книги из ГПНТБ / Регулирование качества продукции средствами активного контроля

Первые две характеристики являются обычными и широко используются для •оценки собственно случайных погрешностей. Однако для оценки случайных функ­ циональных погрешностей этих характеристик недостаточно. Две случайные функ­ ции могут иметь примерно одинаковые математическое ожидание и дисперсию, но характер изменения во времени этих функций может быть совершенно различным.

Некоторые функции могут, несмотря на рассеивание их значений, изменяться плавно и примерно одинаково при различных реализациях. Изменение других функций может носить резко колебательный характер, который будет претерпе­ вать значительные изменения при различных реализациях этих функций. Поэтому для полной характеристики случайных функциональных погрешностей первые два параметра нужно дополнить значением корреляционной функции, которая позво­

ственно случайных погрешностей). Величины интервалов между моментами време­

соответствует определенной реализации, а число граф равно числу значений ар­

По полученным значениям определяют основные вероятностные характеристи­ ки случайной функции:

математическое ожидание

дисперсию

28

является переменным, т. е. величина рассеивания собственно случайных погреш­

это не мешает изучать его как стационарный случайный процесс (разумеется, если удовлетворяется условие Dx(t) = const). Корреляционная функция стационарного случайного процесса является функцией не двух, а одного параметра.

Некоторые стационарные случайные функции обладают очень важным эргодическим свойством, заключающимся в том, что толь­ ко по одной реализации случайной функции можно получить все ее необходимые характеристики, не прибегая к множеству опытов.

Д л я эргодической стационарной случайной функции одна реали­ зация достаточно большой продолжительности практически эквива­ лентна множеству реализаций той же продолжительности.

При стационарных случайных процессах отсутствуют усреднен­ ные функциональные погрешности, а имеются только собственно случайные погрешности.

При анализе с помощью случайных функций точности обработки на металлорежущих станках, т. е. точности дискретных процессов, аргументом могут являться номера обрабатываемых деталей.

Причинами, вызывающими появление собственно случайных по­

заготовок, случайные колебания режимов обработки, различие па­ раметров размерных режущих инструментов, изменение характе­ ристики сил трения в измерительных и технологических цепях, зазо­ ры в подвижных соединениях цепи передачи приборов и цепи при­ вода станков, погрешности аттестации образцовых деталей, по ко­ торым настраиваются измерительные приборы, случайные погреш­ ности базирования при обработке и измерении, влияние динамиче­ ских факторов, случайное изменение параметров электрической се­ ти, погрешности отсчета по шкалам, случайные колебания темпера­ туры, изменение толщины слоя смазки в подвижных соединениях

29

цепи передачи приборов, дискретный характер изменения размеров деталей при обработке на проход, местные технологические погреш­ ности различных механизмов и приборов, колебание величины раз­ бивки при обработке размерным режущим инструментом, изогну­ тость прутков, кривизна заготовок (например, заготовок для сверл), неточность подрезки торцов прутков, нарост на лезвии резцов и т. д.

Суммарными характеристиками собственно случайных погреш­ ностей являются вариации показаний универсальных приборов, по­ грешности срабатывания датчиков, характеристики мгновенного рассеивания размеров партий деталей и др.

Некоторые из перечисленных выше факторов только при опреде­ ленных условиях вызывают появление собственно случайных по­ грешностей. Так, например, погрешности, возникающие при переко­ сах в результате зазоров в подвижных соединениях цепи передачи приборов, при контроле в процессе обработки могут иметь система­

прибора также носят систематический характер.

Проанализируем некоторые из погрешностей для того, чтобы ус­ тановить, почему они носят характер случайных размерных функ­ ций. Рассмотрим, например, погрешности, вызываемые износом ре­ жущей кромки инструмента или тепловыми и силовыми деформа­ циями технологической системы. Поскольку данные погрешности изменяются во времени, они носят функциональный характер. Слу­ чайный характер этих погрешностей обусловливается тем, что они зависят от большого числа различных определяющих факторов, ко­ торые сами носят случайный характер.

Р а з м е р н ы й и з н о с режущего инструмента при шлифова­ нии зависит не только от метода шлифования, но и от глубины ре­ зания, продольной подачи, окружной скорости детали, ее диаметра, твердости и качества материала заготовки, качества шлифовально­ го круга, его диаметра и степени затупления, метода и режима прав­ ки круга, геометрии правящего инструмента, скорости резания, виб­ раций и т. д.

ны резания, величины продольной подачи, окружной скорости обра­ батываемой детали, ее диаметра, твердости и качества материала заготовки, ее жесткости, качества и диаметра шлифовального кру­ га, степени его затупления и характера правки, скорости резания, температуры нагревания узлов станка, вязкости и количества смаз­ ки, сил трения в механизмах станка, а следовательно, и вибраций и т. д.

количества охлаждающей жидкости и степени ее нагревания, про­ тяженности температурных размерных цепей, характеристики и диа­ метра шлифовального круга, степени его затупления, характера

33

и режима правки, подач, скорости и глубины резания, материала и размеров заготовок, температуры окружающей среды, сил трения, количества и качества смазки, количества и длительности переры­ вов в работе, массы деформирующихся объектов, вибраций и т. д.

При других видах обработки (точение, фрезерование и др.) ко­ личество определяющих факторов и их характер примерно такие

многих из перечисленных факторов имеет случайный характер при обработке на одном станке или при обработке партии деталей, а не­ которые факторы изменяются при обработке одной детали.

Погрешности размеров являются результатом совместного влия­ ния износа и затупления режущего инструмента, тепловых и сило­ вых деформаций технологической системы. Очевидно, что суммар­ ное влияние указанных факторов также носит случайный характер.

При процессах обработки и измерения сравнительно редки слу­ чаи, когда возникают погрешности одного вида. Чаще всего встре­ чаются сложные комплексы различных погрешностей. Примером комплексных погрешностей являются и случайные функциональные погрешности, к которым относится большинство погрешностей об­ работки и измерения. Следует отметить, что различные составляю­ щие комплексов погрешностей могут возникать под влиянием одних и тех же факторов.

Рассмотрим, например, случайные функциональные погрешно­ сти обработки, которые могут быть охарактеризованы графиком, приведенным на рис. 3,а. Функциональные усредненные погрешно­ сти характеризуют собой среднюю величину влияния на размеры деталей износа инструмента, тепловых и силовых деформаций тех­ нологической системы. Вместе с тем указанные факторы вызывают одновременно и собственно случайные погрешности размеров, кото­ рые характеризуются флюктуациями размеров отдельных деталей относительно линии /-/. Эти флюктуации являются следствием из­ менения от детали к детали величин силовых и тепловых деформа­ ций технологической системы и износа инструмента под влиянием неодинаковых величин припусков на обработку, неодинаковости ма­ териала и термической обработки заготовок, изменения режимов резания и т. д.

В самом деле, чем больше припуск на обработку, тем больше величина силы резания, а следовательно, и величина силовых де­ формаций технологической системы, тем больше нагревание детали и величина ее тепловой деформации, тем больше при обработке дан­ ной детали изнашивается инструмент. При меньшем припуске влия­ ние указанных факторов будет иметь меньшую величину. Колеба­ ние твердости заготовки также вызывает изменение величин износа инструмента, тепловых и силовых деформаций технологической си­ стемы. То же самое можно сказать и о влиянии на точность разме­ ров случайных колебаний режимов резания. Таким образом, такой фактор, как размерный износ режущего инструмента, может яв-

31

ляться источником возникновения как функциональных, так и соб­ ственно случайных погрешностей. Поэтому погрешности, вызывае­ мые износом режущего инструмента, не следует относить только к систематическим.

Собственно случайные погрешности размеров чащего всего под­ чиняются закону нормального распределения (закону Гаусса). Как известно, условием формирования закона Гаусса является наличие достаточно большого числа случайно действующих и незначитель­ ных по величине факторов. Если число определяющих факторов больше четырех и они примерно одинаковы по величине, то резуль­ тирующим практически будет являться закон Гаусса.

Случайные погрешности обработки и измерения возникают обычно под влиянием большого количества определяющих факто­ ров, вследствие чего они, как правило, подчиняются закону Гаусса.

Условием возникновения закона Гаусса является отсутствие среди определяющих факторов доминирующих. Последние при-

Рис. 5. Искажение кривых Гаусса под влиянием сильно действую­ щих факторов

водят к искажению кривой нормального распределения. Этим свой­ ством кривой Гаусса пользуются при анализе точности технологи­ ческих процессов. Путем сравнения эмпирических кривых распреде­ ления с теоретическими устанавливают наличие в процессах обра­ ботки и измерения сильно действующих факторов, приводящих к увеличению полей рассеивания размеров деталей или результатов измерения.

На рис. 5 условно изображены некоторые эмпирические кривые распределения, представляющие собой кривые Гаусса, искаженные под влиянием доминирующих факторов. Двухмодальная кривая распределения (рис. 5, а) может возникнуть в том случае, если при обработке или измерении резко изменяется (смещается) настройка станка или прибора (условие двухмодальности кривой распре­ деления: 2 М > 2 а ) . Кривая распределения, изображенная на рис. 5, б, может являться следствием сочетания функциональных и соб­ ственно случайных погрешностей, вызванных, например, износом режущего инструмента или измерительных наконечников прибора или изменением величин тепловых и силовых деформаций техноло­ гических и измерительных систем (при условии равномерности из­ менения этих факторов).

32

Кривая распределения, показанная на рис. 5,в, была получена при исследовании точности операции расточки отверстий под порш­ невой палец во время отладки автоматической линии по обработке поршней. Как показали исследования, «карманы» К, возникавшие при построении кривых распределения размеров отверстий, явля­ лись следствием неодинаковой твердости заготовок поршней, чтоприводило к изменению величины отжатия резцов при расточке ими отверстий.

На рис. 6 приведены кривые распределения существенно поло­ жительных случайных погрешностей. На рис. 6,а сплошной линией' показана кривая распределения погрешностей в том случае, когда их центр группирования совпадает с номинальным значением рас­

ем температурных погрешностей). Предположим, например, что на станке у партии деталей нарезается резьба. Цепь подач станка на­ страивается при этом на номинальное значение шага резьбы. Однако вследствие того, что при нарезании резьбы детали нагреваются, пос­ ле их охлаждения за счет температурной усадки центр группирова­

приобретает асимметричный характер (погрешности шага являются

§ 7. ХАРАКТЕРИСТИКИ ЦЕНТРА Г Р У П П И Р О В А Н И Я СЛУЧАЙНЫХ

ПО Г Р Е Ш Н О С Т Е Й

Как известно, влияние па результаты измерения собственно слу­ чайных погрешностей можно свести к минимуму многократным из­

мерением одной и той же величины с последующим вычислением среднего арифметического из результатов измерения. Это обуслов­ лено тем, что с увеличением числа измерений алгебраическая сум­ ма случайных отклонений стремится к нулю и, следовательно, сред­ нее арифметическое из результатов измерения приближается к дей­

Параметр os представляет собой среднее квадратическое откло­ нение ряда значений средних арифметических.

С точки зрения точности активного контроля размеров одной из важных характеристик центра группирования собственно случай­ ных погрешностей является медиана.

М е д и а н о й называется такое значение случайной величины, при котором вероятности отклонений, лежащих по одну и по дру­ гую сторону от медианы, являются одинаковыми, т. е. одинаково ве­ роятно, окажется ли случайная величина меньше или больше ме­ дианы. Перпендикуляр к оси абсцисс, восстановленный в точке, со­ ответствующей медиане, делит площадь, ограниченную кривой рас­ пределения, на две равные части. Таким образом, медиана пред­ ставляет собой квантиль, равную значению Р = — .

У непрерывных случайных величин, кривые распределения ко­ торых симметричны, медиана совпадает с математическим ожида­ нием. У асимметричных кривых распределения и дискретных слу­ чайных величин указанные параметры, как правило, не совпадают. Д л я приближенного определения положения точки, соответствую-

34

ристикой положения центра группирования по сравнению со сред­ ним арифметическим.

Среднюю квадратическую ошибку эмпирической медианы мож­ но определить следующим образом. Известно, что если функция распределения имеет плотность, не равную нулю в точке £, то эмпи­

36

Таким образом, медиана эмпирической функции распределения асимптотически нормальна и имеет параметры

N

У 2л s

т. е.

(16)

Следовательно, среднее квадратическое отклонение эмпирической медианы при нормальном законе распределения равно

УVN

Параметр ат характеризует собой среднее квадратическое от­ клонение ряда значений медиан. Таким образом, при использова­ нии медианы в качестве характеристики центра группирования на результат измерения в большей степени влияют собственно случай­ ные погрешности, чем при использовании средних арифметических (для одного и того же значения N). Однако при законах распре­ деления, отличающихся от нормального, эффективность медианы может оказаться равной или даже большей эффективности средне­ го арифметического. Так, например, для закона распределения вида

справедливо равенство

Определим среднее квадратическое отклонение медианы для закона равной вероятности, а также для композиции законов нор­ мального и равномерного распределения.

Из предыдущего следует, что эмпирическая медиана выборки для закона распределения с плотностью / (х) и интегральной функ­ цией F (х) асимптотически нормальна и имеет параметры

Асимптотическое распределение медианы для закона равной вероятности в интервале (—/, + / ) характеризуется следующими зависимостями:

37