

рек-

курентное соотношение [19]:

м т

(Р, Я) = рМт+1

(Р,

q)

+

çMm.

х{р,

q) +

(1 - р

— g) М„

(р,

q)

•+ 1

с

граничными условиями M-h

= Mk = 0.

Решение

данного

разно­

стного уравнения

можно

получить, следуя работе

[145]:

(158)

Здесь Mo определяет среднее количество

деталей,

изготовленных

до ложной подналадки при условии, что

р = q = Рь-

Из уравнения (158) после раскрытия

неопределенностей

можно

получить

и вероятность ложной

подналадки

На основании

априорных данных

о смещении

центра

группиро­

ражения, можно определить параметры

рассмотренной

системы

(величину подналадочного импульса А, число k и расстояние

меж­

ду контрольными границами b+,

Ь-) так, чтобы принятый

критерий

оценки эффективности системы был максимальным.

Способ подналадки по

алгебраически

набранному

счету

(или

фиксированной разнице)

можно

рассматривать

как

способ

груп­

пирования, если обе контрольно-подналадочные

границы

свести

в одну. Сущность способа подналадки по алгебраически

набран­

ному счету заключается в следующем.

Начиная

с первой

детали,

личину. Такой способ при

относительной простоте дает

хорошее

приближение для выдачи

сигнала на подналадку по усредненному

размеру контролируемых

деталей и учитывает влияние

мгновенно­

нологический процесс обработки деталей характеризуется

относи­

тельно большой величиной ovc/u. ^

1,35 (здесь

|ы — интенсивность

систематического смещения уровня

настройки, а о>; — среднеквад-

ратическое отклонение случайных

погрешностей

настройки),

мож­

но существенно

повысить точность

и стабильность размерной на­

стройки станков

двусторонним

регулирующим

воздействием

(на

деталь и от детали). Наиболее

эффективным (в смысле

точности

получения размеров) в этом случае оказывается

способ подналадки

или иную

зону вызывает соответствующий сигнал

на

подналадку

импульсом, величина (модуль)

и знак

которого

соответствует кон­

кретной зоне.

Ниже

подробно рассматривается данный способ

подналадки и

приводится его расчет точности при использовании

самокорректи­

рующейся

комбинированной

системы

(СКС)

(см. гл. V I I I , § 36)

применительно к двум наиболее характерным случаям

изменения

регулируемого размерного параметра.

возмущений:

возмущения в виде систематической

закономерной линейной

функции времени (трент) — at, вызванные

в основном

износом ин­

струмента;

возмущения в виде случайной функциональной коррелированной

последовательности — [i(t),

вызванные

колебаниями

температур­

ного режима и медленными изменениями уровня

настройки обору­

дования;

возмущения в виде собственно случайной

некоррелированной

последовательности — £(0>

вызванные

в

основном

колебанием

та. Если каждому дискретному моменту

времени поставить в со­

ответствие порядковый номер детали (t =

1, 2, 3, ... , п),

то

значе­

ние регулируемого параметра

(размера)

определится

из

уравне­

ния

Х(п) = a *

+ j i ( « ) +

t ( * ) ,

(159)

причем математическое

ожидание

M

[у. (п)] =

М[г(п)]

= 0.

зультат ограниченной точности

оборудования, причем стабилиза­

ция регулируемого размерного

параметра за счет уменьшения 1{п)

нение СКС

имеет смысл

только

при апФО

и (или)

\і(п)ф§

[см. формулу

(159)].

Задача аналитического

расчета

точности

подналадки

при ис­

делении оптимальных параметров размерной настройки

(величины

импульса регулирования Л и сигнально-подналадочных границ ±Ь),

обеспечивающих на выходе подналаженного процесса

минимально

воначального уровня настройки.

Приведенный

ниже

расчет

вы­

полнен

для конкретной системы О К Б 1 с заданными

параметрами,

которая

является

наиболее

общей

среди всех

описанных

ниже

систем

подобного

типа,

и

поэтому все полученные

соотношения

можно

использовать при

расчете этих систем, учитывая

алгоритм

и особенности каждой системы.

Расчет погрешности подналадки при линейно изменяющемся

возмущении

(тренте)

Изменение регулируемого

параметра

(размера) в виде

систематической (за­

ческих процессов обработки деталей массового производства на

металлорежущих

станках, где возмущение связано в основном с интенсивным износом

инструмента.

Д л я этих процессов значение

регулируемого

размерного

параметра

определяется

уравнением (159) при ц (и) =

0. Ниже для

этого случая

приводится

расчет точ­

ности подналадки при использовании самокорректирующейся

комбинированной

системы ОКБ .

Самокорректирующаяся комбинированная система (СКС) применяется для

регулирования (подналадки)

металлорежущих станков с целью

стабилизации ре­

грешность процесса регулирования

с подналадкой, можно представить

в виде

X (и) =

an +

С (и) -f- Z (п),

(160)

где an — систематическая (закономерная)

линейная составляющая

погрешности

(трент) ;

с(я)

— случайная

составляющая погрешности;

Z(n)—корректирующее

воздействие механизма

регулирования.

1

См. гл. V I I I ,

§

36.

t :

чения осуществляется оценкой ожидаемого

значения

Х(п) на основании

измерен­

ных значений Х(п

— 1), Х(п — 2),

Х(п

— N) и

введением корректирующего

воздействия Z(n),

которое должно

компенсировать

составляющую an.

Предлагаемое решение существенным образом отличается от других систем

регулирования размеров. На измерительное

устройство поднастройщика

(рис. 59)'

поступают

выборки деталей, обработанных на станке. Оптимальное число деталей

в^ выборке

устанавливается

исходя из конкретного

технологического

процесса.

Как показали исследования,

при автоматизированной

обработке деталей

на стан­

MP

ИУП

- OA і

С — станок; MP — механизм

регулирования;

CA—стати­

стический анализатор;

ИУП

— измерительное устройство

поднастройщика;

ОД — образцовая

деталь

мация о

величине

отклонений

размеров

деталей

выборки

Х(п — 1), Х(п — 2),

Х(п

— jV) от

заданного номинала

и

о принадлежности

отклонений опреде­

ленным

зонам.

п — 1, п — 2, . . . .

Пусть

/ — номер детали,

принадлежащей

выборке, т. е. / =

n—N;

X(/)

— отклонение

детали и

ф(у) — обозначение

зоны

расположения от­

клонения /-ой детали.

Тогда

(/) определяется следующим

образом:

+

2 при

/>з

< * ( / ) ;

+

1 при

bi

< X

(у) <Ь а;

•1(f)

)

0 при

— Ь1

<

I ХЦ)

\ <

lh;

Z(n)

= A 2 <Р(А

( 1 6 1 )

j=n-N

где А — величина импульса регулирования;

<р(/) —сигнал, соответствующий ф ( / ) .

Вся получаемая информация

обрабатывается в статистическом

анализаторе

ходе

статистического анализатора после окончания измерения детали с номером

(п—1)

появляется сигнал ср(я),

который может иметь

один из пяти

уровней

( + 2 ;

+ 1 ; 0; — 1 ; —2) и является

некоторой функцией

совокупности

значений

Сигнал

ф(я)

подается

на

поднастройку

оборудования

согласно

принятому

алгоритму

системы (в данном

случае по так называемой скользящей

выборочной

медиане)

в том случае,

когда

любые

УѴ/2 деталей выборки

выходят за

соответст-

«ующие

границы

зон расположения

отклонений.

Этот

алгоритм сформулирован

следующим

образом:

і

+ 2/1, если, в —2-ой зоне более или

равно N/2

деталей, а в +2- ой зоне менее N/2

деталей;

+ А, если число деталей в —1-ой и —2-ой

зонах

более или

равно N/2

и в —2-ой

зоне

менее N/2

(при этом число деталей в

+1-ой

и +2 - ой

зонах также менее N/2) ;

=

{ —Л,

если

число

деталей в +1 -ой

и +2 - ой

(162)

зонах

более или

равно УѴ/2 и в +2-ой

зоне

менее N/2

(при этом число деталей в —1-ой

и —2-ой

зонах

также менее

N/2;

—2А,

если в 4-2-ой зоне

более или равно

N/2

деталей, а в —2-ой зоне

менее N/2

деталей;

О во всех

остальных случаях.

1

t' =

Л"п,ах — Хтіп

.

,

A-'- 6 s — С ,

— С 8 + 0 , 5 . Ѵ д

,

,

•

- f

1 —

4-

і,

d

d

^

где d — наибольший общий делитель а и А.

Координата

любого из ѵ этих положений

на оси определяется величиной

X ( n ) - * m l n

+

( ! i + l ) d ,

(165)

где fi =

1, 2,

.. . ,

и —порядковый

номер

положения

центра

группирования.

Ниже излагается

методика

определения

закона

распределения

А (га)

при

п—»-оо,

разработанная на основании

работы

[119]. Применяя ее, можно

сравнивать

результаты,

получающиеся

при

использовании

различных

параметров

А,

±Ьу

я &2 описываемой

системы

регулирования

и параметров

о н а

исходного

техноло­

гического процесса обработки (процесса без

регулирования),

а

также

результаты

использования других подобных систем регулирования

размеров.

Рассмотрим поведение системы в такой

момент

времени п, когда

в

момент

tri <

п произошла

последняя

поднастройка.

Положение

центра

группирования

Хц(п)

— Х(\і),

причем Х(ц)

имеет

ряд

значений

согласно

выражению

(165).

Вероятности попадания всех возможных значений

Х{\і)

в

соответствующие

зоны в этом случае определяются системами

уравнений:

k,

+ 2 ) =

1 — Ф

[b3 —

Х(ц)

- i -

ka];

Р(и,

k,

+1)

=

Ф[Ьг

— Х(іі)-г-ка]

—

ФІЬ1

— Х(ц)

+

ка];

Р (ix,

k,

0) = Ф ]b, —

X

(<х) +

ka]

— Ф [— bx

— X

(;x) +

ka];

Я(;х,

k,

—

1)--=Ф[—Ь!

— X(;j.)

+

ka]

—

Ф \—

h

— X

([>.)+-ka\;

P(;x,

k,

— 2) =

Ф [— b%

—

A'(;x) +

ka].

При этом для

любого значения

|і и k

должно

быть

/

=+2

1=-2

где

Р(ц,

k, I)—вероятность

того,

что

деталь,

изготовленная

в

момент,

когда

центр группирования

находился

в

точке [ А ( р ) — k a ] ,

попадает

в 1-ю зону;

k =

0;

1 ; 2,

. . . ,

N —

1 ;

,

/ — число зон

распределения

(для

рассматриваемого

случая

/ =

5).

Состояние системы в момент п характеризуется двумерным вектором г с ком­

понентами Хо(п)

и

t(n),

где Хо(п)—координата

центра

группирования в

мо­

мент га; t(n)

— величина,

характеризующая

время,

прошедшее

с момента

послед­

ней поднастройки до момента га. Если

последняя

поднастройка

произошла после

т-он

детали,

то

t (п) = п — m

при

п — m <

N +

1 :

t(n)

= N-\-\

при

п —

m>N-~\.

При

выборочном контроле

величина

(га — т)

кратна

N.

Найденные

вероятности

возможных

состояний

системы в

момент

времени

(га + 1), если

в момент времени

я система находилась в состоянии

[Х0(п) — Х(ц);

і(п)

= Г], позволили

произвести

расчет

вероятностей

для

случаев

T^N

и 7"> N.

Если в момент га состояние системы

было [А(ц.);

7"] и Т~> N,

то

система

в

момент

(п + 1)

может перейти из этого состояния в одно из следующих пяти состояний:

Р[Х0(п+1)

=

Х(р.)

+

а+2А;

t(n+

1) -

1] • ••-/?+ 2 ((*,

Т);

Р[Х„(п+

1) =

Х(ѵ.)

+

а +

А;

/ ( л + ! ) . - =

1]

R

•х

(|х,

Т);

Р]Х0(п+\)

=

Х(і>.)+а;

t(n+

1) =

J V + 1 ]

=

« e ( ( i ,

7");

(166)

P

[Ao (n

+

1) =

X

fr)

+

a -

A;

t (n +

1)

1] -

/?_, (fx,

T);

Я

[Л'(1

(л

4- 1) =

*

fo)

+

в -

2Л;

* (л +

1) =

1 ] •-- R_2

(.*,

7").

При

этом

Яо(ц,

7")

+

Ri(ii,

Т)

Т)

+ / ? - 2 ( | х ,

Г)

+ / ? + 2

( ц ,

Г)

-

1

и никаких других состояний, кроме указанных в системе (166), быть не может.

Определим правые части системы (166). Согласно заданному алгоритму (162),

вероятность того, что в исходном состоянии [Х(\і],

Т] и Т>

N

потребуется

подна-

стройка

на

величину

+2А,

т. е. вероятность

перехода

в

следующий

(я +

1)

мо­

мент в состояние [Х(ц)

+

а + 2А,

1]

/V

(

N

N

\

/ ? + 2 ( и ,

т) =

2

S

Q

(и,

иь

. . . , « » ) - < ?

I*.

y

-

°

' ° - °

- т

' ( 1 6 7 )

B.-JV/2 "2

«5

\

где

суммирование

ведется

по

всем

«і,

. . . , Us так,

что

Uf +

• • • +

и5

= N

и

" ^ ' M i ^ A f ;

Q ([л, Ui, . . . ,

иь), — вероятность того, что при положении центра

груп­

пирования,

определяемом

условием

Х0(п)

=

Х()л),

детали

с

номерами

n,

n — 1,

п — 5 распределятся

по зонам в следующем порядке: «і

деталей

в

зоне

+ 2 ;

яг в зоне

+ 1 ; из в зоне 0;

И4 в зоне —1 и и$ в зоне

—2.

Вероятность того, что в том же исходном состоянии потребуется

поднастрой-

ка на другую из величин,

предусмотренных

алгоритмом

(162),

выражается

сле­

дующими зависимостями:

вероятность подиастройки на

+А

Л'-2

S

R+ib,

т)=

2

q ( ! * . « ; . " «

« • ) +

Л - 1

+

Ü

S

Qo^.

«г

и6)+

2

2

со*,

«

г

- и

»

и

1

6 8

>

• ѵ

,

«з

«5

„

N "а

"s

«»=

g-

~

" * =

Т"

где суммирование

производится по всем

иг, . . . , и 5

так, что

N

N

N

« 2 +

. . . + U f t = /V — их

и м 4 + и 6 < ~ , а и і =

— — 1, ы" = — — 2,

и

= —

— 3;

1

2

вероятность подиастройки на —А

Л'-2

N-1

/ г _ і ( > .

7")=

2

S

<г (р.. «1

«д) +

2

3

Q x

Л

S

X

((I,

« ь

г / ' ) +

2

Q f e

"1.

« р ,

(169)

Л' и,,

и.

где суммирование

производится по всем Ui,

. . . ,

Urk так, что Ыі +

. . . +

Ui =

jV — и 5

и и, + и2

N

N

,

N

N

< — , a V = — —

1, ы5 " = — — 2, u 5 ' " = у — 3;

вероятность подиастройки на —1А

я _ 2 ( ; А , г ) =

2

2

с ^ .

« » ) - < ? ( p . V ' °' °- °' " f " ) ' ( І 7 0 )

Л' « 1 , и ,

2

10—2891

145

где

суммирование

производится

по

всем

иі,

. . . ,

иь

так,

что

и,

+

. . . +

Us = N

N

и,

—

< и 5 < Л ' .

Вероятность того, что в этом состоянии поднастройка не потребуется, соглас­

но алгоритму (162), будет

иметь

вид

- 2

/?о(.".

Г)-Л

—

2

Ri (ri

(I = +

2;

+

1;

0;

-

1;

-

2).

(171)

i = + 2

На

основании

(167) — (171)

можно заключить,

что

вероятность

перехода из

одного

состояния в другое

Ri

((х)

при

всех значениях і может быть

представлена

в виде явной функции от ц, не зависящей от номера детали

п.

Вероятность перехода

системы, находящейся

в данный

момент я

в

состоянии

г — а, в состояние г = ß в следующий

момент (п +

1) обозначим как Paß-

Соглас­

но выражению

(166), Р ^ФО

может иметь

место

только

для ß = a + a;

ß = а +

+ а — А; ß = а

+

а + Л;

ß = а + а +

2Д;

ß =

а

+

а —

2А.

Подставляя

в

выражение

(166)

значение

Х([і)

из

(165)

и

учитывая

(164),

получим Я 0 р в виде явной функции а

и ß параметров

системы.

Таким образом, процесс изменения состояний системы образует простую од­

нородную цепь Маркова с конечным

числом состояний и дискретным

временем.

Найденный закон этой цепи выражается матрицей перехода

W

i

i

•••Pic

РцРю

• • • Ргс

(172)

логического процесса и от параметров А,

±Ьі

и ± ô 2

системы

регулирования.

Из теории цепей Маркова [64, 126,

132]

можно

показать, что матрица (172)

не имеет несущественных состояний и является циклической.

Можно также показать, что все существенные состояния

рассматриваемой це­

матрица (172) не имеет изолированных подгрупп

состояний.

Как известно из теории цепей Маркова [64, 126, 132], путем одновременной пе­

рестановки строк и столбцов с одинаковыми индексами матрица

(172)

может

быть

приведена к нормальному виду

' о

о

, о

0

о

о

о

о

0

о

о

о

о

о

о

*3,

о

о

= 1 о

о

о

о

, 0

о

(173)

о

о

о

о

о

і 0

о

о

о

о

о

о

\

7.

I

о

о

о

о

о

*7.

где

0 — обозначает нулевые

подматрицы,

a Ri, І+І (і = 1-т-6), #7,7

и

RT,I—

нуле­

вые

подматрицы.

К а ж д а я

из подматриц Ri,

,+і и RT,I СОСТОИТ из элементов строк матрицы

(172),

соответствующих состояниям

с

номерами

с =

і +

mD

= i + d,

где

для

заданно­

го і параметр m пробегает все целочисленные значения, удовлетворяющие

условию

0 < і + d^v.

Подматрица #7,1

состоит из элементов

строк матрицы

(172),

соот­

ветствующих

состояниям с номерами с =

mD

= d, где 0 < d^.v.

Очевидно,

если

в момент времени по процесс оказался в одном

из

состояний,

принадлежащих

то в

(«о + 1)-ый момент он

обязательно

перейдет в одно

из

состояний.