книги из ГПНТБ / Регулирование качества продукции средствами активного контроля

Prob (— Д <

х

у ѵ + і < А I

= • ; Л ' _ , } > Р,

(32

где

Prob {• I •} —условная

вероятность события,

стоящего

в скоб­

ках;

Р — заданная

вероятность

годности

изделий.

В принципе можно рассмотреть случаи, когда процесс не пе­

реналаживается, если с вероятностью не ниже Р гарантируется

год­

ность каждого из двух, трех и т. д. подряд

последующих изделий.

Схема анализа при этом не изменится. Из формулы (323) по анало­

гии

с выражением (298)

следует, что

соотношение (325)

выпол­

няется, если справедливо

условие

А — ks у \ + 1 — m (т 4-1) > Сл_, > — А +

- : - * o / 7 + ï — т ( - : +

1).

(326)

Prob {— А < xN+s

<

А I х,ѵ_т = R,N—. }>Р,

' (327)

(s

=

l,

2, . . . )

вания т неравенство (327) имеет место для

всех

s, 1 ^ s ^ N ^

Л / т а х =

Д 2 / £ 2 а 2 — т, если

(328)

СлЛ—s > ^тіп-

Здесь

A f m a x — максимально возможный

объем

партии, который

запаздывания т, a t/°m in — минимальная необходимая

координата,

найденная с учетом запаздывания и равная:

при

m > ko [ / г + 2 — VX + l ]

f/S.,„ = — Д Н - А в ] / ; Г + Л — m ( x + 1);

(329)

при

te

[)А + 2 — / - + 1 ] > m > №12\

(7g,i„ = — A +

ÄV/4/n;

(330)

при

m^k'2o2/2A

й°т1а

= —т —

'+т-.

(331)

Формулы

(329) — (331)

аналогичны

выражениям

(304),

(313),

(316). Поскольку

£ / Ь і п > - Д

+ * о / ; П Л - т ( х - М ) ,

(332)

то условия

(326) и (328) выполняются

одновременно,

если

Л — /г- -| -. •

1 — m (х -f-1

) > X . Y - , > t/mm •

(333)

лее, если совокупность

неравенств (333) имеет

место. Число А^,

на которое продолжается процесс, зависит

от координаты £лг -т,

и потому случайно: Ni =

A/i(£jv-t)-

торое может быть выпущено дополнительно без контроля,

опреде­

ляется как положительный корень уравнения

А — te / Г + Л ^ = m (т +

+

C.v-,

(334)

и равно

=

Л /

- ^ + l / f e 2 ° 2 + 4 m ( A - C Y _ T )

(335)

1 ~

ІА

2m

где £ (g) — целая

часть числа

q.

Так как величины k,

в, m положительны, то из формулы (333)

следует, что Nt—действительное

число, причем в силу

неравенства

(333) не меньше единицы.

После выхода Л/4 изделий процесс останавливают, вновь произ­

водят измерение одного изделия, проверяют условия

(333)

и т. д.

При первом же нарушении системы неравенств (333)

производят

переналадку, восстанавливают

исходное

состояние

процесса

U,

и все начинают сначала. Таким

образом,

для

данных

процессов

в силу их марковских свойств

п =

1. Интервалы

между

двумя

по­

Введем случайную величину

+ 1 ,

если после і-ой операции

контроля

процесс

продол­

Отсчет1

жается без переналадки;

О, если после г'-го контроля

процесс

переналаживается.

числа изделий в партии между двумя последующими пе­

реналадками

будем

вести

от момента

переналадки.

Пусть

Xjv_T = ьдг-т • Вероятность продолжения

процесса без пе­

реналадки равна в соответствии с формулой (333)

РгоЬ{/л =

1} = Prob {А — ko]/т~+Т—

m (t-1- 1) > ; . ѵ _ г >

І7».ІП} =

Я*\/ 2K(N-Z)

J

\

2 * ( N - z )

j

u m ln

Так как А — ka^г

+

1 — m (т + 1) >

то Prob {за = 1}

и, следовательно, всегда имеется некоторая

ненулевая вероятность

продолжить

процесс

после

первого

наблюдения без его перена­

ладки.

Пусть ХІ — 1- Тогда

процесс продолжается

без наблюдений еще

на случайное число

У Ѵ 4

изделий.

Если хі = 0, т. е. £ JV - T > А — ke~\/x + 1 —m (т +

1) либо £ J V _ X <

< ^Ѵіп, то процесс

переналаживается, и

потому

здесь .WissO.

Математическое ожидание длины интервала контроля Ni равно

M {N,} = M { Л у 7 а = 1} • Prob {Ул

= 1},

(337)

M\Ni\

= — =

± =

[ ^ ( U - , ) e x p { -

*

X

X

l ; v - , - m (tf — т) -

f7s.In 12} d^v-x,

(338 )

где Ni (ÇN--)

определяется

формулой

(335). Аналогично

находятся

и другие моменты случайной величины Ni.

Пусть

%і =

1. Тогда процесс продолжается без

переналадки и

после выпуска Ni

изделий

вновь контролируется.

Пусть Хлт,—- =

—\

\ —

п~\

\ -1/1/2

2&(N—

t)

(340)

—

Тогда

по индукции показывается,

что вероятность

продолжить

процесс без переналадки после t-ой операции контроля

равна

Д— ka V ~ 1 — т < ~ J-1) Д—kn У-Г+Т—;n(-

I)

Р г о Ь { Х л = 1 } =

J

. . .

j

f „ 4 - , . . . ^ . v n _ - , .

(341)

с 'inUi

^ml n

Математическое ожидание длины

интервала

контроля

Nn =

= N n ( t N n

_ l - z )

равно

Д—ki V'x+1—т(-.~ 1)

Д—ka

т(-. + \)

M[N„}~

j

. . .

j

NnFnd(,*-r.

• • ^ Ч

- - '

( 3 4 2

>

"mm

"гаіл

где Nn определяется по формуле

(335) при замене ^у_-

на ÇJV

Так как интегралы

(341) и (342) не выражаются в явном

виде

через элементарные функции, то для нахождения основных

харак­

деление, среднее значение и дисперсия

суммарного

времени

ІѴ; =

k

— 2 Ni. Приведенные ниже результаты моделирования были

полу-

І=\

чены по 400 реализациям. В соответствии с теорией

метода Монте-

Карло [109] это означает, что точность

результатов

составляет 5%.

Моделировались

при k = 3, А = 15о, а = 1 три режима:

m

Функция

распределения для этого случая приведена на

рис.

71, а. Длительность

первого

после

подналадки

интервала сос­

= 3 0 .

тавляла N = 7. Средняя

длительность

интервала

между подналад-

ками

(Ns)cp

= 8,5. Дисперсия составляла Di = 1,11;

m = 0

Функция

распределения

Na

приведена на рис. 71,6.

Длительность первого

интервала

/V = 18; (N±)ср

= 32; Аг = 6,6;

, 7 5 0 .

m — 0

Функция

распределения приведена

на рис. 71, е. Дли­

тельностьs

первого

интервала составляла

N = 25, (Л/^)с р = 60,54,

,30 .

D = 17,2.

В заключение

покажем, что план контроля и управления,

удов­

(291)], является

наилучшим в классе

рассматриваемых планов,

т. е. обеспечивает

минимальную частоту

переналадок.

P-W'1

P-W

P-W'1

3

i

1

2

6

\

0,5

I

I

!

i

!

l i

ъ _ _

•

_ _

11

л

I

n

030

60

ö „

W

60

9Û

120 150 180n

6

S

Рис. 71. Результаты

моделирования

Пусть при заданном граничном значении вероятности Р нижний

предел

интегрирования,

например,

взят

равным

(—k +

Ak),

где Ak > 0 [см. неравенство

(290)]. Предположим,

что неравенство

Р >

j " ехр

1—у2 /2]

dy

выполняется. Тогда существует некоторое значение

k +

aAk,

кото­

рое еще удовлетворяет соотношению

(Д—тп — U)l<3 \ п

1

ехр { — у » / 2 } _ у < / >

=

I

'2,

(—Д—тл — (У)/а V л

ехр

{ - у 2 /2]„г/,

(343)

причем по свойству функции Ф (z)

при Р ф

0 а >

1 [64].

Из

формулы

(343) по аналогии

с

(289) и

(290)

имеем

А — (k - j -

аД/г) а / я

> m

n +

с/

> — д

_{. (£ _

Afe)

с / п.

(344)

л

Г~—

i

A-(k

+ aAk) а У Nm3î

= - Д

f (k - Ak) о Vу i У Ѵ т а Х )

(345)

Отсюда

' v m a x

Ak (a —

1)

(346)

1

+

где Nmax

— максимальный

объем партии, отвечающей

симметрич­

ным пределам

интегрирования

[см. формулу

(296)].

Таким образом, выбор несимметричных пределов интегрирова­

ния уменьшает ширину рабочей области.

В том случае, когда доля собственно случайной составляющей

велика,

и модель

процесса

представляется

соотношением

хп

= тп •-+- <хп 4- С„,

( п = 1 , 2 , . . . ) ,

лий. Число их может

быть выбрано из расчета получения

оценки

с дисперсией,

близкой к установившейся (см. гл. I V ) ;

контроль

осуществляется на

п. изделий ранее, с тем чтобы

обес­

печить пребывание

размеров

п контролируемых изделий

в

поле

допуска [—А; А] с вероятностью не ниже заданной.

сти

от постановки задачи,

управление технологическим

процессом

возможно двумя способами:

один раз во время выпуска всей партии объема N;

после выпуска каждого

изделия.

В обоих случаях, однако, управление строится

по

одной и

той

же информации — результатам контроля выборки

из п из­

делий.

Рассмотрим вначале планы с управлением после выпуска каждо­

го изделия.

13 -2891

193

Определим для каждого изделия три вида

потерь:

потери Cis, связанные

с отклонением размера изделия от номи­

нала, например,

С и = с і х /

(s = 1, 2, . . .);

потери Czs, связанные с управлением

C Ï S

= C,(s, us)

( s = 1,

2, . . . ) ,

потери C3s, связанные с контролем

C3s=C3(s)

(s =

l , 2 , . . . ) .

В большинстве случаев потери Сг8

и Сз8 не зависят от номера из­

делия и являются постоянными: Сг8 = Сгі Сзв = Сз.

Пусть управляемый

процесс описывается

соотношением

х3= Is-tV-s

+

t-s+Vs

(s =

l , 2, . . . ) .

Назовем риском

(средними потерями)

величину

R = т

I {j W

Ы

• Я Р

(ft I

X

il(xs,

iis, Us)

X /7 Я ( х ; I f/,.,

а ь /,)ГЛг/,

I £ / , _ , , x„) <Ш + # C S

+ л С , | . (347)

R* =

min — ІЛ^С,-t-nC,4- у . I

m i n a - d ö ) ,

<348)

где

ь = [ Сгх*Р

(ix0) Я Я(;х,. | ^ _ . ) . П P(Xi

I «7,.,

/2 -)й2.

(349)

xs =

v.s+Us

(s =

l , 2 , . . . ) ,

(350)

где {p s } — марковская

последовательность

случайных

величин, пе­

реходная вероятность которой

подчиняется

нормальному закону

с корреляционной функцией Ку.(т) = аіе—в 1 х 1.

Для

процесса

(350)

оптимальным

управлением

(уровнем на­

стройки)

является

величина

и: = -

г* {х0—и*)

(s = 1, 2, .... .V),

(351)

где XQ — результат

измерения;

UQ — соответствующий уровень настройки;

г = е~н .

объем n — 1, т. е. измерению

Оптимальная выборка имеет

под­

лежит лишь последнее изделие из партии объемом Л7.

Это является следствием марковости модели (350).

Оптимальное значение риска

(348) равно

новление произойти не может.

Пусть величины р н q известны.

Предлагаемый

план

контроля

и управления периодичен

(относительно контроля)

и состоит в сле­

дующем.

Весь технологический

процесс

разбивается на партии

объе­

мом N изделий. После выпуска партии объемом N извлекается вы­

борка из п изделий и производится

ее контроль, который

сводится

к определению числа бракованных

деталей в выборке.

Если

это

на N изделий. Синтез

плана сводится к выбору тройки (N, п,

к).

Введем следующие

величины:

Ci — потери, обусловленные выпуском

одного бракованного

изде­

лия;

С2

— потери, связанные с переналадкой

процесса;

С3

— потери, связанные с контролем одного изделия.

13*

195

J

t

В работе [87] строится оптимальные стоимостные планы для кри­

териев двух типов:

/

а) планы, при к'рторых средняя доля бракованных изделий не

превышает заданного числа Ль а средние расходы на одно изделие

минимальны;

б) планы с минимальными средними расходами на одно изделие.

Средние потери на одно изделие по результатам выпуска k пар­

тий равны

'

R k =

[ C s k n ^ C l

3 z > + c * v * \

( 3 5 3 )

где

X./' — среднее

число

бракованных

изделий

в /-ой партии

объе­

мом

N;

Vu — среднее

число

переналадок

процесса

за

время

выпуска

k

партий.

При £->-оо

= lim Rk

=

- V - (C s « +

С,

(N

+

n) -

С,

(1 -

р)

X

X

[1 -

(1 - </)'v rn]

• —±

+

С, 1

|

~

Л

),

(354)

где

1 + a, — Л

1 +

ЯІ — A t

Л

=

(1 — q)N+n

L

(n,

•/.,

p);

L

(n,

/,

p)

=

V

(«)

(1 -

py-i.t

(355)

(\-qf-aL(n,

(=0

a

/,

p ) + V

< 7 ( i _ ^ +

" - Z . ( n - i , x - / , p ) .

(356)

=i

Средняя доля бракованных изделий

равна

J i ^ u ß ^ ö .

•

—

i

—

.

(3

Rx

=

^ _ | л С , +

(/Ѵ +

я ) е д , - г

_ С„

\ -

{ \ - q ) N + n

L { n ,

v.,

p)

(358)

1 +

2

q(l

— q)N^"-lL(n

- i .

У--І,

D)

( = 1

Полное аналитическое

решение

возможно лишь при к = 0 (т. е.