книги из ГПНТБ / Кулаков М.В. Технологические измерения и приборы для химических производств учебник

С точки зрения теории информации результат измерения состоит в том, что если до измерения диапазон неопределенности простирался от Х х до Х 2 и характеризовался малой плотностью вероятности

р № = Х 2 — Х г ’

то после измерения неопределенность сократилась дс величины 2Л

и имеет значительно большую плотность р (х) — •

Следовательно, получение какой-либо информации об инте­ ресующей нас величине заключается в уменьшении неопределен­ ности ее значения. Математически это положение выражается формулой (25). При равномерном законе распределения плот­ ности вероятности как до, так и после измерения исходная, или безусловная, энтропия

Н(X) = — j р (х) log р (х) dx —

—СО

Условная энтропия (энтропия результата измерения после получения отсчета Хп)

(27)

Полученное количество информации

q = Я (X) — Н (А) = log (Х2 - X,) - log 2А =

Величина интервала неопределенности может быть выражена также через значение среднеквадратической погрешности (или дисперсии). Как известно, дисперсия определяется выражением

— СО

Для равномерного распределения

отсюда

30

Следовательно, энтропия

Я (А) = log 2о / 3 .

Если погрешности измерительного прибора распределяются вокруг полученного значения Хп по нормальному закону, т. е.

— СО

и выражение под знаком интеграла для второго слагаемого опре­ деляет дисперсию.

Выражение (28) отличается от выражения (27) лишь видом произведения, стоящего под знаком логарифма. Отсюда следует, что с точки зрения информации нормальное распределение при­ водит к получению точно такого же количества информации, как и равномерное распределение, если только

Изложенный подход может быть использован и для других законов распределения погрешностей. Все это позволяет заме­

считается значение погрешности с равномерным законом распре­ деления, которое вносит такую же неопределенность, что и по­ грешность с заданным законом распределения вероятностей. Математически это определение сводится к следующему.

31

Если погрешность с произвольным законом распределения вероятностей имеет энтропию Я (А), то эффективный интервал неопределенности вне зависимости от вида закона распределения равен 2А = ен (Л>, а энтропийное значение погрешности, опре­ деляемое как половина интервала неопределенности, равно

Введение понятия энтропийного значения погрешности позво­ ляет погрешность с произвольным законом распределения всегда заменить погрешностью с резко ограниченным равномерным распределением с теми же

Р(.а) значениями энтропии. Зависимость между энт­

ропийным А и среднеквадра­ тическим а значениями по­ грешности может быть предс­ тавлена как А = ko. Коэф­

ностей.

Из всех возможных законов распределения вероятностей наибольшей энтропией обладает нормальное распределение. По­ этому нормальное распределение имеет наибольший, предельно возможный энтропийный коэффициент, равный согласно выра­ жению (29)

Любое другое распределение, отличное от нормального, может иметь только меньший энтропийный коэффициент. Например, для равномерного закона распределения

и

,73.

Наиболее близкой к значению энтропийной погрешности является оценка по удвоенной среднеквадратической погрешности, т. е. А = 2о (k = 2). С точки зрения теории информации точность

32

измерений однозначно характеризуется лишь значением энтро­ пийной погрешности измерения, равной А = ka. При этом точ­ ность не может быть определена лишь каким-то одним из этих двух показателей, а обусловлена их совокупностью. Энтропийное значение погрешности [см. формулу (30) ] вычисляется по значе­ нию условной энтропии Н (А) закона распределения погреш­ ности р (А). Однако при оценке точности мы располагаем не самим законом распределения погрешности р (А), а лишь некоторым числом п конкретных значений случайной величины А, подчи­ няющейся этому закону. На основании этого ограниченного числа результатов может быть построена лишь ступенчатая гисто­ грамма (рис. 8), в той или иной степени приближающаяся к дей­ ствительному закону распределения р (А).

3 М. В. Кулаков

Раздел первый

И ЗМ ЕРЕН И Е

ТЕМ П ЕРАТУР

Глава I

Основные понятия при измерении температур

§ 8.: Температурные шкалы

Температура — важнейший параметр химико-технологических процессов. В химической промышленности весьма широк диапа­ зон контролируемых температур и разнообразны условия их изме­ рения. Поэтому в этой отрасли промышленности применяются разнообразные методы измерения и измерительные приборы.

По современным представлениям температура — это условная статистическая величина, прямо пропорциональная средней кине­ тической энергии частиц вещества (молекул или атомов).

Измерение температуры практически возможно лишь методом сравнения нагретости двух тел, причем степень нагретости одного из тел предполагается известной. Для сравнения степени нагре­ тости тел используют изменение какого-либо физического их свойства,, зависящего от температуры и легко поддающегося измерению.

Чтобы перейти к количественному определению температуры, необходимо установить шкалу температур, т. е. выбрать начало отсчета (нуль температурной шкалы) и единицу измерения темпе­ ратурного интервала (градус).

Температурные шкалы, применявшиеся до введения единой температурной шкалы (см. ниже), представляют собой ряд отметок внутри температурного интервала, ограниченного двумя легко воспроизводимыми постоянными (основными реперными или опор­ ными) точками кипения и плавления химически чистых веществ. Этим температурам приписывались произвольные числовые зна­

34

где t' и t" — две постоянные легко воспроизводимые темпера­ туры;

п — целое число, на которое разбивается температурный интервал t"— t'.

Для разметки температурной шкалы чаще всего использовали объемное расширение тел при нагревании, а постоянными точками принимали температуры кипения воды и таяния льда. На этом принципе основаны температурные шкалы, созданные Ломоно­ совым, Фаренгейтом, Реомюром и Цельсием. При построении этих шкал была принята линейная зависимость между объемным

между объемным расширением и температурой. Поэтому показа­ ния термометров зависят от природы термометрического веще­ ства (ртути, спирта и т. п.).

С развитием науки и техники возникла необходимость в созда­ нии единой температурной шкалы, не связанной с какими-либо

ботающей по циклу Карно).

Пусть Г 2 равно температуре кипения воды (Т 100), а 7 \ — тем­ пература таяния льда (Т 0); тогда, приняв разность Т 2 — 7 \ = 100 и обозначив количество тепла, соответствующее этим температу­ рам, через Q100 и Q0, получим

а в СССР ГОСТ 8550—61 предусматривается применение двух температурных шкал: термодинамической и международной прак­ тической.

В термодинамической шкале Кельвина нижней точкой является точка абсолютного нуля (0 К), а единственной экспериментальной основной точкой — тройная точка воды. Этой точке присвоено числовое значение 273,16 К. Тройная точка воды — температура равновесия воды в твердой, жидкой и газообразной фазах, лежит выше точки таяния льда на 0,01°.

Термодинамическая шкала называется абсолютной, если в ней за нуль принята точка, лежащая на 273,16° ниже точки плавления льда.

Термодинамическую температуру обозначают через Т, а число­ вые значения сопровождают знаком К.

Строго говоря, осуществить шкалу Кельвина невозможно, так как уравнение ее выведено из идеального цикла Карно. Термо­ динамическая шкала температур совпадает со шкалой газового

36

термометра, заполненного идеальным газом. Известно, что неко­ торые реальные газы (водород, гелий, неон, азот) в широком интервале температур по своим свойствам сравнительно мало отли­

чаются от идеального газа.

Так, шкала водородного термометра (с учетом поправки на отклонение свойства реального газа от идеального) представляет собой практически термодинамическую шкалу температур.

Газовые термометры — весьма точные приборы для измерения температур, но работа с ними чрезвычайно сложна, а диапазон измерения температуры относительно узок. Они не получили широкого практического применения. Поэтому возникла необхо­ димость в разработке такой практической температурной шкалы, которая, совпадая с термодинамической и одновременно позволяя расширить температурный диапазон, была бы удобной при изме­ рениях и обеспечивала надежность воспроизведения.

Такими свойствами обладает международная практическая температурная шкала, основанная на ряде воспроизводимых равновесных состояний, которым приписаны определенные зна­ чения температур (основные реперные точки) и на эталонных при­ борах, градуированных при этих температурах.

В интервале между температурами основных реперных точек интерполяцию осуществляют по формулам, устанавливающим связь между показаниями эталонных приборов и значениями международной практической температурной шкалы.

Основные реперные точки реализуются как определенные состояния фазовых равновесий некоторых чистых веществ. Основ­ ные реперные точки охватывают температуры от —259,34° С (тройная точка равновЬсного водорода) до 1064,43° С (точка

затвердевания золота).

Эталонным прибором, используемым в области температур от —259,34 до 630, 74° С, является платиновый термометр сопро­ тивления. Эталонным прибором в области температур от 630,74 до 1064,43° С является термопара с термоэлектродами из платинородия (10% родия) и платины. Для области температур выше 1064,43° С температура по международной практической шкале определяется в соответствии с законом излучения Планка.

Температура, измеряемая по международной практической шкале, обозначается буквой t, а числовые обозначения сопро­

вождаются знаком °С.

Температура по обеим шкалам (термодинамической и между­ народной) может быть выражена как в К, так и в °С в зависимости от начала отсчета (положения нуля) по шкале. Температура по термодинамической шкале связана с температурой по между­ народной практической шкале соотношением Т = t + 273,15.

Международная практическая температурная шкала на IX Генеральной конференции по мерам и весам в 1948 г. была названа шкалой Цельсия. Общим между международной практической шкалой температур и прежней шкалой Цельсия является одна

37

одинаковая постоянная точка (температура кипения воды); во всех остальных точках эти шкалы существенно отличаются одна от другой, особенно при высоких температурах.

§9.; Классификация приборов для измерения температур

Взависимости от принципа действия приборы для измерения температуры делятся на следующие группы Т

Термометры расширения, основанные на изменении объема жидкости или линейных размеров твердых тел при изменении

температуры.

Манометрические термометры, основанные на изменении давления вещества при постсянном объеме при изменении темпе­ ратуры.

Термоэлектрические термометры, основанные на изменении термоэлектродвижущей силы термопары от температуры.

Термометры сопротивления, основанные на изменении элек­ трического сопротивления проводников и полупроводников при изменении их температуры.

Пирометры излучения, из которых наибольшее распростране­ ние получили:

а) оптические, основанные на измерении интенсивности моно­ хроматического излучения нагретого тела;

б) цветовые (пирометры спектрального отношения), основанные на измерении распределения энергии в спектре теплового излу­ чения тела;

в) радиационные, основанные на измерении мощности излу­ чения нагретого тела.

Эта классификация положена в основу при рассмотрении мето­ дов и приборов для измерения температуры.

Глава II

Термометры расширения

иманометрические термометры

§10* Жидкостные стеклянные термометры

Измерение температуры жидкостными стеклянными термо­ метрами основано на различии коэффициентов объемного расши­ рения жидкости и материала оболочки термометра. Тепловое расширение жидкости характеризуется средним коэффициентом объемного расширения, значение которого определяется соотно-

1 Классификация дана по ГОСТ 13417—67.

38

{пением

и 0°С.

Показания жидкостного термометра принято характеризовать коэффициентом расширения жидкости в стекле, определяемым уравнением

в том же интервале температур.

Для изготовления термометров применяют термометрические сорта стекол с малым значением коэффициента Ро_юз, равным приблизительно 2-10-5 1/град.

Наиболее распространены ртутные стеклянные термометры. Ртуть не смачивает стекло, почти не окисляется, легко получается в химически чистом виде и имеет значительный интервал между

—16-10~5 1/град.

Термометры с органическими жидкостями из-за ряда недостат­

ков применяют только для измерения низких температур. Из всех таких термометров наибольшее распространение получили спирто­

вые термометры.

Несмотря на большое разнообразие конструкций, все жидкост­ ные стеклянные термометры относятся к одному из двух основ­ ных типов: палочные (рис. 9) и со вложенной шкалой (рис. 10).

Палочные термометры имеют толстостенный капилляр наруж­ ным диаметром 6—8 мм, нижний конец которого образует резер­ вуар для жидкости. Шкала у них наносится непосредственно на внешней поверхности капилляра.

Утермометров со вложенной шкалой капилляр тонкостенный,

срасширенным резервуаром для ртути. Шкала наносится на пла­ стинку из молочного стекла, которая вместе с капилляром заклю­ чается в стеклянную оболочку, прикрепленную к резервуару

термометра.

Технические термометры изготовляются только со вложенной шкалой. В отличие от лабораторных их резервуар большего объема и капилляр большего диаметра, поэтому градусные деле­ ния у них крупные, а столбик ртути более заметен.

Технические и лабораторные термометры изготовляются с раз­ личными пределами шкал.

39