книги из ГПНТБ / Калнин Р.А. Алгебра и элементарные функции учебник для средних специальных учебных заведений

изобразить так:

пнулей

а= 0 , 0 0 0 . . . Öbxb2

где Ьг есть первая значащая цифра. Имеем неравенство

п нулей { п — 1) нулей

Логарифм даннойдроби оказался заключенным между двумя целыми отрицательными числами: — п и — (п — 1 ), разность между которыми равна 1 , следовательно, он (логарифм) равен меньшему числу + положительная пра­ вильная дробь:

lga = —ц +правильная положительная дробь.

Итак, характеристика lg а равна —п.

Условились алгебраическую сумму целого отрицатель­ ного числа и положительной правильной дроби сокращенно записывать так:

—3 + 0,4317 = 3,4317; —5 + 0,8205 = 5,8205.

Знак минус сверху указывает на то, что отрицательна лишь целая часть, мантисса же положительна (читается: пять под минусом). В такой форме принято записывать

гарифм в искусственную форму, поступают так: к харак­

теристике прибавляют отрицательную единицу и ставят над результатом знак минус сверху, все цифры мантиссы

без изменения, а характеристика увеличивается или умень­ шается соответственно на одну, две, три и т. д. единиц.

только от положения запятой в данном числе, но не зависит от цифр, изображающих это число.

Логарифмы таких чисел, как 278; 598,5; 110,7; 705,48; 142,845, имеют одну и ту же характеристику, равную 2.

2) Мантисса не зависит от положения запятой, а за­ висит только от значащих цифр и их взаимного распо­ ложения. Мантиссы логарифмов таких чисел, как 23,4;

которых разнятся на 1 ; между ними должна заключаться степень числа 2 с достаточно большим показателем. Другими словами, надо решить неравенство вида

лицей квадратов как вспомогательным средством. Имеем:

0,3001 < lg 2 <0,3017,

или

0,300 < lg 2 <0,302,

Взяв полусумму верхней и нижней границ, имеем:

lg 2 «0,301.

Более точные вычисления дают:

lg 2 = 0,3010299956...

Первые три десятичных знака были вычислены нами совершенно точно. Существуют другие, более удобные способы вычисления логарифмов, но они требуют знания высшей математики.

§ 170. Действия над логарифмами. Прежде чем при­ ступить к вычислениям с помощью логарифмов, надо на­ учиться производить четыре арифметических действия над логарифмами, ибо к этому в основном сводится техника логарифмирования. Рассмотрим каждое действие в от­ дельности.

1. Сл о же н и е .

Сложение производится по правилам сложения деся­ тичных дробей с той разницей, что характеристики складываются алгебраически, и к результату прибав­ ляются целые единицы, полученные от сложения десятых долей мантисс.

2. В ы ч и т а н и е . Рассмотрим несколько случаев. П р и м е р 1 .

2,4845

3,1796

1,3049

Из мантиссы уменьшаемого (0,4845) вычитаем мантиссу вычитаемого (0,1796), получаем в результате 0,3049, затем из характеристики уменьшаемого (2 ) вычитаем характе­ ристику вычитаемого (3), получим — 1 ; оба результата вычитания объединяем в запись 1,3049.

П р и м е р 2 .

1,3516

—2,6432

2,7084

При вычитании мантисс пришлось занять единицу из характеристики уменьшаемого, т. е. из 1,3561 вычесть 0,6432, что дает 0,7084; вычитая характеристики, полу­ чим 0 —(—2 ) = 2 .

П р и м е р З .

3,2534

5,6718

1,5816

Характеристику уменьшаемого ( —3) представляем мыс­ ленно как сумму (—4 + 1), положительную единицу присоединяем к мантиссе и из 1,2534 вычитаем мантиссу вычитаемого 0,6718, что дает 0,5816. Затем вычитаем ха­ рактеристики: —4 —(—5) = 1 ; окончательный результат 1,5816.

3. У м н о ж е н и е . При умножении логарифма с отри­ цательной характеристикой на натуральное число в от­ дельности умножается мантисса и характеристика:

2,1853-4 = (—2 + 0,1853) -4 = — 8 + 0,7412 = 8,7412.

Обычно такое умножение производится без предваритель­ ного представления логарифма в виде алгебраической

Если логарифм с отрицательной характеристикой, но с положительной мантиссой умножается на положитель­ ную десятичную дробь, то удобно перевести логарифм из искусственной формы в естественную, произвести умножение двух десятичных дробей и результат перевести в искусственную форму.

3,6418-(—0,47) = — 2,3582-( —0,47) = 1,1084.

4. Д е л е н и е . Если нужно разделить логарифм с от­ рицательной характеристикой на натуральное число, то

здесь надо различать два случая: а) когда характери­

число, делящееся нацело на делитель; к мантиссе одно­ временно прибавляем столько же положительных единиц и делим в отдельности полученные целую и дробную части.

Пр и м е р 3. 5,4724:4 = 2,8681.

Кхарактеристике было прибавлено —3, к мантиссе +3, деление легко произвести в уме.

П р и м е р 4.

3,1832:0,658 = —2,8168:0,658 = —4,2809 = 5,7191.

П р и м е р 5.

Т ,6405 :(—1,3) = —0,3595 :(—1,3) = 0,3595:1,3 = 0,2765.

§ 171. Дополнительный логарифм. Два числа N a — ,

как известно, называются взаимно обратными-, произве­ дение их равно 1 .

Оп р е д е л е н и е . Дополнительным логарифмом чис­

ла N называется логарифм числа :

доп. lgiV = lg-^.

Так как

то

доп. lg А7 = — lg N.

Дополнительный логарифм числа N есть логарифм этого же числа, взятый с противоположным знаком;

например:

а) доп. lg 17,18 = — lg 17,18 = —1,2350 = 5,7650; б) доп. lg 0,0085 = — lg 0,0085 = —3,9294 =

т —мантисса, тогда

доп. lg Л7 = — lg Л7 = — с— т — — с— 1—т + 1 =

= — (с+ 1 ) + (1 —т).

Чтобы по логарифму числа N найти его дополнительный логарифм, надо к характеристике прибавить единицу и результат взять с противоположным знаком, мантиссу же вычесть из 1 .

Приме р .

1)— lg0,0672 = доп. lg0,0672 = —2,8274 = 1,1726;

2)— lg 13,8 = —1,1399 = 2,8601;

=—1,9443 = 0,0557.

§172. Таблицы логарифмов. Таблицы Брадиса дают приближенные значения мантисс логарифмов всех целых чисел от 1 до 9999 с четырьмя точными десятичными знаками; характеристика логарифма проставляется на

основании указанных свойств десятичных логарифмов. Так как мантисса логарифма не зависит от положения запятой в изображении числа, а зависит только от по­ следовательности значащих цифр в данном числе, то этими же таблицами можно пользоваться для отыскания мантисс дробных чисел. Ниже дается отрывок из таблицы.

Предположим, что надо найти lg 65,4. Первые две цифры числа (65) берем из первого слева столбца, помеченного сверху надписью «УѴ», и продвигаемся от числа 65 по горизонтальной строке до пересечения с вертикальным столбцом, помеченным сверху (или снизу) третьей знача­ щей цифрой числа, т. е. цифрой 4. В пересечении полу­ чим мантиссу 8156, что означает десятичные доли, т. е. 0,8156, следовательно, lg 65,4= 1,8156. Мантиссы логариф­ мов двузначных чисел или трехзначных чисел, оканчиваю­ щихся нулями, берутся из столбца, помеченного сверху цифрой нуль; например, мантисса логарифма числа 68 или числа 680 равна 0,8325.

Чтобы найти логарифм четырехзначного числа, напри­

находим следующим образом: находим сначала, как было объяснено выше, мантиссу логарифма трехзначного числа 675, т. е. числа, изображенного первыми тремя цифрами данного числа; получаем 0,8293; от этой мантиссы про­ двигаемся вправо по горизонтальной строке, пересекая двойную вертикальную черту, пока не окажемся на пере­ сечении с тем из напечатанных в правой части таблицы столбцов, который помечен сверху цифрой 4; в пересече­ нии находим число 3 (3 десятитысячных); это —поправка на четвертую значащую цифру 4, ее легко прибавить в уме к уже найденной мантиссе 0,8293; получим оконча­ тельно: lg 6754 = 3,8296.

§ 173. Таблицы антилогарифмов. Число, соответствую­ щее данному логарифму, называется антилогарифмом. Для нахождения числа по данному его логарифму поль­ зуются таблицами антилогарифмов. Устройство и способ употребления их ничем не отличаются от только что описанной таблицы логарифмов. Если lg x = 1,5245, то х (антилогарифм) находим следующим образом: не обращая пока внимания на характеристику, берем первые две цифры мантиссы, т. е. 52, из первого слева столбца, помеченного буквой т (мантисса), и продвигаемся по этой горизон­ тали до пересечения со столбцом, помеченным сверху третьей цифрой мантиссы 4; на пересечении их находим число 3342; на четвертую цифру мантиссы —5—находим поправку 4, помещенную на пересечении той же горизон­ тали с тем из крайних справа столбцов, который помечен сверху цифрой 5; поправку прибавляем к найденному

y = Y 0,178. y/0,4963+ 4,727/ 0 , 00283.

Вычислим каждое подкоренное слагаемое в отдельности:

1) N = 0,178^0^4963; IgN = lg0,178 + y lg0,4963;

lg 0,178= 1,2504

lg Д7 = 1,1490 Aï = 0,1409;