книги из ГПНТБ / Регулирование качества продукции средствами активного контроля

X / / S Ui —

fr-b-^-Ui)]

• h v t [ut I

Ui-,),

(209)

/ = і

і=і

ным характеристикам, а цо — начальное

значение

процесса

Подставляя выражение (209) в формулу

(201),

находим

следую­

щее выражение для

риска

А , = f х„*РЫ-

я я ( ^ |

ПР^)

• /

n

^ - U

- b ^ - f

+

•

2=1Я Г ;

({/, I Хі-г,

Ui-ùdQ.

(210)

Представим выражение

(210)

в следующем

виде

Dn

= j

"Л Гг (ut

1 (/,_,,

*, _ ,) {

J

Ы

•

U I

X

^

( * я _ і .

п

Q (х„,

и п ,

гп)

ХПР(ч)

• ПИх,-

(/, +

vi +

L. + f/,)!

X

І=\

І=\

X r „ ( ( / j L . , t / J 4 ^ -

(211)

Перепишем плотность ô[x, — (Ц + и.* +

у + Ui)]

(i =

1, 2,

n)

в следующем

виде:

8 К , - ( я , - - £ / ,

) ] ( * =

1,

2,

п).

(212)

Подставляя выражение

(212)

в формулу

(211),

производя

ин­

тегрирование выражения в фигурных скобках по вектору

£ п и пола­

гая, что подналадчик обладает относительно управления

регуляр­

ной стратегией [146], находим, что оптимальный подналадочный

им­

пульс на п-ом такте определяется из условия минимума по Un

сле­

дующего выражения

«„=

ГѴ

^ Ы • П Р(ъ

I

• П

P(Xi

I Uh

îx;-,

(213)

I J

^

\

О ir

il. 1

где Р (Xi\Ui,

\Xi, Ii) —-условная плотность

случайной величины л\-

при фиксированной совокупности (Ui, ц.,-, h)

параметров процесса,

относящихся к

тому

же і-му изделию.

Поясним

физический смысл величин, стоящих в формуле

(213)

ражают априорные

сведения об изменениях

функциональной

слу-

п

чайной составляющей. Выражение вида UP

(xAUi,

іц, /,-) содержит

в себе информацию

об управляемом процессе.

Одновременно

это

К изложенному тесно примыкают

некоторые результаты работы

[137]. В одном из разделов этой статьи рассматривается

задача оп­

тимального управления процессом вида

хп = г(п, Ѳ) +

С„

( я = 1, 2, . . . , ) ,

(214)

где г (п, Ѳ) —систематическая

составляющая;

Ѳ — определяющий ее поведение неизвестный

параметр;

этого параметра, найденное по результатам наблюдений хп

= (хі,

. . . , Хп) '•

Ѳ =

м ( Ѳ | х „ ) ,

(215)

где M — символ математического ожидания.

Как следует из результатов

работ [83, 137], оценку вида

(215)

функцией Кц (т) =

ѳ | т 1

• Процесс этого типа является марков­

ским [145] и стационарным

[72].

Для

этого

процесса

переходная

плотность имеет вид

1-1

1

exp;

—

,

(216)

где r =

е~%.

Пусть также

- —

exp

(217)

2з.і

В силу

взаимной

независимости

случайных величин

(п

= 1,

2, . . . ) , произведение плотностей имеет вид

exp

(X.

mt

2s;

s? ( 2 . )

(218)

Подставляя выражения

(216)

— (218)

в формулу

(213),

полу­

чаем

00

1

2л-И

Г*

,

з , ( 2 я )

(1

''n

У

exp

А

si=l-

(xi — ml — u-i — £//)2

X

2а.2

(=1

2a?

^

'

X

^ „ t / u f t

. . .

<af(i,„.

(219)

иѣа =

-mn

— 2s-,

(220)

где qn и p n — величины,

определяемые с помощью

рекуррентной

процедуры:

Р П =

А

(221)

г

р п _ 1 + ß. r + • 1

2 а;2С

1

\ ,

Х п - \

(222)

2з?/>„-і

I

£

2(1

— г*\

<,

(223)

« : = " ; -

к

- , =

- « -

i (f

-

y

= 4

(224)

Анализ выражения

(221)

показывает,

что

последовательность

{рп} с ростом номера

n

монотонно

возрастает

до

какого-то

преде­

достигает некоторого установившегося значения р у с .

Очевидно,

при п-*-оо

рус =

lim ps =r- lim ps-\.

(225)

Подставляя выражение (225) в формулу (221) и решая квадрат­

ное уравнение относительно

р у с , находим

+ * +

( 2 2 6 )

1 1—2891

161

^ - - ' « - о - і г -

( 2 2 7 )

и'п = - г ^

(* = 1.

2.

• • • ) •

(228)

ЛРуС

Из формулы

(222) следует, что в установившемся режиме

спра­

ведливо равенство

qn

= а0<7„_і + 60 х„_і,

(я =

1,

2, • • • ),

(229)

где а0 и bo — некоторые коэффициенты,

зависящие

от статистиче­

ских характеристик

управляемого процесса. Вид их

может быть найден из формулы (222).

Из выражения (228) следует,

что

q„-i = -

20'пРус.

(230)

Подставляя выражения (230)

и (228)

в формулу

(229), находим

и*п = a t / L i +

fccn-i,

(231)

где а = а0, о — —

—-.

Коэффициенты а и b связаны со статистическими

характерис­

тиками управляемого процесса соотношениями:

а

- ( т - Щ 1

+

і £ г }

< 2 3 2 )

' р

^ - — \.

(233)

2з?Рус

D*

- (1 — г2 )о2.

ус

V 1

' [Д.

г = е~ѳ

= 0,94; а* = 15 мкм2 ; а? = 1 мкм2 .

Суммарная дисперсия Оѵ

неуправляемого

процесса (при отсутствии трента)

равна

DL = cl+ а £ =

16 мкм2 .

_

-

і

r

-

- ,

нКѵ

"

i

i

f

пч

:

0.7

0,5

'

08 —

;

N

/ 4

^ ^

-

« £ _ J

0,9

I

0.9.5

j

{ .

I

~ ~

г=ьа.

i

ß

5

W

tS

Рис. 64. Характеристика

«эффекта

управления»

процессом

теристиках

процесса

г,

о%,

. На рис. 64 изображены

графики

зависимости

отношения

дисперсий оптимального (по точности)

уп­

равляемого

и неуправляемого

процессов от отношения

дисперсий

сг2 / <j2

случайных

составляющих

при различных

значениях г =

е~в.

Здесь

Dz — o? + a*

—- дисперсия

неуправляемого

процесса,

D*c = о? -j

—дисперсия

управляемого процесса

при

опти-

2/?у с

мальном управлении.

Из рис. 64 и формулы (235)

следует, что эффективность

управ­

ления

возрастает

с увеличением

г = е ~ ѳ и становится

максималь­

ной при г — 1. Физически это соответствует вырождению

случайного

поддающуюся, естественно, компенсации.

П. Управление

технологическим процессом с

корреляционной

функцией К^{х) =

ст^е-9!-! cos сот. Корреляционную функцию

тако­

го вида имеет, например, процесс окончательной

обработки

по на­

X П

Ut, lL) • /7Г,<*2.

(236)

1 = 1

i-l

Щх„, ;

j . „ )

X П

Р (X; I U^ili)

dQ.

(237)

В работе [6] показано,

что оптимальный

уровень

настройки

на «-ом такте определяется

соотношением

f r B = = _ / i m _ i »

( л = 1 , 2,

. . . ) ,

(238)

где характеристики

управления

Рп =

Pln—7Z

7Z

'

Pln-

= х ( і + ß) _

= _а_

°2

3 2

<?-* cos « ( 1 — <?_ 2 Ѳ cos 2«)

(239)

1 — e"2e cos2<u

0 2 =

а 2 ( l - ^ ( l - g ~ 2 8 C O s 2 u , )

° 2

^

1 - е - 2 8 COS« в»

выражаются

через параметры

априорной

и переходных плотностей

РЫ~=

^

е

х р і

- :

^ ]

;

— т = " е х

Р

(— (іА і — РИв)а/2о?};

ot

У 2 я

Ѵ-І-І) =

Ц=г ехр {— (.^. — ajx£_,

+

Pt*.,-_2)a/2af},

a g = e~e cos <o.

Oj i

2jc

К сожалению, автор работы [6] ограничился

представлением оп­

тимального уровня настройки в форме

(238). Между тем, и для про­

цесса с корреляционной функцией К^(г) —о^е~®(х'

COSCOT

можно

построить рекуррентный алгоритм

(способ)

оптимальной по точно­

сти подналадки технологического

процесса.

р у с парамет­

Д л я этого надо найти

установившееся

значение

ра р п

и выразить

через р у с

и уровень

настройки

Un

зеличину qn.

Оказывается,

что при отсутствии

трента

оптимальный уровень на-

л

л

л

стройки ип*

выражается

через

величины

U*n-u

хп-\,

U*n-2,

-<п-г

формулой

и*п

= а£ / л _і +

Ьх„_і

+

cÜ*n-2

+ dxn-2,

(240)

где a,

Ь, с, d-— постоянные

коэффициенты, зависящие от статисти­

ческих характеристик

управляемого процесса.

Дисперсия отклонений

размеров

изделий

при

оптимальном

уровне настройки

(238) определяется

равенством

D* =

а 2

+

При

П-+ со

_

J

ус

2 .

~С

2рус

+ £ A u - + С„+

І п = тп (л - 1, 2, . . . ) , (241)

<=і

Пусть начальное значение р 0

распределено

по нормальному

закону

1

ехр

{ - Ж } .

(242)

Переходная плотность Р (р.;|ц,г-і)

= Р (ЦІ|Ц,,_І)

имеет

вид

Р{Ѵ, I !*,_,) =

1— е х р -

1 •(Pi—

\H-ï)2

(243)

% V2т.

\

стройки

(J*

= - m n - ^ ,

(244)

где

Рі

= Р—

1

У = 2,

3,

• );

(245)

2*2

<7/

=

•и, 2-1

(t =

2,

3,

. . . ) ; (246)

2d?

+ ? + 2о2

2о?

При п =

1 : <7і• =

0, /?і = ß.

Dn

Подставляя выражение

(244) в формулу

для

и

интегрируя

D* = a?-f- —

(л =

1, 2, . . . ) .

(247)

При п->оо величина р„ стремится

к установившемуся

значению

р.,с, которое получается из (245)

в результате

решения

квадратно­

го уравнения

1

—

1

=

0

Рус

ус

(248)