Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

книги из ГПНТБ / Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений

.pdf
Скачиваний:
15
Добавлен:
25.10.2023
Размер:
18.18 Mб
Скачать

вание подлинного детерминизма механики с существованием жизни и моральной свободы». Не останавливаясь на разборе этой работы, отметим только, что автор уделил здесь существен­ ное место рассмотрению, по его термину, асимптотической функ­ ции. Более того, здесь было введено понятие, и, видимо, в столь четкой постановке впервые, асимптотических интегралов диффе­ ренциальных уравнений. О них он писал, что «асимптотические интегралы могут быть рассмотрены, в зависимости от случая,, либо как место сходимости, соединения частных интегралов, ли­ бо как место расходимости или разветвления, либо, наконец, как одно и другое одновременно» [108.1, 50—51]. Более четко во­ прос об асимптотических интегралах изложен Буссинеском в статье [108.2] (1882 г.), где он охарактеризовал сущность асимп­ тотического интеграла, а также уточнил его геометрический смысл: асимптотическое решение образует ядро (стержень), или, лучше, ось пучка интегралов, бесконечно сжатая часть кото­ рого, содержа интегралы, выходящие с бесконечности или предназначенные к разделению только в бесконечности, не име­ ет ширины; напротив, интегралы обычные смежные принадле­ жат пучку менее тесным образом, если это не в бесконечности, и следуют близко к нему лишь только на некотором его участке.

Таким образом, Буссинеск довольно четко владел понятием асимптотических интегралов, понимал их связь с асимптотиче­ скими рядами и ввел соответствующую терминологию несколь­ ко раньше, чем Пуанкаре. Вполне вероятно, что указанная ра­ бота Буссинеска дала повод Пуанкаре для введения термина «асимптотический» ряд. По существу оно уже было в обиходе математиков.

§ 2. Теория асимптотических рядов Стилтьеса и Пуанкаре и применение их к представлению интегралов уравнений

В мемуаре [262] Стилтьес имел целью изучить некоторую функцию F (а) для весьма больших значений положительного действи­ тельного аргумента а й в предположении, что lim F (а) = т0. Иначе

со

говоря, т0 дает приближенное значение F (а) для очень большого

значения а, или F (а)—т 0-> 0

при а-*- оо.

Пусть затем

lim а [F (а) — m0]= /n ,,

причем lim

F (а) — т0

Анало-

а~>оо

а->со

—т2, причем lim а21F (а) mQ—

гично пусть lim a2jV (а) — tnQ

 

 

а*>аэ

L

пн_Щ = 0 и т.д. Тогда можно получить асимптотическое (по терми-

аа2

ну автора полусходящееся) разложение для функции F (а)

F(a)>

Fh

,

т,

,

,

m« I

( 12. 1)

' т о + a

+

a2

+

‘ ‘ ' +

an + '

290

Эти разложения автор делит на два

 

 

вида в зависимости от того, меняются

 

 

ли знаки их членов или остаются не­

 

 

изменными. Чтобы

 

можно было ис­

 

 

пользовать такие ряды для числовых

 

 

расчетов, надо исследовать их остаточ­

 

 

ный член Rn. Рассматривая ряды пер­

 

 

вого вида (знакочередующиеся), ав­

 

 

тор установил, что Rn меняет з#нак при

 

 

переходе от S n к S„+I и по абсолютной

 

 

величине будет меньше последнего из

 

 

оставленных или первого из отбро­

 

 

шенных членов. Таким образом,оказы­

 

 

валось, что F (а) содержалась всегда

 

 

между суммами п и п + 1

первых чле­

 

 

нов ряда вида (12.1).

рода,

исследование

Томас Стилтьес

Для рядов второго

которых составляло главную часть работы,

( 1 8 5 6 — 1 8 9 4 ) .

 

 

Стилтьес предлагает непосредственно оце-

 

 

нивать порядок Rn,

 

 

_П ті

В процессе этого он

где Rn = F (а)— ^ ^Г .

 

 

 

1=0

 

 

искал то значение п,

когда Rn возможно меньше, по

формуле

л =

аа +

а0 + -^- + ^г +

---

(12.2)

и брал ближайшее к п целое число.

Пуанкаре подошел к асимптотическим рядам в связи с необ­ ходимостью представления ранее упомянутых нами нормальных интег-

 

п

jk

ралов линейных дифференциальных

dr у _„

уравнений (вида

~ и»

где Л* — функция от х). Именно в

*=о

[237.11]

первом из сообщений

(1885 г.) речь шла о таких интегралах и связанных с ними нормальных рядах. Пуанкаре там же указал некоторые фундаментальные свой­ ства нормальных рядов (и связанных с ними интегралов), отмечая, что их аналитическая природа аналогична тому, что имелось при изучении ряда Стирлинга.

Применяя преобразование Лапласа, Пуанкаре строит инте­ грал данного уравнения в форме y = j e zxvdz, где ѵ как функция z удовлетворяет уравнению того же вида, что и данное. Так было указано принципиальное значение асимптотических рядов для выражения интегралов уравнений и перечислены их основные свойства. Подробно и в общей форме, с введением соответствен­ ного термина, вопрос изложен в мемуаре [237.15], опубликован­ ном в 1886 г. И здесь (что принципиально важно) теория асимп­

19*

291

тотических рядов стала разрабатываться как инструмент для выражения интегралов линейных уравнений.

Автор говорил, что расходящийся ряд

Д + ^ + ^ + . . . +

^

+

(12.3)

сумма п+1 первых членов которого S n, представляет асимпто­ тически функцию І(х), если выражение хп —S„)->-0 при х->-оо. При достаточно больших х xn(I—S n)<e, где е — достаточно ма-

е

лое; ошибка IS n= ~^i, когда за функцию берется сумма п+1

первых членов, весьма мала. Более того, она значительно мень­ ше ошибки, допускаемой в том случае, если брать только сумму п первых членов ряда (12.3). Этот ряд подобен ряду Стирлинга. При довольно больших X его члены убывают довольно быстро, а потом с определенного значения возрастают неограниченно по абсолютной величине. Однако, несмотря на его расходимость, мсжно им пользоваться при вычислениях I. Если асимптотиче­ ское разложение данной функции существует, то оно единствен­ ное. Пуанкаре здесь же показывает, что с асимптотическими ря­ дами можно поступать как с некоторыми функциями и над ними можно производить действия сложения, вычитания, деления, умножения, возвышения в целую положительную степень и ин­ тегрирования, но нельзя дифференцировать в общем случае. Асимптотический ряд можно получить при определенных усло­ виях в результате подстановки степенного асимптотического ряда в сходящийся степенной ряд. Также было замечено, что один и тот же асимптотический ряд может представлять различные многие функции и что возможно обобщение асимптотических рядов на функции комплексного переменного. В заключение пер­ вого параграфа Пуанкаре дал также обобщенное определение асимптотического ряда.

Затем подробно изучается уравнение

^ 0 + V , £ ä ! + - - ' + -P.-|- + ^ = o.

(12-4)

коэффициенты которого Рі — полиномы по х. Вопрос ставится о представлении его интегралов в окрестности х = оо. Если степе­ ни полиномов Рп, Рп-и ... Ро образуют убывающую последова­ тельность, то согласно с теоремой Фукса имеется п удовлетво­ ряющих формально уравнению (12.4) и сходящихся для доста­ точно больших значений |х| рядов вида

*“ (Ло + Т ' + ‘# + •••)

(12-5)

и называющихся регулярными интегралами. Значения а даются некоторым определяющим уравнением. Исключительным явля­

292

ется случай, когда разность двух корней этого уравнения стано­ вится равной целому числу. В этом случае в ряды может войти log *.

Если последовательность степеней полиномов Р не является монотонной и если степень Ро меньше степени Рп, то в некото­ рых случаях могут существовать т (т<п) рядов вида (12.5), которые формально удовлетворяют уравнению, но нигде не схо­ дятся. Наконец, если оставить в стороне некоторое ограниченное число исключительных случаев (о которых речь идет далее), можно доказать, что имеется п рядов вида

 

( 12. 6)

которые формально удовлетворяют уравнению (12.4)

(Q — це­

лый полином по х). Такой ряд Пуанкаре называет

«нормаль­

ным» и притом р-го порядка, если многочлен Q р-й степени. Здесь также могут появляться логарифмы, тогда получится «ло­ гарифмический нормальный ряд» р-го порядка и вида

eQxa (ф0 + ф, log X + ф2 log2* + • . ■+ ф, log"*),

где ф — степенные возрастающие ряды по степеням — . Между

порядком нормальных рядов и степенью полиномов Р, имеется следующее соотношение. ПустьМ, — степеньPt и Nt = (АТ,-—М„) :

:

—і). Пусть h — наибольшее из п чисел Ni, а р — целое чис­

ло,

равное h или непосредственно следующее за h. Тогда все

нормальные ряды, удовлетворяющие формально уравнению (12.4), будут порядка не выше р. Величина h называется рангом уравнения (12.4).

Пуанкаре сначала исследует случай, когда все нормальные ряды первого порядка (§3 мемуара). В этом случае степень т

для Рп не превзойдется

никаким Р,-. Если Аі — коэффициент

при хп в Ри то образуется уравнение

 

Апап +

ап- '+ .. . + Аха + А0= 0

(12.7)

и пусть а1, яг, •••, йп — все его корни, по предположению различ­ ные. Итак, уравнению (12.4) будут удовлетворять п нормальных рядов первого порядка и вида

где

а 1(

аг, • • • осп — подходяще выбранные константы

и <рг (і ==

=

1,2........

п) — ряды, упорядоченные по возрастающим

степеням

293

Применяя затем к уравнению (12.4) преобразование Лапла­ са (о чем уже шла речь и раньше), можно получить уравнение

^

К

d v

( 12.8)

+ Q

+ • ■• + Ql dk + Qov = °>

Q, 1dz”

П dz'

 

где Q — полиномы по z не выше n-й степени. Итак, уравнение (12.8) допускает п простых особых точек г=а* (і=1, 2,..., п), и определяющее уравнение относительно точек а, имеет корни О, 1,2,... т—2, ßj. Если предположить сначала, что ß* — не целое число, то в окрестности z = a, уравнение (12.8) будет иметь т—1 голоморфный интеграл и т-й в форме

Vі = ( Z —ßi)ßt' + n ( z —atf i+l + .. .

Тогда

It = v J^ d z

<4

(где ki — некоторый замкнутый контур, содержащий несобствен­ ные элементы) будет интегралом уравнения (12.4). После неко­ торых преобразований Пуанкаре получает представление всех п интегралов уравнения (12.4) асимптотически нормальными рядами первого порядка. Это утверждение имеет место и в том случае, когда ßi — целое число и в представление щ входят лога­ рифмы. Но если логарифмические члены отпадают, то вместо кривой ki берется как путь интегрирования прямая от щ до —°о.

Исключительный случай получается тогда, когда два корня уравнения (12.7) равны между собой. Тогда уравнение (12.4) в общем не интегрируется через нормальные ряды. Если нормаль­ ный ряд сходится, то он всегда представляет интеграл уравне­ ния (12.4). Необходимым и достаточным условием этого есть то,

что интеграл щ представим в форме (z—аг-)Р{ ф(Х), где cp(z) — голоморфная во всей плоскости функция.

Рассмотрев также обобщения полученных результатов, Пу­ анкаре пришел к важному выводу, что «наиболее общий инте­ грал уравнения (12.4) представлялся асимптотически через нор­ мальный ряд» (стр. 343).

§3. Учение об асимптотических рядах

иих применении к представлению интегралов дифференциальных уравнений в 90-е годы XIX и в начале XX веков

(связь с теорией устойчивости)

Выше рассмотренные работы Стилтьес». а особенно Пуанка­ ре легли в основу нового, большого найвавления в анализе. С 90-х годов прошлого века довольно бурно стала развиваться как теория асимптотических рядов, так и их применения к инте­ грированию дифференциальных уравнений в трудах Пуанкаре,

294

Пикара, Ляпунова, Бореля, Горна, Кнезера, Адамара, Боля и других. При этом интенсивно стало культивироваться направле­ ние, рассматривавшее тесную связь этой теории с общей задачей об устойчивости движения. Так, уже в 1892 г. в первом томе мо­ нографии Пуанкаре «О новых методах в небесной механике» [237.20] глава VII была посвящена асимптотическим решениям. Здесь рассматривалась система уравнений

dx

= x t (хи

Х 2 , . . . ,хп ,(), (і = 1,2,. . . , п),

(12.9)

где Хі — функции, разлагающиеся в ряды по целым положитель­ ным степеням Х і и периодические по 1 с периодом 2я. Проводя замену переменной Хі і°+ £і, после которой правые части урав­ нений вида (12.9) будут того же характера соответственно по 5 и t, но не содержащими членов, не зависящих от £, принимая % достаточно малыми и принебрегая членами, содержащими бо­ лее высокие степени £, получаем систему

dX. dXi „ , dX.

dt = З ГІ' + ^dx"гЕг +

линейных уравнений с периодическими коэффициентами. Ее об­ щее решение записывается в форме

h = + V * Фи + • • • + Ѵ “"Ч о

где Ah — константы интегрирования; сң— фиксированные кон­ станты, которые называются характеристическими показателя­ ми; фйі — периодические функции от t. Проведя затем подстанов­ ку |г='Піфн+'Л2ф2і+ +11«фпг, он приходит к системе уравнений относительно т)» и после ряда преобразований получает выраже­ ния для т]г в форме рядов, которые сходятся и, значит, опреде­ ляют решения т]і при условии, что действительные части всех величин ah одного знака и отличны от нуля.

Предполагая затем, что действительные части k величин а положительные, а действительные части п—k величин а — отри­ цательные или нуль и наоборот, Пуанкаре приходит к опреде­ лению двух видов решений, выражаемых рядами для ці и упо­

рядоченных по степеням вида Айв акі. Эти разложения прибли­ жались асимптотически к рассматриваемым периодическим решениям либо при t-*с», либо при f-»- + oo. И такие решения он называет асимптотическими [237.20, 340]. Далее Пуанкаре рассмотрел также асимптотические решения уравнений динами­ ки и ряд других вопросов.

Доказательство Пинкаре было изменено и результаты его обобщены в курсе Пі&ара [235.17, гл. VII, §5], наложившим меньшие ограничения на характер зависимости от t правых час­ тей дифференциальных уравнений (12.9).

295

Но в том году, когда вышла вышеуказанная монография Пу­ анкаре, лишь позже на несколько месяцев, уже стали известны результаты гораздо большей общности, полученные независимо от Пуанкаре в докторской диссертации Ляпунова [43.2], посвя­ щенной изучению общего вопроса об устойчивости движения. Изучение этого вопроса вело к исследованию дифференциаль­ ных уравнений вида (12.9), где Хі при достаточно малых Хі разлагались в ряды по целым положительным степеням Хі, обра­ щающиеся в нуль при всех Хі = 0. Задача состояла в том, чтобы узнать, можно ли начальные значения функций xs, не делая их нулями, выбрать настолько малыми, чтобы во все время, следу­ ющее за начальным моментом, функции эти оставались числен­ но меньшими некоторых заранее данных, отличных от нуля, но* сколь угодно малых пределов. При этом важно найти способы решения этой задачи независимо от интегрируемости системы (12.9). До того часто пользовались приемом, отбрасывая в ис­ следуемых дифференциальных уравнениях все члены выше пер­ вого измерения относительно х,- и вместо первоначальных рас­ сматривали полученные таким образом линейные уравнения, хотя законность такого упрощения ничем не оправдывалась, ибо

по существу одна задача

подменялась другой.

А.

М. Ляпунов

поставил себе целью в данном сочинении,

исходя из

общих

идей

Пуанкаре, указать

те

случаи,

в

которых

первое

приближение действительно

решало

вопрос

об

устойчиво­

сти,

и предложить новые

способы, позволяющие

решать его

по крайней мере в некоторых из тех случаев, когда по первому приближению нельзя судить об устойчивости. Вопрос трактовал­ ся Ляпуновым в основном для двух случаев: 1) когда коэффици­ енты в разложениях правых частей (12.9) были величины по­ стоянные (глава II); 2) при более общем предположении, что они являются периодическими функциями времени (глава III). Но он коснулся впервые и более общего случая, когда назван­ ные коэффициенты были бы произвольными функциями време­ ни, ограниченными сверху (гл. I). Особое внимание уделял Ляпунов тем случаям, когда в дифференциальных уравнениях надо было принимать во внимание члены выше первого измере­ ния.

В процессе работы Ляпуновым были созданы два основных метода, применяемых при исследовании устойчивости Таким образом, вопрос сводился к исследованию устойчивости нулево­

го решения хі=хп=хп= 0 для системы уравнений

(12-9),

кото­

рая записывалась в форме

 

 

dx

 

утП

ST - P sl*! +Р,s 2 X 2 + - - - + p « * » + 2 р Г{ ' т2....m»

w 2-

X n >

 

 

( 12. 10)

1 Об этом см. в [66.5, 346—7, 351—355]; о первом методе в современном изложении см. в [25.7].

296

где правые части, обозначаемые также Хе, зависят от комплекс­ ных значений хи х2, ..., хп, модули которых достаточно малы, и

при t ^ t 0

величины Xs — голоморфны для

(где Л,-

(і=1, 2,...

п) или постоянные, отличные от нуля,

или функции

по t, которые нигде в нуль не обращаются) и разложимы в ряды по целым положительным степеням Х\, х2, ..., хп, абсолютно схо­

дящиеся для

|jCi|^.4i, и где т^+т2+ ... + тп>\. (Коэффици­

енты рва>p s

(яі,, m2.....тп)— функции по t, по предположению

есть определенные, ограниченные и непрерывные, а по характеру задачи — вещественные для всякого вещественного t ^ i 0). Для интегрирования системы (12.9) применяется метод последова­ тельных приближений и затем устанавливается методом мажо­ рантных функций абсолютная сходимость рядов ', выражающих интегралы х„ и расположенных по целым положительным сте­ пеням некоторых постоянных, ограниченых по модулю, и для Довольно больших t (t> t0).

Далее Ляпунов рассмотрел некоторые общие вопросы теории линейных уравнений. Всякую функцию, модуль которой при t>to всегда меньше некоторого предела, автор называет ограни­ ченной. Так же вводится понятие неограниченной и исчезающей функции. Последняя характеризуется тем, что, будучи ограни­ ченной при t-*-оо, стремится к нулю. Устанавливаются леммы о характере функции х. Так, в частности, если х — ограниченная функция от t, то хв~и при всяком положительном постоянном Я есть функция исчезающая.

Чрезвычайно важным было установление понятия характе­

ристического

числа любой функции x(t), определенной

при

t > t 0, которая

могла принимать и комплексные значения.

Рас­

смотрим это, следуя Ляпунову. Берется неубывающий ряд чисел к\, к2, ... и невозрастающий Я(І), Я<2>,... таким образом, чтобы Я,<Я<Ч *,<">—К при выборе достаточно большого п могло стать

величиной сколь угодно малой и

функция хе - Для всякого п

была исчезающей, а функция хе^"^

Для всякого п неограни­

ченной. Эти два ряда определят число Яо не меньшее, чем числа

первого ряда, и не большее, чем числа второго ряда;

это число Я0

и называется характеристическим числом2 функции х.

Иначе

гово­

ря, при любом положительном а

произведение

х (і)

0

при

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

2 miV

 

 

 

1 xs =

V Г(,п1,m2.... т2

/=i

 

 

(12.a).

(s= 1,2,

n),

2 . L S

« 1 « 2 '

 

 

 

где Ls — не зависящие

от постоянных а { непрерывные

функции t с неотрица­

тельными,

так называемыми характеристическими числами

(см. об этом Далее) и;

mi + m2 + ---- \-ть>°-

2 Например, для всякой, отличной от нуля постоянной, как и для функ­ ции tm(m— постоянная), характеристичное число равно нулю, а для нуля1 равно -boo, как и для функции t~*.

297

-f оо, а произведение

х (t) е(Хо+“)<

растет по модулю неограни­

ченно при t

+ с » .

 

 

 

 

 

 

 

Если X (t) еи -> 0

при

t -> +

оо при любом X, то характерис­

тическим числом функции

x(t)

условились брать -J- оо,

а

если

x(t)eM при любом X растет по модулю неограниченно при /->- +

о о ,

то характеристическое число х (t)

принимается равным — оо. Сле­

довательно,

любая функция x(t)

с указанными

свойствами

будет

обладать определенным характеристическим числом.

 

 

Таким образом, Ляпунов установил асимптотическое сравне­

ние поведения функций х(і) при f-»-oo с асимптотическим пове­

дением известных

показательных

функций

еи . Почти

через

20 лет после выхода работы Ляпунова Э. Коттон (88) подчер­ кивал в [128.1, 474] возможность введения в науку понятия ха­ рактеристического числа группы функций. «Характеристические числа,— писал он,— кажется весьма трудно определить на прак­ тике (за исключением уравнений с постоянными коэффициента­ ми). Но их теоретическое значение огромно. В самом деле, они показывают, что существенным элементом в исследовании асимп­ тотических решений, стремящихся к нулю, есть скорость, с кото­ рой некоторое решение стремится к нулю. Они измеряют неко­ торым образом эту скорость сравнения с показательными функ­ циями».

Ляпунов устанавливает леммы о характеристических числах суммы, произведения, интеграла функций, и т. п. и ряд важных теорем о характеристических числах решений системы линейных дифференциальных уравнений. Из первой из них следует инте­ ресный вывод, что в каждом вещественном решении Х\, Хг,... хп, отличном от нулевого, непременно найдутся функции с конеч­ ными характеристичными числами и не найдется ни одной с ха­

рактеристичным числом —оо. Также установлено,

что если

х ( і ) ф 0, то сумма характеристичных чисел x(t)

x(t)

не боль­

ше нуля, а если имеется п линейно независимых решений си­ стемы

П

( 12. 11)

і= 1

обозначаемых х\р) (і,р = 1,2,... п), то каждому такому решению соответствует свое характеристичное число Хр. Эти независимые ре­ шения можно подобрать так, чтобы сумма Хг + Хг + .. . + Хп бы­ ла наибольшей. В этом случае система п независимых решений на­ зывается нормальной. Вводится также понятие правильной и непра­ вильной системы (12.11). Она называется правильной, если s + р = 0, где s = ^ + Х2 + . .. + Хп и р — характеристичное число функции

 

 

П

е

— J

2 Pss dt

 

s=i

298

Частным случаем правильных систем являются приводимые. Если система (12.11) преобразуется надлежаще выбраной под­ становкой

г 1 = 0,1*1 + 052*2 + • • • + Qsnx n ( S = 1, 2 ,. . . n),

где q*i(t) и их производные есть непрерывные и ограниченные функции при t ^ t 0 и величина, обратная определителю, состав­ ленному из qSi{t), есть также ограниченная функция t, в систему уравнений с постоянными коэффициентами для г, то она назы­ вается приводимой. Полученная система с постоянными коэффи­ циентами имеет те же характеристичные числа, что и приводи­ мая (12.11). Таким образом, характеристичные числа системы (12.11) по отношению к указанным преобразованиям обладали свойствами инвариантов. Полученные результаты применяются затем к решению вопроса об устойчивости по первому прибли­ жению, которое выражается следующей теоремой. Если система (12.11) — правильная и если все ее решения имеют положитель­ ное характеристичное число, то для системы (12.10) характерна устойчивость. Так же может быть сформулировано и условие

неустойчивости.

При условии вышеприведенной теоремы во всяком возму­ щенном движении, достаточно близком к невозмущенному (т. е. если начальные значения хь°, (А=1, 2,... п) решения Х\ (і), -МО.

... хп {і) системы (12.10) достаточно близки к нулю), все xs(0 стремятся к нулю при неограниченном возрастании t. Это обсто­ ятельство Ляпунов выражает, говоря, что возмущенное движе­ ние (достаточно близкое к невозмущенному — В. Д.) асимптоти­ чески приближается к невозмущенному.

Если система дифференциальных уравнений первого прибли­ жения не является правильной, то теорема будет справедлива, но при условии, что каждое из характеристичных чисел, взятых для составления рядов xs (12а), больше некоторого числа а>0.

Таким образом, в процессе решения конкретного вопроса из механики Ляпунов создал новый метод большого не только практического, но и теоретического значения. Полученные Ляпу­ новым результаты развивались и дополнялись в ближайшее вре­ мя в работах Кнезера, Адамара, Пенлеве, где нашли дальней­ шее применение качественные методы [228.27, 56—57]. Но осо­ бое развитие идей Ляпунова и существенное дополнение его ре­ зультатов имело место в докторской диссертации [7.1] П. Г. Бо­ ля (89), одной из первых работ, посвященных разработке и систематическому применению качественных методов математи­ ческого анализа. Известное влияние на выбор предмета исследо­ вания Боля оказал проф. А. Кнезер (1862—1930), с которым Боль был в тесном научном контакте. Со временем его диссерта­ ция так же, как ранее диссертация Ляпунова, была переведена на французский язык и опубликована в Париже.

299

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ