Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Калнин Р.А. Алгебра и элементарные функции учебник для средних специальных учебных заведений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.10.2023

Размер:

17.72 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 4532 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 > Следующая >>>

§175, Модуль перехода от одной системы логарифмов

кдругой. Поставим такой вопрос: как найти логарифм положительного числа N по основанию b (b > 0 и ЬфІ), если известен логарифм числа N при основании а (а > О,

аф})?

Чтобы ответить на поставленный вопрос, надо уметь находить тот переводной м н о ж и т е л ь , с помощью ко торого осуществляется переход к новой системе логарифмоЕ,

Пусть loga N —m (т —известное число). Требуется найти logbN = x (X неизвестно).

Тогда

am = N, bx= N ,

откуда

ат_ fox

Логарифмируем обе части этого равенства по основанию а:

m\ogaa = x\ogab,

или

т = х loga Ь,

		х = т loga Ь '
Заменяя х и т их значениями, получим:
		log(, N = loga N	loga b '
	1
Множитель		называется	модулем перехода от сис

темы логарифмов с основанием а к системе с основанием Ь.

Пр и ме р ы .
1) log5 2 = lg 2 • ^ = 0 ,3 0 1 0				-	0,431.
2)	]0g2 7 = lg7 ■— = 0,8451 • 3,322^ 2,807.
3)	logK-	TV=	loga Д7 - -—	= 2 loga TV.
			loga K	a
Пусть a		и	b—два положительных		числа, отличных

от 1 ; тогда имеет место тождество loge 6 -lo& a= 1 ,

так как из равенства а]о^ ь = b путем логарифмирования его по основанию b находим:

loge b• log6 а =	logb b = 1 .
П р и м е ч а н и е . Помимо	десятичных логарифмов в

математике и ее различных приложениях широко приме няются натуральные логарифмы, основанием которых слу жит иррациональное число е, е æ 2,718. Натуральные логарифмы обозначаются знаком «In» без указания осно вания, например:

In 2 = lg 2-^ « 0,3010 j p ^ î 8 = 0,3010-2,303 » 0,6932.

Итак, натуральный логарифм числа примерно в 2,3 раза больше десятичного логарифма этого же числа.

Рассмотрим частные случаи модуля перехода:

если

новое

основание

Ь — — , то

М = --- ^—г = —!-=: —1

—

следовательно, log , N = — loga/V;

l0g*T

если

6 = а2, то

М =

■ logß2 ,V = Ÿ

logö Лг;

3) если&= V a ,

то М - - ---- =

log,.—УѴ= 2 loga/Vj

loga Y

J .

v a

если

b= an,

то

ЛГ = loga ап

Таким образом,

logßll N = — loga /V.

Случай

4) обобщает предыдущие

три: при п — — \ имеем случай

1), при

п = 2 имеем случай 2),

при

n =

имеем слУчай 3).

П р и м е р . Решить уравнение

logs X+

log^ X +

Iog4 X +

\ o g v -

X = — .

Приводим все логарифмы к основанию 2:

lOgzX—logzX-]--^ 1о§2 х-\-2

log2x = у

Iog2 x;=3,

х — 8.

° ® 2 Х= ~2 ’

§ 176. Показательные уравнения. Рассмотрим уравне ния, содержащие неизвестное в показателе степени. Такие уравнения принято обычно называть показательными, например:

		-4= -;		5Х+1 + 5* = 750;				9* +1 —3X + S= 486.
		/ 2 7		1
Существуют два основных							способа		решения	показа
тельных		уравнений.
1.		С п о с о б п р и в е д е н и я к о б щ е м у о с н о в а
нию.	Если обе части уравнения можно представить как
степени		с одним		и тем	же основанием				а, где а —поло
жительное число,				не равное			1 , то из равенства степеней
и оснований следует, что должны быть равны показатели
степени. Приравняв показатели степени, получаем обычно
уже известный нам тип уравнения.
П р и м е р 1. V 3 х — }— .
к					/ 2 7
Имеем:
3 2 = г р т ;			3	2 = 3	2’	°ткуда		у = —		—з '
П р о в е р к а .
			/ 3 " 3=		3			1
			/ 3 " 3=		3			1^27	'
								1^27	'
П р и м е р			2.	5*+1 -f-5х — 750.
Так		как 5Х+1 = ЪХ-5, то можно вынести в левой части
общий	множитель 5* за скобки, получим:
или		5*-(5+ 1) = 750;				5*-6 = 750,			5*= 125,
или				5* =		53;	л:= 3.
П р о в е р к а .				5* =		53;	л:= 3.
П р о в е р к а .
		53+1 + 53 = 625+ 125					=750;	750 = 750.
П р и м е р 3. Т 9х							Уз .

Представим обе части уравнения как степени числа 3:

9 2 [* (■*—1)	Y ]	-L	1	[ - " - / _ 3 Т;
9 2 [* (■*—1)	Y ]	= 3 4 ;	(З2) 2	[ - " - / _ 3 Т;
			J_	_1_

X ( J C - 1 ) -

откуда
	х ( х — 1 ) —у =					^ 2 —^—т ^ 0'
Решая	это квадратное			уравнение, находим:
					1	3
Подстановкой в первоначальное уравнение убеждаемся,
что оба корня		пригодны.							обе их ча
2 .	Спо с о б л о г а р и ф м и р о в а н и я								обе их ча
с тей	у р а в н е н и я .
П р и м е р		4. 2,3* = 1,5*+1.
Здесь представляется более удобным логарифмировать
обе части уравнения,				после чего получим
				x-lg2,3 = (%+ 1) lg 1,5;
	X lg 2,3 —X lg 1,5 =					lg 1,5;
	X (lg 2,3 —lg 1,5) = lg 1,5;
			lg 1,5			0,1761	0,95.
		lg 2,3 — lg 1,5 ~				0,1856	0,95.
		lg 2,3 — lg 1,5 ~				0,1856
В	некоторых		случаях		при решении			показательного
уравнения удобно			вводить вспомогательное						неизвестное.
П р и м е р		5.	4х - 1	—2х+3-)-28 —0.
Им е е м
(2 2) * - 1 —2Х+3+ 28 = 0 ,					или	2 2х-2 ~2—2 *-2 3 + 28 = 0 ;
пусть	2х = г;	тогда		2 2* = z2;		уравнение		принимает вид
	— 8 z ф-28 = 0,				или	z2 — 32z-Р 112 = 0.
Решая это квадратное					уравнение, получаем:
			Zj. = 4;			Z 2 = 28,
откуда
			2х = 4;			* 1 = 2;
			2 *= 28;		д: lg 2 = lg 28;
				lg 28		4,81.
				'	lg 2	4,81.
				'	lg 2

Оба корня удовлетворяют данному уравнению. П р и м е р 6 . Решить систему

2*-3*= 12,

2 ^-Зх = 18.

Разделим почленно первое уравнение на второе:

2х-ЗУ	2	ИЛИ	2х-у. Зу~* =	2
2У-3Х	3 ’	ИЛИ	2х-у. Зу~* =	ТГ ’ но		3х - у ’
	2х-У	2	( 2 \х-и / 2 V
	3х-у	3 ’	или 1 з-)	Чзг) ’	следовательно,
		X—У= !> или у == х — 1 .
Теперь первое уравнение системы примет вид
		2Х-3Х~1= 12, или		6Х = 36,
откуда х = 2, у = 1 .
§ 177.	Логарифмические уравнения.					неизвест
О п р е д е л е н и е .			Уравнение,	содержащее		неизвест

ное под знаком логарифма, называется логарифмическим. Примерами таких уравнений являются:

1 )	lg(* + 6 ) - \|l g ( 2 x - 3 ) = 2 - lg 2 5	,
2 )	]/rîgx = lgV'x,
3)	log2 (9Ï _ 1 -f 7) = 2 + log2 (3* ' 1 + 1 ).

Основной способ решения логарифмических уравне ний—это потенцирование, в результате чего получаем обычно алгебраическое уравнение. Найденные корни необ ходимо проверить, так как возможны случаи появления

посторонних		корней.
П р и м е р		1. lg(* + 6 )—у lg(2л:—3) = 2 —lg25.
Очевидно,		что
	lg (X + 6 ) - 1 lg (2х —3) = lg
(левая	часть	уравнения),
		2 —lg 25 = lg 100—lg 25 = lg 4
(правая	часть уравнения). Таким			образом,
		JC-j- 6
		lg У 2х	lg 4.
Но равным		логарифмам,	взятым	по одному и тому же
основанию, соответствуют			равные	числа. Следовательно,
х+ 6	.	„
	4.	Решая это иррациональное уравнение, на-

V 2х—3

ходим два корня: хг = 6 ; х2-

Проверка	1	jo
Проверка	корня * 1 = 6 : lg 12—у lg 9 ===lg 4; lg y = lg4
(верно).
Проверка корня *2=14; lg 20 — ^ lg 25= lg4,		l g l g 4
(верно).	2 . y \ g x = ]g]/rx.
П р и м е р	2 . y \ g x = ]g]/rx.

Прежде чем находить корни этого уравнения, найдем область допустимых значений *: обе части уравнения

имеют смысл	при	lg x ^ O , * ^ 1 ;		учитывая,		что
lg К * = у lg*»	имеем	j/lg * = y lg * ; возводим			обе	части
в квадрат:
lg * = 4-lg2*. или			—п	о
следовательно,
		lg X= 0 ,	* і = 1 ;
		lg * = 4,	* 2 = 104.

Убедитесь в том, что оба корня удовлетворяют исход ному уравнению.


П р и м е р		3.	lg (*lgх) — 1.			Ясно,		что * > 0 и		хф>\.
Так	как	lg(lgA:) = lg-lg* = lg2 x,						то уравнение			при
нимает	вид:	lg2 * = l ; l g * = ± l ;					і = 0 , 1 ; 2 =			1 0 ;	оба
корня	годны.		21glg* = lg(7 —21g*) — lg 5.
П р и м е р		4.
Если положим				lg x = t,	то имеем			2 lg t = lg (7—2t) —
—lg 5,	или	lg t2 = lg -- - -- ,			откуда		t* = ? ~ 2t , ^ = —7/5
(не годен, так как не существует								lg ^),	t2= 1 ;	* = 1 0 .
Проверкой		легко		убедиться,		что	* = 1 0 удовлетворяет
данному уравнению.							ху = а2,		lg2* -fig 2у =
П р и м е р		5.	Решить систему

= у lg2 а2-

Очевидно, что искомые значения неизвестных должны быть положительными числами: * > 0 ; г/> 0 .

Логарифмируем первое уравнение: lg * + lg у = 2 lg а. Полагаем lgx = ?r, lg у = ѵ, тогда имеем систему

( i/-fü = 2 1 ga,

или	u-\-v = 2m,
(	u-\-v = 2m,
\	u2-\~v2 — Ют2,
где т — lg а.
Решая эту систему, найдем:
и1-~ —т = — lg а;		и2 — 31g а;
ѵг = 3т	= 31ga;	и2= —lgа,
откуда

lg^i = — lga; * 1 = - ; lgyi = 31ga; Уг=а\

Аналогично находим: х2 — а3, у2 = -^-.

Проверка решения х1 = -^; Ух — а3:

(— lga)2 + (3 lga)2 = 10 lg2 a.

§ 178. Решение простейших показательных и логарифмических неравенств. Неравенства, содержащие неизвестное в показателе сте пени или под знаком логарифма, принято называть соответственно

показательными или логарифмическими неравенствами. Такие нера венства, в большинстве случаев, приводятся к алгебраическим.

П р и м е р

1. Решить

неравенство 2ЗХ~2 < 2Х + 3.

При основании, большем

I, меньшему

значению показательной

функции

соответствует

меньшее

значение

показателя

степени,

т. е. Зх — 2 <

х + 3, 2х <

х < — .

П р и м е р

2. Решить

неравенство 2-32х—5-3* + 2 > 0 .

Введем

вспомогательное

неизвестное.

Положим г = 3* (а > 0).

Тогда

2г2 —5г + 2 > 0,

т. е.

имеем квадратное

неравенство

относи

тельно

г. Корни трехчлена,

стоящего в левой

части, равны

— и 2;

по известному нам правилу трехчлен

положителен при всех

значе

ниях г, лежащих вне промежутка

, 2^ . Следовательно,

г > 2 или

г < —- . Так

как г > 0 ,

то

0 < г < у

или

г > 2.

Итак,

0 <

3х < -і-

или

3х > 2.

Таким образом, после логарифмирования (по основанию 10)

имеем:

lg—-

0 8010

X lg 3 < lg ту . х < ~])7з~ ’ * < ~ 0 І4 7 7 Г ’ * < - ° ’63-

Решая второе		неравенство		3* > 2,	находим:
		х >		, или X > 0,63.
			lg 3
П р и м е р	3.	log !	(2х+ 5) < —2.
		Т
Отметим,	что неравенство			имеет	смысл при 2 я + 5 > 0 , или при
5			правую часть		неравенства, т. е. число — 2,
X > — g- ■ Представим			правую часть		неравенства, т. е. число — 2,
как log,	,	или	— 2 = lo g , 9.		Тогда log,	(2x + 5)log, 9, но
T V	'			T	T	T

так как при положительном основании, меньшем единицы, меньшему

логарифму соответствует большее			число, то
		2 я + 5 > 9 ;			X	> 2.
П р и м е р	4. log3 I 3—4х I > 2.
В данном неравенстве х может принимать любое значение, кроме
X= - \|- . Тогда,	потенцируя, имеем:
		\ 3 — 4 л: I > 3 2 = 9,
		I 3—4x I	> 9.
1) Предположим,		что 3—4л: > 0,							3
1) Предположим,		что 3—4л: > 0,			или х < — . Тогда
							3
		3 — 4х > 9 , X < — g - .
2) Если 3 —4х < 0, то I 3—4х \| =					4х—3,
		4л:— 3 > 9 ,			X > 3.
Итак, неравенство log3 13—4х\				> 2		удовлетворяется значениями
	3
X > 3 или X < —7 J- .
П р и м е р	5. loge (х—3 У х -\-1 -f-З) < 1.									выполнены
Это неравенство		имеет смысл,			если		одновременно			выполнены
два условия:
	f	л:—3			3 >		0 ,
	(	Я + І ^ О ,	ИЛИ			Х	^ г	—	1.
Решаем первое	неравенство системы:
	я + 3 > 3 ]/~ я + 1				при		х	^	— 1.
Здесь обе части положительны			и возведение в квадрат							допустимо;
	(я + 3)2 > 9 ( я + 1),			или			я2 —Зх > 0,
		X < 0,		X	>	3.

Итак,

выражение

под

знаком

логарифма имеет смысл, если— 1 <

і < 0

и г > 3 .

Теперь

решим

само

неравенство. Потенцируем,

помня,

что основание логарифмов больше 1 , получаем х —3

-f-1

3 < 6 , или

х — 3 <зѴх+1 .

(1)

1) При всяком

из

промежутка— 1 < л :< 0

неравенство

(1)

справедливо, так как левая часть отрицательна, правая часть

не

отрицательна,

и, таким

образом, исходное неравенство

также

спра

ведливо.

части

неравенства

(1)

положительны,

можно

2) При X > 3 обе

возводить в квадрат, так

как смысл неравенства не изменится. Имеем

(х—З)2

< 9 (х + 1 ). После раскрытия скобок

и переноса всех членов

в левую часть получим х2— Іох < 0,

откуда 0 < х <

15.

Поскольку X > 3, то решениями будут значения

х из промежут

ка 3 < X < 15.

Таким образом,

решениями первоначального неравен

ства являются

все

точки

из

промежутков— 1 s i х < 0, 3 < х <

15.

П р и м е р

6 . log* 2 .1og2x 2 - log. Ах >

1 .

По определению логарифмической функции основания х и 2х

должны быть

положительными, не равными

1. Итак х > 0, х Ф

X Ф 1. Приведем все логарифмы к одному основанию,, равному 2:

log-. 2 = 1—!— ;

log.,v- 2 =

1—

—1-----

log2 X

ѣгх

log2 2x

1 + log2 X

(см. тождество

log& a-\oga b= 1 ).

Исходное неравенство принимает вид

loga х

j---------- •

( 2 - f log2 X )

> 1.

log2 x

Положим logг х = і ,

TT7' <2+ ' ) > | ;

после простых преобразований неравенство примет вид

— t 2 + 2

> 0 ,

или

t'2—2

< 0.

t{t +

ï)

*(*+ 1 )

Решая его, находим: —

2 < t < — 1, 0 < / < Ѵ^2.

Заменяя t

на

log2 x, имеем:

1 ) log2 2~Ѵ 2 <

log2 x <

log2 y

, откуда 2~v 2 <

x <

y ;

2 )

Iog2 1 <

log2 x <

log2 2V 2, откуда

1 <

x < 2V 2.

§ 179. Примеры графического решения уравнений и неравенств.

П р и м е р 1. Решить уравнение 4х = 2х,

Строим прямую у — 4х и	кривую у = 2х (рис.	114).
Абсциссы точек пересечения	этих линий являются	кор

нями данного уравнения. На рисунке видно, что абсциссы

точек пересечения этих графиков х1 = 4 и x2æ -\ü-. Таким

образом, данное уравнение имеет два корня. В том, что данное уравнение не может иметь больше двух корней, можно убедиться из следующих соображений: график у = 2х есть вогнутая кривая, а прямая может иметь с такой кривой либо две общие точки, либо одну общую точку, либо ни одной.

П р и м е р	2.	Решить уравнение х-23 = 1 .
Так как	при	всех действительных значениях х функ

ция 3х положительна, то 23* > 1 (свойство показательной функции при основании, большем единицы, и положительном

<<< < Предыдущая 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 3132 / 4532 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ