книги из ГПНТБ / Регулирование качества продукции средствами активного контроля

Таким образом,

при п-^оо D n *

стремится

к установившемуся

значению

D*

=а2

1 +

г = - 1 —

(249)

ус

В частном

случае, когда

сг£->0

D*

(250)

Как и в § 18, формулу

для оптимального

уровня

настройки

(244) можно записать (при компенсированном тренте),

в рекур­

рентном виде:

где

1

1

а

•2з;

2 / Ѵ

%Рус + -

Ъ =

2а*-

43Ï

-'ус

a величина р у

с определяется по формуле (248).

технологи­

Таким образом, для стационарных и нестационарных

но

и является

следствием того

факта, что при квадратичном кри­

терии качества

и гауссовских

случайных

сигналах

оптимальной

в

среднеквадрэтическом смысле оценкой

случайного

дискретного

величины, найденное по результатам измерения

на предыдущих

тактах. Эту оценку и определяет дробь вида qnl2pn

в соответствую­

щих формулах.

хп = тп + \>.я

(п = \, 2, . . . ) ,

(251)

Ѵ

(

г ) \ 1

при M

< А ;

( 2 5 2 )

[0 при I z I > А .

Введем случайную

величину

•'i(n)=j]V(xs)

(253)

5-1

и последовательность хп

= (хи х2, ...,

хп).

изделий, размеры

Случайная величина

г\ (п)

определяет число

которых попали в поле допуска [—А; А].

Пусть ô — правило, определяющее

решение о подналадке по ре­

зультатам наблюдения

последовательности xn-i,

a ѵ (б)—-случай­

Требуется найти оптимальное правило о*, для которого

sup lim " ! 1 1 ( я

) | 8 } . = l i m

^ ( * > l 5 * i = P < 1,

(254)

[6:ЛЬ = 7"} л->-°°

H

n->oo

n

где M — символ математического ожидания.

Физический смысл критерия (254) — минимизация брака

между

подналадками.

Из теории восстановления [136] следует, что

lim м

' ^ 1

* 5 *' М ѵ = ^

= М п ^

==М 7 І (ѵ)

t->oo

t

Мч

T

так что достаточно

найти

sup

М{т)(ѵ) I S, Mv = T) =

M { i j ( v ) I 3*}.

(255)

с(и), 0

< с ( и ) < 1; которые тем больше,

чем больше величина

им­

пульса,

т. е. f ( « i ) < c ( a j ) при | И І | < | И 2

| ; с {и) =с(—и),

с(0)

= 0.

sup УМ {ѵ— 2 с [ « ( п ) ] I о] = У И і ѵ — 2 с [и(п)\

I 3*] = р ,

(261)

где V—момент первого выхода последовательности

{х„} за

грани­

цы [—Д; А];

и (п) — величина импульса подналадки в момент п.

ний доход, т. е. доход от готовой

продукции

за

вычетом

стоимости

управления.

Анализ такого

алгоритма управления

процессом

(251)

пока­

зал, что структура

оптимального

правила

ô * целиком определяется

поведением функции с (и), и^О.

Если

с (и)

возрастает «сравни­

тельно быстро», как функция и,

то используется

все

множество

Q (и) управляющих импульсов, в противном

случае — только

край­

ние значения: и =

0 и и = итях.

Конкретный

смысл

«сравнительно

быстро» разъясняется в работе [83].

усредненным

показателям.

В работе [137] построен алгоритм управления

технологическим

процессом в предположении, что смещение

размерной

настройки

станка можно

рассматривать

как

последовательность

скачков,

скрытых в помехах (т. е. в собственно случайной

составляющей).

В основе анализа этих алгоритмов

лежит так называемая «теория

разладки» — один из современных разделов

математической ста­

тистики [154].

В качестве модели технологического процесса автором прини­

мается соотношение

dy(t) = [T\{t)

+ u(t)]dt-+dr,(t).

(262)

где

г) (/) — марковский

процесс, характеризующийся

потоком скач­

ков (разладок) с интенсивностью X

(t);

и ({) —поток управляющих воздействий со значениями из со­

вокупности

Q (и) =

{0; ±d;

±2d,

...};

Ç (/)—случайный

процесс

с

независимыми

приращениями

и статистиками M (At,)

=

0;

M (At,)2 = a2

At.

Сумма двух процессов л (і) + и

(t)

представляет

собой марков­

ский

процесс, являющийся скрытой

историей

производственного

процесса.

Предполагается, что размеры изделий

определяются точно, а ре­

нимум средних потерь на

протяжении

отрезка времени Г < оо:

т

R};

=

inf±r\MXA(yt)dt,

(263)

'о

где M — символ математического ожидания.

В качестве

функции потерь %А принимается стоимость брака в

вырабатываемой продукции:

х _

/ ° '

-Аа<у,<Ас,

XAU/t)-[Ct

A * < \ y t \ .

Помимо

оптимальной

стратегии,

автором

предлагается

Дисперсия отклонений

размеров изделий

при наличии запазды­

вания и оптимальном алгоритме подналадки

(см. §

17) вычисляет­

ся по формулам, аналогичным (199) — (213),

и имеет в данном

слу­

чае вид

D„ = j х*Р(хп I U„,

/„) • "~П*Р(Хі

I Ii,-, Ult

Ii) -РЫ

X

X P (fi„ I Vn-.-i ) • ПУГ'Р^І

I iït-ù • П Г,, 2.

(265)

ап

= j

х*Р (хп ! Un,

?л, /„) • "TT1 P (xt I

I/,, /,)

• Р Ы

X

2 (хт

!*„, ^л-т-і

)

Х Я ( ц „ |

) • І Г Р

(І», I

__.

(266)

Рассмотрим синтез оптимального алгоритма подналадки при на­

личии запаздывания на примере стационарного

технологического

процесса с корреляционной функцией /Сц(т ) =

1 .

Для

это­

го процесса

переходная плотность Р

(|хт е | \іп—.-\

) имеет

вид

1

f

Obi — r ' + V n - x - i ) 2

| 2

.

_ _ _ _ _ _ _ _

E X P

} .

(267)

Ѵ У

2 r . ( l - r 2 ^ + " )

I

2 c 2 [ l _ r 4 " '

U;, = — mn —

(268)

2Рп

где характеристики

9'2

(269)

2 , 2 | l - r ^ + 1 ) j

Рп-т-Х

fr«

3c

P l - l

i ) ;

2 < £ ( 1 - / * )

i

1

;

2s?

2 < £ ( 1 - / * )

2a; .1

1

2р„

При п-*-оо

величина Dn*

стремится

к установившемуся значе­

нию Ь * у с - , равному

D ус т

1

(270)

62

Сравнение

формул (235)

и (270) показывает, что при всех т > 0

Лу,-->/)уе,

(271)

В частности, при о /

> о ?

из формулы (270)

находим

DyCz

=

о2 [1 _ г 2 ( , + і)].

(272)

Так как /- <

] , то

£ > у с , — Щс

=

о* (гг — r 2 « ^ " )

> 0 при

всех т > 0.

Формула

(270)

позволяет

оценить

эффективность подналадоч-

ной системы

в зависимости

от статистических

характеристик про­

менно с последовательностью

независимых случайных величин

Определим

две границы

L 4 и L 2 , Li >

L 2 , принадлежащие

об­

ласти изменения суммы ц + £п , « =

1, 2, . . .

Пусть N—объем

вы­

борки. Примем следующие обозначения: z + ( L i ) — к о л и ч е с т в о

на­

блюдений, превышающих L i ; Z _ (L2 ) —количество наблюдений,

ле­

жащих ниже L 2 . Тогда

разность N — z+ (Li)

—z_ (L2 ) есть

число

наблюдений, лежащих

в интервале [Li, L%\. Величины Li и L 2

будем

называть контрольными пределами

(сигнальными границами).

В работе [174] с помощью линейного теста

I (ах,

аг ;

L x , L 2 )

= ахг+

(L x ) - j -

a,z_ (L2 )

(273)

там вычисления

апостериорного среднего m величины р, при выбор­

ке объемом N =

8.

В работе [174] определяются одновременно контрольные границы

Lu

L i и параметры а ь

а2 , доставляющие

тесту

(273) максимум эф­

фективности.

Пусть

случайная переменная X имеет

функцию распределения

F

(х; ц,), заданы четыре

числа

аи а2,

L u

L 2

, причем

|

ö

i |

+ | а 2 | > 0;

Li

> L 2 ,

a объем выборки равен N.

Определим две вероятности

P + = P[X>Ll)

= \-F(Li;

s*) )

p„ = P{X<L2)

= F(LZ-0;

ji)

f

Среднее значение случайной переменной (273) равно

M(l)~N(alP++aiP_),

(275)

где M — символ математического ожидания.

Дисперсия величины / равна

a^t)

= N[a\p+(l—p+)—-2alatp-p+

+ alP-{l

-Р-)).

(276)

Пусть

последовательность

{^„}

(п — 1, 2, ... )

распределена по

нормальному закону. Введем

обозначения

- £!

х

ф (X) =

ф (х;

0; 1) -

Г в

2 dz,

(277)

Предположим, что последовательность

имеет статистики

(0; ! ) .

Тогда

р + =

1 - Ф ( £ 1 , ^ ,

1)1

(

2 7 8 )

р _ = Ф ( / . „ ц, 1)

I

Простым смещением

распределение

Ф (д;; у;

1)

переводится

в распределение Ф (х; у + К; 1). Поэтому в дальнейшем

в качест­

ве нулевой гипотезы можно принять Яо : р. = 0 и изучать

эффектив­

ность теста

(273) относительно этой гипотезы,

д

д

Обозначим: Ф* = Ф (Li);

ср* = <р (Li),

і = 1, 2.

Тогда

р+ Iг

о =

1 — Ф,; Р- I ц-о = Ф«;

р

I р.,,о = 'fі; Р _ I ц-о = тѴ

Тест (273) в данном случае принимает вид [174]:

I _

« (уі — ду2 )2

/2 79)

ф1 (1 _

ф,) _

2Ф2 (1 — Ф,) а +

Ф2 (1 — Ф2 ) й 2 '

где в силу

произвольности

одного

из коэффициентов

сіі и а2 со­

вершен переход к величине а = аі/а 2 , а2ф0

или а = а 2 /аі, а і ^ О .

Анализ

выражения

(279) показывает,

что в рассматриваемом

При использовании

одного

предела L t (L 2 = —оо), т. е. при од­

ной сигнальной границе эффективность

составляет 2 /я = 0,6366 при

Li = 0 и 0,4386 — при Li = 1 (напомним,

что изучается

эффектив­

ность гипотезы (л = 0).

Это означает, что решение о положении ц

при N = 10 и наблюдении знаков отклонений размеров изделий от­

носительно границы Mt

эквивалентно решению о величине ;.t по ре­

зультатам

измерения примерно шести (при L 4 = 0) и четырех изде­

лий (при Li = 1).

Аналогичный тест строится и для оценки дисперсии.

Таким

образом, алгоритмы

управления

с фиксацией

текущих

размеров

изделий требуют для достижения

одной и той же точно­

Полученные оценки

соответствуют

модели технологического

процесса вида

хя= ? +

+ U п , (п =

1, 2, . . . ) .

(280)

Для простоты трент тп опущен, а функциональная

случайная

В том случае, когда модель технологического процесса

имеет

вид

*„ = t*n + ^ + t f „ ,

2, . . . ) ,

(281)

Предположим, что {\іп}—последовательность

марковских нор­

мальных величин с корреляционной функцией Л",«(т) =

ofe—вИ1.

Положим, для простоты

Un = 0.

Пусть в момент t =

п — 1 величина хп-і

достигла

некоторого

фиксированного уровня L , т. е. L = ц.„_і + £n _i.

времени

Для марковской составляющей

модели (281) в момент

t = п можно записать [28]:

Ѵ-п =

(L — -л-і) г + а,х (1 — г2) ѵ„,

где г = е~ѳ, {ѵп}—последовательность

независимых

нормальных

величин с нулевым математическим

ожидани­

ем и единичной

дисперсией.

Тогда отклонение хп

будет равно

x n ~ ^ n J r { L

— C„_i) г + а; і ( 1 -

г»)ѵя .

(282)

Дисперсия величины

хп

Dn =

а? ( 1 -Ь г2 ) +

а* (1 - л2 ).

(283)

Дисперсия величины xn+q,

q >

1 равна

D n + q = а* [1 4- г2{"+1)]

+

о£ [1 -

г 2 ( * + 1 ) | .

(284)

12—2891

177