книги из ГПНТБ / Кулаков М.В. Технологические измерения и приборы для химических производств учебник

ряд конструктивных параметров прибора, которые в процессе эксплуатации могут изменяться. Поэтому в общем виде уравнение шкалы прибора имеет вид

логических факторов и изменений внешних условий в процессе эксплуатации прибора. По уравнению (17) можно вычислить по­ грешность прибора, вызванную изменением значений /, р, U, f.

Найдем изменение показаний прибора, вызванное изменением только одного параметра, например / х (все остальные параметры будем считать постоянными). Величины параметров практически изменяются в очень небольших пределах, поэтому приращение функции можно считать равным ее дифференциалу, т. е.

Величина отклонения параметра Д1Хот номинального значения называется первичной погрешностью, а выражение (18) — частной погрешностью. Аналогично можно найти другие частные погреш­ ности, вызываемые отклонением остальных параметров от их

Вряде случаев уравнение шкалы прибора слишком громоздко,

арасчет погрешностей затруднителен из-за сложности дифферен­ цирования уравнения. В подобных случаях удобнее сначала опре­

делить погрешности характеристик отдельных звеньев, а по ним рассчитать суммарную погрешность прибора.

В общем виде погрешность любого звена выражается зави­ симостью

Уо = / (*0- ^1. ^2» • • •) Pi. Р2> • • •)>

20

Общая погрешность данного звена Ау 0 создает i екоторую част­ ную погрешность прибора, т. е.

Аф.о = g Д^о-

Для нахождения частной производной Эф составляют уравне-

W o

ние укороченной измерительной цепи, т. е.

Ф = f (Уо).

откуда и определяют частную производную Эф

ду0 '■

§ 5« Динамические характеристики измерительных приборов и динамические погрешности

Измерительные приборы предназначены для измерения вели­ чин, которые обычно меняются во времени. Практически измери­ тельные приборы не могут без запаздывания следить за измене­ нием измеряемой величины (изменение показаний прибора отстает от изменения измеряемой величины). Эти запаздывания особенно нежелательны при использовании измерительных приборов в схе­ мах автоматического регулирования, поскольку они ухудшают устойчивость систем регулирования.

Величина запаздывания в показаниях измерительного прибора зависит от принципа его действия и от его конструкции; она обусловлена инерцией подвижных деталей узлов, теплоемкостью термочувствительных элементов, передачей импульса на большие расстояния и т. п.

Зависимость показаний прибора от измеряемой переменной во времени величины в неустановившемся или переходном режиме называется динамической характеристикой измерительного при­ бора. Вид динамической характеристики зависит от характера изменения измеряемой величины. Динамические характеристики приборов зависят от параметров входящих в них звеньев и от условий измерения.

Физические явления, определяющие динамические характе­ ристики, весьма сложны, поэтому аналитическое определение их с учетом инерциойности всех входящих в прибор звеньев, как правило, невозможно. Динамические характеристики приборов поддаются приближенному расчету только для некоторых про­ стейших случаев; на практике они обычно снимаются экспери­ ментально.

Для этого определяется изменение во времени выходной вели­ чины у при известном изменении входной величины х. Графиче­ ское изображение изменения во времени выходной величины при скачкообразном изменении входной величины представляет пере­ ходную характеристику (переходный процесс).

При определении переходной характеристики измерительного прибора сначала позволяют входной величине х установиться,

21

что через определенное время приводит к установлению и выход­ ной величины у, значение которой фиксируется (записывается). Затем значение входной величины изменяют скачком (единичный скачок) и от момента скачкообразного изменения входной вели­ чины через определенные интервалы времени фиксируют значения

выходной величины.

На рис. 5 в качестве примера показан график переходного процесса термопреобразователя (термопары, термометра сопро­ тивления и т. п.), когда значение измеряемой величины Q (темпе­

Время начала реагирования тнр — время от момента изменения значения измеряемой величины на входе прибора до момента начала изменения показаний (значения выходного сигнала).

Время переходного процесса Т — время, в течение которого показания (значения выходного сигнала) после изменения изме­

до момента установления постоянных (н- изменных) показаний.

Постоянная времени хп (для переходного процесса, описываемого уравнением экспоненты) — период времени, в течение которого показание (значение выходного сигнала) с момента начала его изменения достигает 0,632 от разности между установившимся и начальным показаниями или, для приборов, от разности соот­ ветственных значений выходных сигналов - (Хд = 0,632).

\ ГОСТ 13320—69. Приборы газоаналитические промышленные автоматиче­

ские непрерывного действия. Типы и основные параметры. Технические требо­ вания.

22

Постоянная времени (для переходного процесса, график которого не описывается уравнением экспоненты) — проекция на ось вре­ мени отрезка касательной, проведенной в точке перегиба гра­ фика, ограниченного точками пересечения касательной с осью времени и с прямой (Хд — 1).

§ 6* Погрешности измерений

Результаты измерения можно использовать лишь в том случае, когда известна погрешность или степень достоверности этого измерения. Следует помнить, что никакое измерение не может быть выполнено абсолютно точно; его результат всегда содержит некоторую ошибку. В задачу измерений входит не только измере­ ние контролируемой величины, но и оценка допущенной при изме­ рении погрешности. Причины возникновения погрешностей можно подразделить на группы: инструментальные, методические и субъ­ ективные.

Инструментальные погрешности — это составляющая погреш­ ностей измерения, зависящая от погрешностей применяемых средств измерения. Инструментальные погрешности являются следствием недостатков конструкции измерительных приборов, несоблюдением технологии их изготовления, несовершенства при­ меняемых материале в, трением в механизмах, несовершенством упругих чувствительных элементов и т. п. Эти погрешности могут быть частично устранены регулировкой прибора. К инструмен­ тальным погрешностям относятся и погрешности, вызванные' изменением внешних условий. Например, в зависимости от тем­ пературы изменяется жесткость пружин, мембран и других де­ талей, размеры деталей передаточного механизма прибора, элек­ трические сопротивления проводников, магнитные свойства мате­ риалов и т. п.

В некоторых случаях температурные погрешности можно определить расчетным путем, а в показания прибора могут вно­ ситься соответствующие поправки. Инструментальные погреш­ ности измерительного прибора складываются из погрешностей преобразователей (звеньев), составляющих прибор. Инструмен­ тальные погрешности в процессе эксплуатации прибора могут изменяться (например, погрешности трения могут возрастать от засорения механизма прибора пылью, из-за коррозии деталей, нарушения нормальной смазки и т. п.).

Чтобы быть уверенным, что инструментальная погрешность находится в допустимых пределах, приборы подвергают поверке.

Методические погрешности -являются' следствием неточности метода измерения или недостаточного знания всех обстоятельств, сопровождающих измерение.

Субъективные погрешности зависят от индивидуальных осо­ бенностей лица, производящего измерение (недостаточно точное отсчитывание показаний и т. п.).

23

Статические погрешности измерения в зависимости от причин появления принято подразделять на систематические, грубые (промахи) и случайные.

Систематическими называются погрешности, величина кото­ рых одинакова во всех измерениях, проводящихся одним и тем же методом с использованием одних и тех же измерительных приборов.

К систематическим погрешностям относятся инструменталь­ ные; погрешности, вызванные неправильной установкой прибора (например, установкой не по отвесу или уровню); методические.

Перед каждым измерением необходимо выявить возможные источники систематических погрешностей и принять меры к их исключению или определению; в большинстве случаев учет систе­ матических погрешностей затруднителен. Сложность задачи исклю­ чения систематических погрешностей заключается в том, что нельзя предложить общий способ решения этой задачи. Для опре­ деления систематических погрешностей необходимо их изучить, что делается с помощью специально поставленных экспери­ ментов.

Наиболее ответственные измерения выполняют различными ме­ тодами, чтобы получить несколько результатов, независимых друг от друга по источникам погрешностей, и затем сопоставить их.

Если даже все систематические погрешности учтены, т. е. вычислены и введены все поправки, то и в этом случае резуль­ таты измерений все же не свободны от случайных погрешностей.

Грубыми (промахами) называются погрешности, которые явно искажают результат измерения. Эти погрешности полу­ чаются, например, из-за неправильной записи результатов изме­ рения, неверной схемы включения прибора и т. п.

Измерения, содержащие грубые погрешности, исключаются из ряда измерений.

Случайными называются погрешности, не подчиняющиеся какой-либо известной закономерности. Они возникают в резуль­ тате влияния на процесс измерения случайных факторов (вибра­ ция прибора, влияние посторонних электромагнитных полей, физиологические изменения органов чувств наблюдателя и т. п.). Случайные погрешности всегда присутствуют в эксперименте; они в равной степени могут быть как положительными, так и отрицательными. Случайные погрешности не могут быть исклю­ чены опытным или расчетным путем. Для учета влияния случай­ ных погрешностей на результат измерения одну и ту же величину измеряют многократно. К ряду значений применяют законы тео­ рии вероятностей и методы статистики, на основании которых

учитывают влияние случайных погрешностей на результат изме­ рения.

Случайной величиной называют такую переменную величину, которая может быть количественно определена в различных наблю­ дениях одной и той же серии опытов и может принимать различные числовые значения, причем неизвестно заранее, какие именно.

24

При измерении физической величины, когда основную роль играют случайные погрешности, все оценки точности измерения можно сделать только с некоторой вероятностью.

В практике измерений встречаются различные законы рас­ пределения случайных погрешностей, однако наибольшее значе­ ние имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса). Формула, определяющая плотность вероятности случайной ве­ личины х, распределенной по нормальному закону, имеет вид

х 2

т. е. равные по абсолютной величине, но разные по знаку слу­ чайные погрешности встречаются одинаково часто. Быстрое зату­ хание кривой говорит о том, что частота появления малых погреш­

ностей значительно больше частоты появления больших погреш­ ностей.

Уравнение (20) показывает, что с уменьшением ст увеличи­ вается число малых и уменьшается число больших погрешностей. Дисперсия служит мерой ширины кривой распределения, т. е. разброса результатов измерения.

Для оценки величины случайной погрешности существует ряд спс собов, из которых наиболее распространены оценки с по­ мощью средней арифметической и средней квадратической по­ грешностей.

25

где

n

При очень большом числе наблюдений величина s стремится к некоторому постоянному значению о, которое называется ста­ тистическим пределом s, о = lim s. Этот предел и называется

д -»со

средней квадратической погрешностью, а о2, входящая в фор­ мулу (20), называется дисперсией измерений.

Выше отмечалось, что результат всякого измерения зависит от двух независимых величин: действительного значения изме­ ряемой величины Q0 и ошибки измерения А. Можно предположить, что действительное значение Q0 находится где-то в окрестности полученного значения измеряемой величины и поэтому можно приближенно считать

ряемой величины Qo лежит в пределах этого интервала, будет представлять собой доверительную вероятность или коэффи­ циент надежности а:

Интервал значений от X — е до X + е называется довери­ тельным интервалом приближенного равенства (22). Выраже­ ние (23) означает, что с вероятностью а результат измерений

26

ности необходимо задать два числа: величину самой погрешности (или доверительного интервала) и величину доверительной ве­ роятности. Знание доверительной вероятности позволяет оценить степень надежности полученного результата. Величина Q0 ока­ жется вне интервала (X — е; X + е) в том случае, если погреш­ ность измерения А по абсолютной величине превысит е, т. е. ! А | > е. Если погрешность измерения подчиняется нормаль­ ному закону, то вероятность того, что случайная величина х лежит в пределах —е < х < е, может быть найдена по фор­ муле (23). При ответственных измерениях требуется более высо­ кая степень надежности и поэтому нужно выбирать больший дове­ рительный интервал.

При обычных измерениях (не требующих очень высокой сте­ пени надежности) ограничиваются доверительной вероятностью 0,9 или 0,95. Средней квадратической погрешности о соответствует доверительная вероятность 0,68, удвоенной средней квадратиче­ ской погрешности (2а) — доверительная вероятность — 0,95, утроенной (За) — 0,997. Для других значений погрешностей доверительная вероятность определяется по специальным табли­ цам. В теории вероятностей доказывается, что при достаточно большом числе наблюдений (практически для п >• 30) между средней арифметической и средней квадратической погрешно­ стями существуют зависимости

В большинстве практических случаев для оценки случайной погрешности предпочтительнее пользоваться величиной s, а не-О. Это объясняется тем, что для величины s легче определить довери­ тельные вероятности, так как для этого имеются специальные таблицы. При большом значении п безразлично, какой из погреш­ ностей пользоваться, так как между ними существует соотноше­

Vn (п— 1)

Учет погрешностей косвенных измерений. Погрешность ре­ зультата косвенного измерения слагается из погрешностей ре­ зультатов прямых измерений. Для нахождения результата кос­ венного измерения необходимо результаты прямых измерений, погрешности которых имеют нормальное распределение, подста­ вить в уравнение, связывающее искомый результат с результа­ том прямых измерений.

27

Если зависимость между величиной Q, измеренной косвенным методом, и величинами X, Y, Z, измеряемыми прямым методом, имеет вид

§ 1, Применение основных положений теории информации для оценки погрешностей измерений

Вобщепринятом понимании при измерении производится количественная оценка измеряемой величины в соответствии с при­ нятой мерой (образцовой величиной). С точки зрения теории информации измерение рассматривается как процесс, в резуль­ тате которого уменьшается неопределенность в сведениях об измеряемой величине.

Втеории информации мерой неопределенности принято счи­ тать энтропию, а информация измеряется в тех же единицах, что

иэнтропия.

Количество информации на выходе измерительного прибора в идеальном случае равно количеству информации на входе при­ бора. В реальных же условиях количество информации на выходе измерительного прибора всегда меньше, чем количество инфор­ мации на входе, так как в любом приборе, при любом измерении имеются потери информации, обусловленные наличием погрешно­ стей при измерении. Количество информации, получаемое в ре­ зультате измерения,

где Н (X) — энтропия входного сигнала;

Н (А) — энтропия ошибок измерения (помехи, шума). Исходная энтропия измеряемой величины Н (X) опреде­

ляется законом ее распределения р (х).

Таким образом, информация об измеряемой величине умень­ шает энтропию (исходную неопределенность), причем полного раскрытия неопределенности достигнуть практически невозможно ввиду наличия погрешностей измерения. Информация об изме­ ряемой величине тем полнее, чем меньше значение условной

28

энтропии Я (А). При любом законе распределения плотности вероятности как до измерения, так и после него энтропия

Единица измерения энтропии зависит от выбора основания логарифма в выражении (26). Обычно выбирают основание лога­ рифма равным двум. Это объясняется удобством технической реализации устройств передачи информации, имеющих два устой­ чивых положения (реле, сигнальные лампы и т. п.). В этом случае

Д

значение погрешности. Относительная погрешность у ■= ± Х 2- Х 1’

где Х г и Х 2— нижний и верхний пределы измерений прибора. Предел измерений от Х х до Х 2 с позиций теории информации означает, что вероятность получения отсчетов, меньших Х х

и больших Х 2, равна нулю, т. е.

p ( X i < X n < X 1) = 0 ;

вероятность же получения отсчета где-то в пределах Х г и Х 2 равна единице, т. е.

р ( Х 2 > Х П > Х х) = 1.

Если считать, что плотность вероятности распределения раз­ личных значений измеряемой величины вдоль всей шкалы при­ бора одинакова, то наша осведомленность о значении величины до измерений может характеризоваться графиком распределения плотности вероятности р (х) вдоль шкалы х (рис. 7). В резуль­ тате измерения мы получаем показание прибора Хп. Однако, вследствие наличия погрешностей мы принимаем результат Хп ± А. Это означает, что действительное значение измеряемой величины лежит в пределах от Хп — А до Хп + А, т. е. в преде­ лах участка 2А (см. рис. 7).

29