книги из ГПНТБ / Регулирование качества продукции средствами активного контроля

1. Пусть

>а?.

Тогда

минимум Dn+g достигается при q = 0.

2. Пусть

< or.

В этом

случае

Цель планов

этого

вида — удержание

технологического процесса

в пределах

допуска

при минимальных

затратах на управление и

ние U процесса, и все начинается

сначала.

Оптимизация

процесса

контроля

и управления

сводится

к выбору постоянной

координаты

U

и чисел Л/, Ni,

N2,

...,

п, обеспечивающих

минимальное

количест­

во операций управления

(переналадок)

и контроля

при

заданном

качестве

продукции.

Очевидно. Nt,

N2

. . . — длительности

интервалов

между опера­

циями контроля.

При построении рассматриваемого плана контроля и регулиро­

вания [103] предполагается, что отклонение

хп

размера

изделия от

номинала удовлетворяет соотношению (при отсутствии

управления)

хп

— тп + u„ (п — 1, 2,

. . . ) , где

{цп} —последовательность гаус-

совских

случайных

величин

с

независимыми

приращениями

п

un =

2 A\x,k; M{A[ih)

=

0; М{Ацк

Аце) — ar2 rw,

где àke~

символ

Кронекера;

а2 — дисперсия величины Aiik-

Критерием качества

служит

вероятность

нахождения

каждой

отдельной величины

хп

(я = 1, 2,

. . . ) в поле

допуска [—А; А]. Это

значит, что процедура контроля и управления

строится таким обра­

12*

179

хп = U + тп +

IV, х0

= U (п = 1, 2, . . .)•

(285)

Здесь в качестве нулевого фигурирует момент очередной

перена­

ладки либо начала

процесса.

Учет различных

факторов, влияющих на точность управления

и измерения, произведен в работах [32, 33].

Начнем с выбора координаты U и объема первой после подна­

ладки партии N. Вероятность того, что величина хп лежит

в поле

допуска [—А; А], равна

1—\

ехр

I - - • " , - " » • ) d z . =

—Д

( І - Л М - U )

I aVn~

(286)

: - r =

j

exp{—if/2}dy.

г

Ф (2) =

Г ехр ( - уЧ2) dy

(288)

—z

является непрерывной, монотонно возрастающей функцией

z и по­

тому для каждого значения Р(0^.Р

<

1) можно указать

единствен­

ное конечное число г*, при котором Ф (z*)

= Р.

Вернемся к формуле

(286).

Зададимся

некоторым

граничным

значением вероятности

Я и найдем

число z*

= k,

при

котором

Ф (z*) = Р. Если теперь

положить

—1—{А

— тп-

£ / ) > * ;

(289)

1

( - Д

— тп — { / ) < - * ,

(290)

а I п

(л =

1, 2

Л) ,

то размеры каждого отдельно взятого

изделия

из партии

объемом

N попадут в поле допуска [—А; А] с вероятностью,

не меньшей Р.

Учитывая, что о > 0, перепишем

неравенства (289), (290)

в сле­

дующем виде:

A — koY~n >тп+

U > — Л -rkoY~n.

(291)

Будем далее строить план, опираясь на неравенство

(291). Вве­

дем обозначения:

нижняя предупредительная

граница

Т і ( я ) =

— Д + Ь | Л « ;

(292)

верхняя предупредительная

граница

•l1(n)=b.—koY~n\

(293)

трент с учетом

управления

ц{п) = тп + и.

(294)

На рис. 65 изображены поле допуска и графики

зависимостей

\'І

("), Y2 {п), г\ (п)

от числа изделий п при некоторых

значениях т,

a2,

k.

Рис. 65. Характеристики плана конт-

Рис. 66. К выбору необходимой коор-

роля

динаты

Будем называть область, ограниченную осью ординат и криво­

линейными предупредительными

границами уі (п) и уг (п), рабочей

областью. На рис. 65 ей соответствует область AOBNmax-

Оптимиза-

же Р.

п

из

2

не

ни­

цессе, так

чтобы каждое

них было годно с вероятностью

Так как кривые \'і і )

и у

(п)

расположены

симметрично

отно­

сительно

оси абсцисс,

то

Л / т а х

определяется

из соотношения

Vi (Nmax)

= Y2 ( Л _ а х ) . ОтСЮДЭ

< 2 9 5 )

Далее

предположим,

что A2/k2a2

е с т ь целое

число. В противном

случае

Л ^ „

= _(Д»/Л«а»),

(296)

где Е (q)

— целая часть числа

q. Не следует, однако, полагать, что

первой после переналадки партии изделий N

всегда

равен

Nmax.

В общем случае Л/_а _2>Л/

(см., например, рис. 65).

Очевидно, выпуск изделий, годных с вероятностью Р, при дан­

ных предположениях о процессе возможен лишь в том случае,

если

Л т а х ^ 1,

Т. е.

А >

ka.

(297)

Пусть

А^ка.

В

этом

случае

существует

некоторая

координа­

та U, выводящая в рабочую область трент,

по крайней

м е р е ,

для

первого изделия. Действительно,

при п = 1 неравенство

(291)

име­

ет вид

_ !

= Д — Аа — m > £У >

— А 7 - fo — m = U2.

(298)

Так как A^ka,

а ограничения

на

координату U отсутствуют,

то

эта система неравенств непротиворечива. Любая из величин Ui.

U2

может быть принята в качестве искомой координаты U. Может ока­

заться, что при определенных соотношениях между А, т, а2

рабочая

область существует

при

достаточно

больших n {\^n^Nmax),

но

координата U, удовлетворяющая условию (291) при п =

1,

недоста­

точна для вывода трента

в рабочую область, при некотором n >

1,

т. е. для этих п: тп + U <

—А + ka^n

(рис. 66). В этом

случае

воз­

никает задача — отыскать

такие координаты 0° (Ui^U0^U2),

ко­

торые удовлетворяли бы

неравенству

тп

+

L"> > — А + ka Y

n

(

299)

при всех целых п =

1 , 2 , . . . , Л / т а х .

Будем называть координаты

U°

необходимыми

координатами.

A-ko

YN

•mN

+

U°.

(300)

С учетом того, что УЛ/ >

О,

N

= E

kz +

V

kW -f- 4m (Д - U»)

дг

(301)

2т

Так как m > 0, то

из

формулы (301)

следует,

что объем

пар­

тии N является кусочно-убывающей функцией координаты U0. Сле­

довательно, оптимизация режима управления сводится

к

отыска­

нию минимальных

необходимых координат

U°m\n-

Введем функцию

<|> (га) =

rt (я) — Т

і (га) =

тп

+

U +

A —As ] /

п .

(302)

( л = 1 ,

2,

;Vm „).

В соответствии

с условием

(299)

координата

U будет необходи­

мой только в том случае, если гр (п) ЗЗгО при всех целых п =

1, 2,

. . . ,

Лтах- В зависимости от соотношения между А, т,

с 2

возможен

ряд

случаев.

1. При

т>ко()/Г2

— 1)

(303)

минимальной необходимой координатой

служит

Ut

= — А +

ко — т.

(304)

Максимальный

объем первой

после переналадки

партии равен

N =

Е

— Äo + VkW+

4«(2Д + m — ka)

• Ч

(305)

2т

Для

доказательства

условия

(304)

необходимо

показать,

что

при всех

п = 1, 2, . . . ,

Л/щах имеет место

неравенство

гр (п)

— тп

+

+

Uz +

А — keln^O.

Справедливость этого

неравенства при

n =

1

вытекает

из условия (304), а при п^2

— из условия

монотонного

возрастания гр (/г)

при п =

2, 3 . . . и гр (2) ^ 0 . Максимальный объем

партии /V [формула (305)] получается из формулы

(301)

при подста­

новке в нее 00 = Uz.

Данный случай иллюстрируется рис. 67, а,

б,

на

которых приведены

графики

зависимостей

Vi (и), уг (п),

ц

in)

и

гр (п)

от

п при U°m\Ti

= Uz, m =

/го,

А =

5 fccr.

Вернемся к функции

гр (п).

Ее единственный

минимум

лежит

в точке

_

я* =

£ 2 а 2 /4т 2 .

;

(306)

При

/ я > * з ( | А 2 — 1 )

л * < 1 / 4 ( 3 - 2

| / ~ 2 ) .

(307)

Из

формулы (302)

следует, что при U°min

=

U2 и rn^ka (~\I2—1)

n*Œ[0;

3 / 2 ] , aij] (n*)

< 0. Следовательно,

в

данном случае в точ­

при целочисленных значениях аргумента,

а в данном случае

<|>(1) =

0, - Н 2 ) > 0 ,

ф ( я ) > 0 ,

(я =

3,

4,

. . . ) .

(308)

Из

условия

(308) также

следует,

что

при

U°min = U%

и in^ko

(У2—1) область значений п, в которой

ѵ|з {п) <

0,

занима­

ет менее одного такта.

Однако при некоторых соотношениях между Д, m, о 2

координата

U2 уже

не является необходимой. В частности, при m <

ko

(]/2—1)

или, что то же самое, при п* >

1/4 (3—2У2)

и U =

£/2,

по

крайней

мере, -ф (2) < 0. В этих

условиях

возникает

задача

об

отыскании

необходимых координат U°mül,

отличных от U2. В зависимости от со­

отношений между Д, т , о2

возможны следующие

случаи:

а)

п* >

/ Ѵ т а х

=

Д % % 2 ,

(309)

т. е. минимум ij) (n)

лежит

за

пределами отрезка

[0; Nmax]

или

сов­

падает с его правым

концом;

б)

•

_ _

<

n* <

уѴг а а х ,

(310)

4 (3— 2 У

2 )

т. е. минимум лежит внутри этого отрезка.

Ранее предполагалось,

что

A^ko

и ІѴШ ах— целое

число.

Так

как

1/4

(3—2]/2) < 1,5,

то

при

всех

целых

Nm&x

>

1

неравенст­

во

(310)

непротиворечиво.

Ситуация

/ Ѵ т а х

=

1 охватывается

фор­

мулами (303) — (305).

,

Для

того, чтобы

« * ^ = / V m a x ,

необходимо

и достаточно

следую­

щее условие:

m<Ļca /2A.

(311)

Справедливость

формулы

(311)

вытекает

из

равенств

п* =

k2a2l4tn2

и Nmax

=

A2/k2o2

с учетом того, что А >

0 и m >

0.

2. При m<^k2o2l2A

(312)

минимальной необходимой координатой

служит

U°mn

=

-mAW-S.

(313)

Максимальный объем

первой

после

переналадки

партии

равен

N = N ^ ^ .

(314)

Этот случай иллюстрируется графиками рис. 68, на котором при­

ведены

зависимости

уі(п )> Уг{п),

т\(п) от п при L / 0 m l r i

=

—mA2 /k2 az ,

А = 5ka,

m

=

0,1 ko.

3.

При

/га ( ] / ^ — 1 ) > m >

6Ѵ/2Д

и

я* =

/г2 о2 /4т2 —

(315)

целом

числе,

минимальной

необходимой координатой

служит

^ , „ = - А + ^ -

(316)

Максимальный объем

первой

после

переналадки

партии равен

—k- +

2 l/2/пД

(317)

2от

Иллюстрацией служат графики зависимостей уі (п), у2 (п), г\ (п)

от п при £/°т 1 г 1 = —А +

(fc2 02 /4m),

А = 5ko, m = О,25&0

(рис.

69).

Пусть теперь ft*— не целое

число,

хотя

по-прежнему

1/4(3 —

—2У 2) < п* < Л^тах-

Так

как

нас

интересуют

значения

функции

ар (п)

лишь при целых

п,

то в этом

случае можно допустить,

чтобы

гр (п*)

<

0.

Методика

выбора

двумерного

вектора

управления

( ^°тш; N) сводится к следующему:

находят точку минимума п* =

k2o2/4m2;

вводят два целочисленных

значения:

УѴІ =

£ ( П * ) ;

N , =

#, - 4 - 1;

(318)

вычисляют гр (ІѴІ)

и яр

(N2);

находят

координату

U°min,

удовлетворяющую условию

m i n ^ N j ) ,

<b(N2)] = 0;

(319)

4.

Максимальный

объем

партии N находят из формулы

(301)

при подстановке в нее значения

U =

[/Vin-

партии N*,

Интерес

представляет

также

зависимость

объема

где N = Е (Л/*), от параметров случайного процесса т,

а2. Эта за-,

висимость

является

одной из

характеристик

плана

управления и

контроля.

(Вообще говоря,

число Л/ зависит

также

и

от

величин

A , k. Но в реальных

условиях поле допуска

[ — А ; А] и вероят­

ность брака

1 — Р ,

т. е. число k, задаются

жестко и определяются

между

операциями

контроля или управления не может

превышать

числа

У Ѵ Ш А Х =

A2/k2a2.

После выпуска

партии из N деталей

процесс

останавливается

для контроля. Так как производственный процесс

обладает запаз­

дыванием т, то в момент времени п = N на измерительной позиции

находится изделие с номером п = N — т.

В соответствии с предпо­

ложениями о процессе

* Я = ^ , „ + ' ™ + :Ѵ.

(320)

хп+ч =

£/»Іп + m (n + q) + ^

+ V Да„+ І .

(321)

nun

/ 1

Отсюда

Ч

Xn+g = xn + mq 4- V

A\xn,ri.

(322)

i =

i

р(х1

I хк,

д г А

_ і ,

. . . )

=

р(х, I хк)

==

=

ехр ( -

Г

*

/

-

*

»

-

(

/ -

*

>

" И

где / > ß.

Положим в

формуле

(322) n + q = N + s, q = т 4- s.

Тогда выражение

(322) может быть записано в следующем

виде:

x x +

s

= хл'-т + m (х 4- s)4- 2

А а ѵ

_ т

+ Г

(324)

Так как последовательность

{хп}

полностью

наблюдаема, а ее

статистические характеристики

известны,

то в момент

времени

п = N единственной достаточной

статистикой,

полностью

опреде­

ляющей распределение

величин

{хь} при k > N, служит

отклоне­

ние xN--.

Следовательно, процедура

контроля

сводится

к измере­

нию одного лишь

(N — т)-го

изделия.

Пусть xN-r

= уѵ-т ,

где

£л'--—некоторая

случайная величина

с плотностью

распределения

р (С;ѵ_т ) =

1

ex р

2 з 2

(N — т)

о

Vir.

(N—z)