
книги из ГПНТБ / Добровольский В.А. Очерки развития аналитической теории дифференциальных уравнений
.pdf
вание подлинного детерминизма механики с существованием жизни и моральной свободы». Не останавливаясь на разборе этой работы, отметим только, что автор уделил здесь существен ное место рассмотрению, по его термину, асимптотической функ ции. Более того, здесь было введено понятие, и, видимо, в столь четкой постановке впервые, асимптотических интегралов диффе ренциальных уравнений. О них он писал, что «асимптотические интегралы могут быть рассмотрены, в зависимости от случая,, либо как место сходимости, соединения частных интегралов, ли бо как место расходимости или разветвления, либо, наконец, как одно и другое одновременно» [108.1, 50—51]. Более четко во прос об асимптотических интегралах изложен Буссинеском в статье [108.2] (1882 г.), где он охарактеризовал сущность асимп тотического интеграла, а также уточнил его геометрический смысл: асимптотическое решение образует ядро (стержень), или, лучше, ось пучка интегралов, бесконечно сжатая часть кото рого, содержа интегралы, выходящие с бесконечности или предназначенные к разделению только в бесконечности, не име ет ширины; напротив, интегралы обычные смежные принадле жат пучку менее тесным образом, если это не в бесконечности, и следуют близко к нему лишь только на некотором его участке.
Таким образом, Буссинеск довольно четко владел понятием асимптотических интегралов, понимал их связь с асимптотиче скими рядами и ввел соответствующую терминологию несколь ко раньше, чем Пуанкаре. Вполне вероятно, что указанная ра бота Буссинеска дала повод Пуанкаре для введения термина «асимптотический» ряд. По существу оно уже было в обиходе математиков.
§ 2. Теория асимптотических рядов Стилтьеса и Пуанкаре и применение их к представлению интегралов уравнений
В мемуаре [262] Стилтьес имел целью изучить некоторую функцию F (а) для весьма больших значений положительного действи тельного аргумента а й в предположении, что lim F (а) = т0. Иначе
со
говоря, т0 дает приближенное значение F (а) для очень большого
значения а, или F (а)—т 0-> 0 |
при а-*- оо. |
Пусть затем |
|
lim а [F (а) — m0]= /n ,, |
причем lim |
F (а) — т0— |
Анало- |
а~>оо |
а->со |
—т2, причем lim а21F (а) —mQ— |
|
гично пусть lim a2jV (а) — tnQ— |
|||
|
|
а*>аэ |
L |
пн_Щ = 0 и т.д. Тогда можно получить асимптотическое (по терми-
аа2
ну автора полусходящееся) разложение для функции F (а)
F(a)> |
Fh |
, |
т, |
, |
, |
m« I |
( 12. 1) |
' т о + a |
+ |
a2 |
+ |
‘ ‘ ' + |
an + ' |
290
Эти разложения автор делит на два |
|
|
|||
вида в зависимости от того, меняются |
|
|
|||
ли знаки их членов или остаются не |
|
|
|||
изменными. Чтобы |
|
можно было ис |
|
|
|
пользовать такие ряды для числовых |
|
|
|||
расчетов, надо исследовать их остаточ |
|
|
|||
ный член Rn. Рассматривая ряды пер |
|
|
|||
вого вида (знакочередующиеся), ав |
|
|
|||
тор установил, что Rn меняет з#нак при |
|
|
|||
переходе от S n к S„+I и по абсолютной |
|
|
|||
величине будет меньше последнего из |
|
|
|||
оставленных или первого из отбро |
|
|
|||
шенных членов. Таким образом,оказы |
|
|
|||
валось, что F (а) содержалась всегда |
|
|
|||
между суммами п и п + 1 |
первых чле |
|
|
||
нов ряда вида (12.1). |
рода, |
исследование |
Томас Стилтьес |
||
Для рядов второго |
|||||
которых составляло главную часть работы, |
( 1 8 5 6 — 1 8 9 4 ) . |
||||
|
|
||||
Стилтьес предлагает непосредственно оце- |
|
|
|||
нивать порядок Rn, |
|
|
_П ті |
В процессе этого он |
|
где Rn = F (а)— ^ ^Г . |
|||||
|
|
|
1=0 |
|
|
искал то значение п, |
когда Rn возможно меньше, по |
формуле |
|||
л = |
аа + |
а0 + -^- + ^г + |
--- |
(12.2) |
и брал ближайшее к п целое число.
Пуанкаре подошел к асимптотическим рядам в связи с необ ходимостью представления ранее упомянутых нами нормальных интег-
|
п |
jk |
ралов линейных дифференциальных |
„ |
dr у _„ |
уравнений (вида |
~ и» |
|
где Л* — функция от х). Именно в |
*=о |
[237.11] |
первом из сообщений |
(1885 г.) речь шла о таких интегралах и связанных с ними нормальных рядах. Пуанкаре там же указал некоторые фундаментальные свой ства нормальных рядов (и связанных с ними интегралов), отмечая, что их аналитическая природа аналогична тому, что имелось при изучении ряда Стирлинга.
Применяя преобразование Лапласа, Пуанкаре строит инте грал данного уравнения в форме y = j e zxvdz, где ѵ как функция z удовлетворяет уравнению того же вида, что и данное. Так было указано принципиальное значение асимптотических рядов для выражения интегралов уравнений и перечислены их основные свойства. Подробно и в общей форме, с введением соответствен ного термина, вопрос изложен в мемуаре [237.15], опубликован ном в 1886 г. И здесь (что принципиально важно) теория асимп
19* |
291 |
тотических рядов стала разрабатываться как инструмент для выражения интегралов линейных уравнений.
Автор говорил, что расходящийся ряд
Д + ^ + ^ + . . . + |
^ |
+ |
(12.3) |
сумма п+1 первых членов которого S n, представляет асимпто тически функцию І(х), если выражение хп (І—S„)->-0 при х->-оо. При достаточно больших х xn(I—S n)<e, где е — достаточно ма-
е
лое; ошибка I—S n= ~^i, когда за функцию берется сумма п+1
первых членов, весьма мала. Более того, она значительно мень ше ошибки, допускаемой в том случае, если брать только сумму п первых членов ряда (12.3). Этот ряд подобен ряду Стирлинга. При довольно больших X его члены убывают довольно быстро, а потом с определенного значения возрастают неограниченно по абсолютной величине. Однако, несмотря на его расходимость, мсжно им пользоваться при вычислениях I. Если асимптотиче ское разложение данной функции существует, то оно единствен ное. Пуанкаре здесь же показывает, что с асимптотическими ря дами можно поступать как с некоторыми функциями и над ними можно производить действия сложения, вычитания, деления, умножения, возвышения в целую положительную степень и ин тегрирования, но нельзя дифференцировать в общем случае. Асимптотический ряд можно получить при определенных усло виях в результате подстановки степенного асимптотического ряда в сходящийся степенной ряд. Также было замечено, что один и тот же асимптотический ряд может представлять различные многие функции и что возможно обобщение асимптотических рядов на функции комплексного переменного. В заключение пер вого параграфа Пуанкаре дал также обобщенное определение асимптотического ряда.
Затем подробно изучается уравнение
^ 0 + V , £ ä ! + - - ' + -P.-|- + ^ = o. |
(12-4) |
коэффициенты которого Рі — полиномы по х. Вопрос ставится о представлении его интегралов в окрестности х = оо. Если степе ни полиномов Рп, Рп-и ... Ро образуют убывающую последова тельность, то согласно с теоремой Фукса имеется п удовлетво ряющих формально уравнению (12.4) и сходящихся для доста точно больших значений |х| рядов вида
*“ (Ло + Т ' + ‘# + •••) |
(12-5) |
и называющихся регулярными интегралами. Значения а даются некоторым определяющим уравнением. Исключительным явля
292
ется случай, когда разность двух корней этого уравнения стано вится равной целому числу. В этом случае в ряды может войти log *.
Если последовательность степеней полиномов Р не является монотонной и если степень Ро меньше степени Рп, то в некото рых случаях могут существовать т (т<п) рядов вида (12.5), которые формально удовлетворяют уравнению, но нигде не схо дятся. Наконец, если оставить в стороне некоторое ограниченное число исключительных случаев (о которых речь идет далее), можно доказать, что имеется п рядов вида
|
( 12. 6) |
которые формально удовлетворяют уравнению (12.4) |
(Q — це |
лый полином по х). Такой ряд Пуанкаре называет |
«нормаль |
ным» и притом р-го порядка, если многочлен Q — р-й степени. Здесь также могут появляться логарифмы, тогда получится «ло гарифмический нормальный ряд» р-го порядка и вида
eQxa (ф0 + ф, log X + ф2 log2* + • . ■+ ф, log"*),
где ф — степенные возрастающие ряды по степеням — . Между
порядком нормальных рядов и степенью полиномов Р, имеется следующее соотношение. ПустьМ, — степеньPt и Nt = (АТ,-—М„) :
: |
—і). Пусть h — наибольшее из п чисел Ni, а р — целое чис |
ло, |
равное h или непосредственно следующее за h. Тогда все |
нормальные ряды, удовлетворяющие формально уравнению (12.4), будут порядка не выше р. Величина h называется рангом уравнения (12.4).
Пуанкаре сначала исследует случай, когда все нормальные ряды первого порядка (§3 мемуара). В этом случае степень т
для Рп не превзойдется |
никаким Р,-. Если Аі — коэффициент |
|
при хп в Ри то образуется уравнение |
|
|
Апап + |
ап- '+ .. . + Аха + А0= 0 |
(12.7) |
и пусть а1, яг, •••, йп — все его корни, по предположению различ ные. Итак, уравнению (12.4) будут удовлетворять п нормальных рядов первого порядка и вида
где |
а 1( |
аг, • • • осп — подходяще выбранные константы |
и <рг (і == |
= |
1,2........ |
п) — ряды, упорядоченные по возрастающим |
степеням |
293
Применяя затем к уравнению (12.4) преобразование Лапла са (о чем уже шла речь и раньше), можно получить уравнение
^ |
К |
d v |
( 12.8) |
+ Q |
+ • ■• + Ql dk + Qov = °> |
||
Q, 1dz” |
П dz' |
|
где Q — полиномы по z не выше n-й степени. Итак, уравнение (12.8) допускает п простых особых точек г=а* (і=1, 2,..., п), и определяющее уравнение относительно точек а, имеет корни О, 1,2,... т—2, ßj. Если предположить сначала, что ß* — не целое число, то в окрестности z = a, уравнение (12.8) будет иметь т—1 голоморфный интеграл и т-й в форме
Vі = ( Z —ßi)ßt' + n ( z —atf i+l + .. .
Тогда
It = v J^ d z
<4
(где ki — некоторый замкнутый контур, содержащий несобствен ные элементы) будет интегралом уравнения (12.4). После неко торых преобразований Пуанкаре получает представление всех п интегралов уравнения (12.4) асимптотически нормальными рядами первого порядка. Это утверждение имеет место и в том случае, когда ßi — целое число и в представление щ входят лога рифмы. Но если логарифмические члены отпадают, то вместо кривой ki берется как путь интегрирования прямая от щ до —°о.
Исключительный случай получается тогда, когда два корня уравнения (12.7) равны между собой. Тогда уравнение (12.4) в общем не интегрируется через нормальные ряды. Если нормаль ный ряд сходится, то он всегда представляет интеграл уравне ния (12.4). Необходимым и достаточным условием этого есть то,
что интеграл щ представим в форме (z—аг-)Р{ ф(Х), где cp(z) — голоморфная во всей плоскости функция.
Рассмотрев также обобщения полученных результатов, Пу анкаре пришел к важному выводу, что «наиболее общий инте грал уравнения (12.4) представлялся асимптотически через нор мальный ряд» (стр. 343).
§3. Учение об асимптотических рядах
иих применении к представлению интегралов дифференциальных уравнений в 90-е годы XIX и в начале XX веков
(связь с теорией устойчивости)
Выше рассмотренные работы Стилтьес». а особенно Пуанка ре легли в основу нового, большого найвавления в анализе. С 90-х годов прошлого века довольно бурно стала развиваться как теория асимптотических рядов, так и их применения к инте грированию дифференциальных уравнений в трудах Пуанкаре,
294
Пикара, Ляпунова, Бореля, Горна, Кнезера, Адамара, Боля и других. При этом интенсивно стало культивироваться направле ние, рассматривавшее тесную связь этой теории с общей задачей об устойчивости движения. Так, уже в 1892 г. в первом томе мо нографии Пуанкаре «О новых методах в небесной механике» [237.20] глава VII была посвящена асимптотическим решениям. Здесь рассматривалась система уравнений
dx
= x t (хи
Х 2 , . . . ,хп ,(), (і = 1,2,. . . , п), |
(12.9) |
где Хі — функции, разлагающиеся в ряды по целым положитель ным степеням Х і и периодические по 1 с периодом 2я. Проводя замену переменной Хі =Хі°+ £і, после которой правые части урав нений вида (12.9) будут того же характера соответственно по 5 и t, но не содержащими членов, не зависящих от £, принимая % достаточно малыми и принебрегая членами, содержащими бо лее высокие степени £, получаем систему
dX. dXi „ , dX.
dt = З ГІ' + ^dx"гЕг +
линейных уравнений с периодическими коэффициентами. Ее об щее решение записывается в форме
h = + V * Фи + • • • + Ѵ “"Ч о
где Ah — константы интегрирования; сң— фиксированные кон станты, которые называются характеристическими показателя ми; фйі — периодические функции от t. Проведя затем подстанов ку |г='Піфн+'Л2ф2і+ +11«фпг, он приходит к системе уравнений относительно т)» и после ряда преобразований получает выраже ния для т]г в форме рядов, которые сходятся и, значит, опреде ляют решения т]і при условии, что действительные части всех величин ah одного знака и отличны от нуля.
Предполагая затем, что действительные части k величин а положительные, а действительные части п—k величин а — отри цательные или нуль и наоборот, Пуанкаре приходит к опреде лению двух видов решений, выражаемых рядами для ці и упо
рядоченных по степеням вида Айв акі. Эти разложения прибли жались асимптотически к рассматриваемым периодическим решениям либо при t-*— с», либо при f-»- + oo. И такие решения он называет асимптотическими [237.20, 340]. Далее Пуанкаре рассмотрел также асимптотические решения уравнений динами ки и ряд других вопросов.
Доказательство Пинкаре было изменено и результаты его обобщены в курсе Пі&ара [235.17, гл. VII, §5], наложившим меньшие ограничения на характер зависимости от t правых час тей дифференциальных уравнений (12.9).
295
Но в том году, когда вышла вышеуказанная монография Пу анкаре, лишь позже на несколько месяцев, уже стали известны результаты гораздо большей общности, полученные независимо от Пуанкаре в докторской диссертации Ляпунова [43.2], посвя щенной изучению общего вопроса об устойчивости движения. Изучение этого вопроса вело к исследованию дифференциаль ных уравнений вида (12.9), где Хі при достаточно малых Хі разлагались в ряды по целым положительным степеням Хі, обра щающиеся в нуль при всех Хі = 0. Задача состояла в том, чтобы узнать, можно ли начальные значения функций xs, не делая их нулями, выбрать настолько малыми, чтобы во все время, следу ющее за начальным моментом, функции эти оставались числен но меньшими некоторых заранее данных, отличных от нуля, но* сколь угодно малых пределов. При этом важно найти способы решения этой задачи независимо от интегрируемости системы (12.9). До того часто пользовались приемом, отбрасывая в ис следуемых дифференциальных уравнениях все члены выше пер вого измерения относительно х,- и вместо первоначальных рас сматривали полученные таким образом линейные уравнения, хотя законность такого упрощения ничем не оправдывалась, ибо
по существу одна задача |
подменялась другой. |
А. |
М. Ляпунов |
|||||
поставил себе целью в данном сочинении, |
исходя из |
общих |
||||||
идей |
Пуанкаре, указать |
те |
случаи, |
в |
которых |
первое |
||
приближение действительно |
решало |
вопрос |
об |
устойчиво |
||||
сти, |
и предложить новые |
способы, позволяющие |
решать его |
по крайней мере в некоторых из тех случаев, когда по первому приближению нельзя судить об устойчивости. Вопрос трактовал ся Ляпуновым в основном для двух случаев: 1) когда коэффици енты в разложениях правых частей (12.9) были величины по стоянные (глава II); 2) при более общем предположении, что они являются периодическими функциями времени (глава III). Но он коснулся впервые и более общего случая, когда назван ные коэффициенты были бы произвольными функциями време ни, ограниченными сверху (гл. I). Особое внимание уделял Ляпунов тем случаям, когда в дифференциальных уравнениях надо было принимать во внимание члены выше первого измере ния.
В процессе работы Ляпуновым были созданы два основных метода, применяемых при исследовании устойчивости Таким образом, вопрос сводился к исследованию устойчивости нулево
го решения хі=хп=хп= 0 для системы уравнений |
(12-9), |
кото |
|
рая записывалась в форме |
|
|
|
dx |
|
утП |
|
ST - P sl*! +Р,s 2 X 2 + - - - + p « * » + 2 р Г{ ' т2....m» |
w 2- |
||
X n > |
|||
|
|
( 12. 10) |
1 Об этом см. в [66.5, 346—7, 351—355]; о первом методе в современном изложении см. в [25.7].
296
где правые части, обозначаемые также Хе, зависят от комплекс ных значений хи х2, ..., хп, модули которых достаточно малы, и
при t ^ t 0 |
величины Xs — голоморфны для |
(где Л,- |
(і=1, 2,... |
п) или постоянные, отличные от нуля, |
или функции |
по t, которые нигде в нуль не обращаются) и разложимы в ряды по целым положительным степеням Х\, х2, ..., хп, абсолютно схо
дящиеся для |
|jCi|^.4i, и где т^+т2+ ... + тп>\. (Коэффици |
енты рва>p s |
(яі,, m2.....тп)— функции по t, по предположению |
есть определенные, ограниченные и непрерывные, а по характеру задачи — вещественные для всякого вещественного t ^ i 0). Для интегрирования системы (12.9) применяется метод последова тельных приближений и затем устанавливается методом мажо рантных функций абсолютная сходимость рядов ', выражающих интегралы х„ и расположенных по целым положительным сте пеням некоторых постоянных, ограниченых по модулю, и для Довольно больших t (t> t0).
Далее Ляпунов рассмотрел некоторые общие вопросы теории линейных уравнений. Всякую функцию, модуль которой при t>to всегда меньше некоторого предела, автор называет ограни ченной. Так же вводится понятие неограниченной и исчезающей функции. Последняя характеризуется тем, что, будучи ограни ченной при t-*-оо, стремится к нулю. Устанавливаются леммы о характере функции х. Так, в частности, если х — ограниченная функция от t, то хв~и при всяком положительном постоянном Я есть функция исчезающая.
Чрезвычайно важным было установление понятия характе
ристического |
числа любой функции x(t), определенной |
при |
t > t 0, которая |
могла принимать и комплексные значения. |
Рас |
смотрим это, следуя Ляпунову. Берется неубывающий ряд чисел к\, к2, ... и невозрастающий Я(І), Я<2>,... таким образом, чтобы Я,<Я<Ч *,<">—К при выборе достаточно большого п могло стать
величиной сколь угодно малой и |
функция хе - Для всякого п |
была исчезающей, а функция хе^"^ |
Для всякого п неограни |
ченной. Эти два ряда определят число Яо не меньшее, чем числа
первого ряда, и не большее, чем числа второго ряда; |
это число Я0 |
|||||
и называется характеристическим числом2 функции х. |
Иначе |
гово |
||||
ря, при любом положительном а |
произведение |
х (і) |
0 |
при |
||
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
■2 miV |
|
|
|
1 xs = |
V Г(,п1,m2.... т2 |
/=i |
|
|
(12.a). |
|
(s= 1,2, |
n), |
|||||
2 . L S |
« 1 « 2 ' |
|
|
|
||
где Ls — не зависящие |
от постоянных а { непрерывные |
функции t с неотрица |
||||
тельными, |
так называемыми характеристическими числами |
(см. об этом Далее) и; |
mi + m2 + ---- \-ть>°-
2 Например, для всякой, отличной от нуля постоянной, как и для функ ции tm(m— постоянная), характеристичное число равно нулю, а для нуля1 равно -boo, как и для функции t~*.
297